知识网·第9章 定态微扰论（试版）

把站上和第9章有关的题按模型归到一起：小蓝书（蓝）、强化班（强）、量力题 1–61（题）、书本扫盲（扫）。每个模型分四层：必背公式 → 基础知识点 → 常考题型 → 延伸考法（极限、变式、跨章）。题号旁的色标从 status.json 自动读取：⬜ 未测 · 🟡 未复习/模糊/不会 · 🟢 懂 · 🔴 不行。点题号直接跳到那道题。

1. 非简并微扰：一级、二级修正

考什么：会解的 ${\hat{H}}_0$ 加一小块 ${\hat{H}}^{\prime }$，第 $k$ 个能级无简并。一级能量是 ${\hat{H}}^{\prime }$ 在零级态上的平均值，一级波函数混进别的能级（系数＝矩阵元／能级差），二级能量是模方除以能级差。题型几乎都是「给 ${\hat{H}}^{\prime }$，算矩阵元」：阱里加凸起、谐振子加 $\delta$ 或 $x^3$、矩阵哈密顿量。

• 必背公式：

  • $\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }$，${\hat{H}}^{\prime }=\lambda \hat{w}$，$|\lambda |\ll 1$（p190，式 (9-2)(9-4)）
  • $E_k=E_k^{(0)}+\lambda E_k^{(1)}+{\lambda }^2{E}_k^{(2)}+\cdots$，${\psi }_k={\psi }_k^{(0)}+\lambda {\psi }_k^{(1)}+\cdots$（p191，式 (9-5)）
  • $\lambda E_k^{(1)}=H_{kk}^{\prime }=({\psi }_k^{(0)},{\hat{H}}^{\prime }{\psi }_k^{(0)})$（p192，式 (9-15)）
  • $C_n^{(1)}=\frac{w_{nk}}{E_k^{(0)}-E_n^{(0)}}$（$n\ne =k$），$C_k^{(1)}$ 为纯虚数，取 0（p192–193，式 (9-16)）
  • ${\psi }_k={\psi }_k^{(0)}+{\sum }_n^{\prime }\frac{H_{nk}^{\prime }}{E_k^{(0)}-E_n^{(0)}}{\psi }_n^{(0)}$（p192，式 (9-17)(9-19)）
  • $E_k^{(2)}={\sum }_n^{\prime }\frac{|w_{nk}{|}^2}{E_k^{(0)}-E_n^{(0)}}$（p193，式 (9-23)）
  • $E_k=E_k^{(0)}+H_{kk}^{\prime }+{\sum }_n^{\prime }\frac{|H_{nk}^{\prime }{|}^2}{E_k^{(0)}-E_n^{(0)}}$（p193，式 (9-24)）
  • 波函数取到一级、能量取到二级（p193）；适用条件 $\frac{H_{nk}^{\prime }}{E_k^{(0)}-E_n^{(0)}}\ll 1$（p197）
  • 由 (9-23)：基态的二级修正总是 $\le 0$
  • 窄凸起（宽 $a$、高 $V$，中心 $x_0$）：$E_n^{(1)}\approx Va|{\psi }_n(x_0){|}^2$（习题 9-2）
  • $H_{2n}(0)=(-1{)}^n\frac{(2n)!}{n!}$，$H_{2n+1}(0)=0$；$\delta (\alpha x)=\delta (x)/\alpha$（习题 9-13，书上分母误印为 2）

• 基础知识点：扫9-1-1🟡 扫9-1-2🟡

• 常考题型：

  • 无限深阱上的微扰（习题9-1、9-2、9-10）：扫9-1-5🟡 题8🟢 题9🟢 题17⬜ 蓝9-1⬜ 蓝9-2⬜ 蓝9-3⬜ 蓝9-15⬜；$A\cos (\pi x/a)$ 基态二级与一级波函数：强57×0
  • 谐振子上的 $\delta$ 势和 $x^3$／$x^4$ 非谐项（习题9-13、9-5）：扫9-1-6🟡 题20⬜ 题21⬜ 蓝9-18🟡 蓝9-10⬜ 蓝9-4⬜
  • 矩阵哈密顿量，二级与精确解对照（习题9-8、9-9、9-12）：题14⬜ 题16⬜ 题19⬜ 蓝9-13⬜ 蓝9-14⬜ 蓝9-17⬜

• 延伸考法：

  • 有限大小的原子核（习题9-11）：题18⬜ 蓝9-6⬜ 蓝9-16⬜
  • ${\hat{H}}^{\prime }=i\lambda [\hat{A},{\hat{H}}_0]$ 形式下 $⟨B⟩$ 一级：强58×0
  • 类氢相对论动能修正到 $1/c^2$：强59×0
  • 两粒子 $\delta$ 相互作用（盒子／阱／谐振子）：蓝9-19🟡 蓝9-22🟡 蓝9-31⬜
  • 跨章·谐振子的矩阵元、宇称（第3、5章）：扫3-9-4🟡

2. 氦原子基态与核电荷变化

考什么：把两电子的 Coulomb 斥力当微扰，${\hat{H}}_0$ 是两个类氢之和；空间波函数交换对称，自旋取单态保证总反对称；一级修正 $5Z{e}^2/(8a)$ 为正（斥力使束缚变松）。同一套思路做类氢离子 $Z\to Z+1$：一级只抓住线性项。

• 必背公式：

  • ${\hat{H}}_0=-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\nabla }_{12}-\frac{Z{e}^2}{r_1}-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\nabla }_{22}-\frac{Z{e}^2}{r_2}$，${\hat{H}}^{\prime }=\frac{e^2}{|{\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2|}$（p193–194，例 9-1）
  • $\psi ({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2)={\psi }_{100}({\mathbf{r}}_1){\psi }_{100}({\mathbf{r}}_2)$，${\chi }_A=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}⟩--\frac{1}{2},\frac{1}{2}⟩)$（p194）
  • ${\psi }_{100}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}(\frac{Z}{a}{)}^{3/2}{e}^{-Zr/a}$，$a={\hslash }^2/(\mu e^2)$（p194）
  • $E^{(0)}=-2\cdot \frac{e^2{Z}^2}{2a}=-\frac{e^2{Z}^2}{a}$（p194）
  • $\iint re-a2Z(r1+r2)d^3{r}_1{d}^3{r}_2=\frac{5a^5{\pi }^2}{8Z^5}$（p195）
  • $\lambda E^{(1)}=\frac{5Z{e}^2}{8a}$，$E=-\frac{e^2{Z}^2}{a}+\frac{5Z{e}^2}{8a}$；$Z=2$ 时 $E=-\frac{11}{4}\frac{e^2}{a}$（p195）
  • $Z\to Z+1$：${\hat{H}}^{\prime }=-e^2/r$，$E^{(1)}=-\frac{Z{e}^2}{a}$；精确 $-\frac{(Z+1{)}^2{e}^2}{2a}$，差 $-\frac{e^2}{2a}$ 属二级（习题 9-4，书上 $E_1$ 漏负号）

• 基础知识点：扫9-1-3🟡

• 常考题型：类氢离子 $Z\to Z+1$（习题9-4）：题12⬜ 蓝9-8⬜

• 延伸考法：

  • 跨章·全同粒子的交换对称、单态与三重态（第6、8章）：扫6-4-1🟡
  • 跨章·类氢能级与波函数（第7章）：扫7-3-1🟡 扫7-3-2🟡
  • 电子偶素基态自旋交换：单态与三重态能差：强66×0 蓝9-21🔴
  • 自旋 1 全同粒子替换氦基态简并度：蓝9-32⬜

3. 外电场中的谐振子

考什么：${\hat{H}}^{\prime }=-qϵx$ 是奇算符，一级为 0；二级 $-q^2{ϵ}^2/(2m{\omega }^2)$ 与 $k$ 无关，并且和配方得到的精确解相同；一级波函数混进 $k\pm 1$，宇称被破坏，出现电偶极矩。$\frac{1}{2}\lambda x^2$ 型微扰则和精确解按 $\lambda$ 展开的一次项对照。

• 必背公式：

  • ${\hat{H}}^{\prime }=-qϵx$；$E_n^{(0)}=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$，$\alpha =\sqrt{m\omega /\hslash }$（p195，例 9-2）
  • $x_{kn}=\frac{1}{\alpha }(\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\delta }_{k,n+1}+\sqrt{\frac{n}{2}}{\delta }_{k,n-1})$（p195）
  • $H_{kk}^{\prime }=0$，$\lambda E_k^{(1)}=0$（p196）
  • ${\lambda }^2{E}_k^{(2)}=\frac{q^2{ϵ}^2}{\hslash \omega }{\sum }_n^{\prime }\frac{|x_{nk}{|}^2}{k-n}=-\frac{q^2{ϵ}^2}{2m{\omega }^2}$（p196）
  • $E_k=(k+\frac{1}{2})\hslash \omega -\frac{q^2{ϵ}^2}{2m{\omega }^2}$，与精确解相同（p196，第3章习题3-9）
  • ${\psi }_k={\psi }_k^{(0)}-\frac{qϵ}{\hslash \omega \alpha }(\sqrt{\frac{k}{2}}{\psi }_{k-1}^{(0)}-\sqrt{\frac{k+1}{2}}{\psi }_{k+1}^{(0)})$（p196）
  • $\bar{x}=\frac{qϵ}{m{\omega }^2}$，$D=|q|d=\frac{2q^2ϵ}{m{\omega }^2}$（$d=2\bar{x}$），$p=\frac{D}{ϵ}=\frac{2q^2}{m{\omega }^2}$（p196–197）
  • ${\hat{H}}^{\prime }=\frac{1}{2}\lambda x^2$：$E_0^{(1)}=\frac{\lambda \hslash }{4m\omega }$，是 $\frac{1}{2}\hslash \sqrt{(k+\lambda )/m}$ 的一次项（习题 9-7）

• 基础知识点：扫9-1-4🟡

• 常考题型：线性微扰与精确解对照：蓝9-9⬜；$\frac{1}{2}\lambda x^2$ 微扰与精确解对照（习题9-7）：题13⬜ 蓝9-12⬜

• 延伸考法：

  • 精确解：三维各向同性谐振子加电场，配方：蓝3-11🟢
  • 跨章·谐振子（第3章）：扫3-9-4🟡

4. 简并微扰与久期方程

考什么：$f$ 重简并时分母为 0，先在简并子空间里把 ${\hat{H}}^{\prime }$ 对角化。久期方程的根就是一级修正；根不重复则简并完全解除；本征向量给出「正确的零级波函数」。一级全为 0 时，简并留到更高级（平面转子）。

• 必背公式：

  • $\hat{H}={\hat{H}}_0+\lambda \hat{w}$，${\hat{H}}_0{\psi }_{n\nu }^{(0)}=E_n^{(0)}{\psi }_{n\nu }^{(0)}$，$\nu =1,\dots ,f$（p197，式 (9-25)(9-26)）
  • $w_{m\mu ,n\nu }=({\psi }_{m\mu }^{(0)},\hat{w}{\psi }_{n\nu }^{(0)})$（p198，式 (9-30)）
  • $C_{m\mu }^{(0)}=a_{\mu }{\delta }_{km}$：零级态只在简并子空间里（p198，式 (9-36)）
  • ${\sum }_{\nu =1f}(w_{\mu \nu }-E_k^{(1)}{\delta }_{\mu \nu })a_{\nu }=0$（p198，式 (9-38)）
  • 久期方程 $\det (w_{\mu \nu }-E_k^{(1)}{\delta }_{\mu \nu })=0$（p199，式 (9-40)）
  • $E_{k\nu }=E_k^{(0)}+\lambda E_{k\nu }^{(1)}$，$\nu =1,\dots ,f$（p199，式 (9-41)）
  • ${\psi }_{k\nu }^{(0{)}^{\prime }}={\sum }_{\rho }{a}_{\rho \nu }{\psi }_{k\rho }^{(0)}$，新基下 ${\hat{H}}^{\prime }$ 对角（p199，式 (9-42)）
  • 二重简并：$E^{(1)}=\frac{w_{11}+w_{22}}{2}\pm \sqrt{(\frac{w_{11}-w_{22}}{2}{)}^2+|w_{12}{|}^2}$
  • 平面转子：$E_m^{(0)}=\frac{m^2{\hslash }^2}{2I}$，$⟨m|\cos \phi |m^{\prime }⟩=\frac{1}{2}({\delta }_{m,m^{\prime }+1}+{\delta }_{m,m^{\prime }-1})$；$E_0^{(2)}=-\frac{I{D}^2{ϵ}^2}{{\hslash }^2}$，$E_m^{(2)}=\frac{I{D}^2{ϵ}^2}{{\hslash }^2(4m^2-1)}$（习题 9-3）
  • 耦合谐振子第一激发态：$E_{\pm }=2\hslash \omega \mp \frac{\lambda \hslash }{2m\omega }$，${\psi }_{\pm }=\frac{1}{\sqrt{2}}(|10⟩\pm |01⟩)$（习题 9-6）

• 基础知识点：扫9-2-1🟡

• 常考题型：

  • 平面转子加垂直电场（习题9-3）：题11🟢 蓝9-7⬜；带电刚杆／棒平面转动弱电场／强场：强60×0 蓝9-5⬜
  • 耦合谐振子（习题9-6）：题22⬜ 蓝9-11⬜
  • 二维阱、二维／三维谐振子的简并能级：题10🟢 题15⬜；$V\propto xy(x^2+y^2)$ 一级修正：强62×0；三维谐振子 $cxy$：蓝9-20🟡

• 延伸考法：

  • 精确解对照：耦合谐振子用质心、相对坐标（或简正坐标）严格求解：强9×0 蓝3-21🟢 蓝9-23🔴
  • 跨章·简并本征函数的线性组合与正交化（第4章）：题49🟡

5. Stark 效应（氢原子 n = 2）

考什么：$n=2$ 四重简并，${\hat{H}}^{\prime }=-eϵz$ 只连接 $\Delta l=\pm 1$、$\Delta m=0$，$4\times 4$ 矩阵只剩 $w_{12}=w_{21}=-3$；根 $3,0,0,-3$，线性 Stark 分裂成三条，$m=\pm 1$ 不动。基态无简并、宇称为偶，一级为 0，只有二级 Stark。

• 必背公式：

  • ${\hat{H}}^{\prime }=-eϵz=-eϵr\cos \theta$（$e<0$），$\lambda =-eϵa_0$，$\hat{w}=\frac{r}{a_0}\cos \theta$（p199–201）
  • $E_2^{(0)}=-\frac{e^2}{8a_0}$；四个态 ${\psi }_{200},{\psi }_{210},{\psi }_{211},{\psi }_{21-1}$（p200）
  • ${\psi }_{200}=\frac{1}{4\sqrt{2\pi }}(\frac{1}{a_0}{)}^{3/2}(2-\frac{r}{a_0})e^{-r/2a_0}$，${\psi }_{210}=\frac{1}{4\sqrt{2\pi }}(\frac{1}{a_0}{)}^{3/2}\frac{r}{a_0}{e}^{-r/2a_0}\cos \theta$（p200）
  • $\cos \theta Y_{lm}=C_{lm}{Y}_{l+1,m}+C_{l-1,m}{Y}_{l-1,m}$，$C_{lm}=\sqrt{\frac{(l+1{)}^2-m^2}{(2l+1)(2l+3)}}$（p200，书上第一项下标误印为 $C_{l+1,m}$）
  • 选择定则：$\Delta l=\pm 1$，$\Delta m=0$（p201）
  • $w_{12}=w_{21}=-3$，其余为 0（p201）
  • $(E^{(1)}{)}^4-9(E^{(1)}{)}^2=0$，$E^{(1)}=3,0,0,-3$（p202）
  • $E=-\frac{e^2}{8a_0}-3eϵa_0$，$-\frac{e^2}{8a_0}$（二重），$-\frac{e^2}{8a_0}+3eϵa_0$（p202，图 9-1）
  • ${\psi }_1^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2}}({\psi }_{200}-{\psi }_{210})$，${\psi }_2^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2}}({\psi }_{200}+{\psi }_{210})$，${\psi }_3^{\prime }={\psi }_{211}$，${\psi }_4^{\prime }={\psi }_{21-1}$（p202）

• 基础知识点：扫9-2-2🟡

• 常考题型：$n=2$ 的一级分裂和零级波函数，基态的一级为 0：扫9-2-2🟡 题7⬜；Zeeman／Stark 及电磁场方向组合：强61×0

• 延伸考法：

  • 同一条选择定则用在含时跃迁上（例 9-5）：扫9-3-3🟡
  • 跨章·类氢波函数与 $Y_{lm}$（第4、7章）：扫7-3-1🟡

6. 含时微扰与量子跃迁

考什么：${\hat{H}}^{\prime }(t)$ 随时间变，问的是 $|k⟩\to |n⟩$ 的几率。把时间因子提出来，跃迁振幅一级就是矩阵元乘 $e^{i{\omega }_{nk}t}$ 对时间积分；矩阵元为 0 就跳不过去（选择定则）。典型计算：高斯脉冲、指数衰减、$\delta$ 脉冲、旋转磁场。

• 必背公式：

  • $|\psi (t)⟩={\sum }_n{a}_n(t)e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n}t}|n⟩$，$p(t)=|a_n(t){|}^2$（p203，式 (9-45)(9-46)）
  • $a_n(t_0)={\delta }_{nk}$（p203，式 (9-47)）
  • $i\hslash \frac{d{a}_m}{dt}={\sum }_n{a}_n⟨m|{\hat{H}}^{\prime }|n⟩e^{i{\omega }_{mn}t}$，${\omega }_{mn}=\frac{E_m-E_n}{\hslash }$（p204，式 (9-50)）
  • $a_n(t)={\delta }_{nk}+\frac{1}{i\hslash }{\int }_{t_0}^t⟨n|{\hat{H}}^{\prime }|k⟩e^{i{\omega }_{nk}t}dt$（p204，式 (9-57)）
  • $P_{nk}(t)=\frac{1}{{\hslash }^2}{\int }_{t_0}^t⟨n|{\hat{H}}^{\prime }|k⟩e^{i{\omega }_{nk}t}d{t}^2$（p205，式 (9-59)）；${\Gamma }_{nk}=\frac{d}{dt}{P}_{nk}$（式 (9-60)）
  • 条件 $|\lambda |\ll 1$；简并时 ${\sum }_n{P}_{nk}\ne ={\sum }_k{P}_{kn}$；$E_n=E_k$ 也可跃迁（p205）
  • 高斯脉冲（例 9-4）：${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{i\omega t-t^2/{\lambda }^2}dt=\sqrt{\pi }\lambda e^{-{\omega }^2{\lambda }^2/4}$，$P_{10}=\frac{\pi q^2{ϵ}^2{\lambda }^2}{2m\hslash \omega }{e}^{-{\omega }^2{\lambda }^2/2}$（p206）
  • 电偶极跃迁选择定则：$\Delta l=\pm 1$，$\Delta m=0$；$1s$ 只能到 $2p_0$（p206，例 9-5）
  • 例 9-5：$|H_{21}^{\prime }|=\frac{2^8{a}_0|eϵ(t)|}{\sqrt{2}{3}^5}$，${\omega }_{21}=\frac{3e^2}{8a_0\hslash }$，${\int }_0^{\infty }{e}^{-ax}\cos bxdx=\frac{a}{a^2+b^2}$（p207）
  • $P_{21}(\infty )=\frac{2^{15}}{3^{10}}\frac{a_{02}{e}^2{ϵ}_{02}}{{\hslash }^2}\frac{{\alpha }^2+{\omega }_{21}^2}{({\alpha }^2+{\omega }^2-{\omega }_{21}^2{)}^2+4{\alpha }^2{\omega }_{21}^2}$（p207）
  • 指数衰减微扰 $F(x)e^{-\beta t}$：$P_{n0}=\frac{|F_{n0}{|}^2}{{\hslash }^2({\beta }^2+{\omega }_{n0}^2)}$（习题 9-14）

• 基础知识点：扫9-3-1🟡

• 常考题型：

  • 谐振子上的脉冲（例9-4，习题9-14）：扫9-3-2🟡；$F(x)e^{-t/\tau }$ 跃迁概率：强65×0 蓝9-24🔴
  • 氢原子上的衰减电场与 $\delta$ 脉冲（例9-5，习题9-15）：扫9-3-3🟡 蓝9-29⬜ 蓝9-25🔴
  • 旋转磁场里的自旋翻转（习题9-16）：扫9-3-4🟡 蓝9-26🔴
  • 立方盒子电场含时跃迁：蓝9-30⬜

• 延伸考法：

  • 精确含时演化对照：二能级、三能级矩阵哈密顿量（第5章）：扫5-4-4🟡 题40🟢 题59🟡
  • 参数突变（严格做法，不用微扰）：强6×0 强7×0
  • 跨章·均匀磁场里的自旋进动（第8章）：扫8-4-2🟡
  • 强化·电子自旋共振（一级含时微扰）：强38×0
  • 跨章·阱中分区磁场微扰基态（自旋+微扰）：强46×0

7. Fermi 黄金定律与激光

考什么：光对原子是频率 $\omega$ 的电偶极微扰（磁场小一个 $v/c$，$e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}\approx 1$）。${\sin }^2$ 在 $t\to \infty$ 收成 $\delta$ 函数，速率与时间无关，只有能级差等于 $\hslash \omega$ 才跃迁。共振吸收、受激辐射、自发辐射的区别；Boltzmann 分布、粒子数反转、四能级激光。

• 必背公式：

  • ${\hat{H}}^{\prime }(t)={\hat{H}}_0^{\prime }{e}^{\pm i\omega t}$（p208，式 (9-64)）；${\hat{H}}^{\prime }=-e\mathbf{E}(t)\cdot \mathbf{r}=\mathbf{D}\cdot {\mathbf{E}}_0{e}^{\pm i\omega t}$，$\mathbf{D}=|e|\mathbf{r}$（式 (9-65)）
  • $a_{nk}(t)=\frac{⟨n|{\hat{H}}_0^{\prime }|k⟩}{i\hslash }\cdot i(En-Ek\pm \hslash \omega )/\hslash e\hslash i(En-Ek\pm \hslash \omega )t-1$（p208，式 (9-66)）
  • $\alpha \equiv \frac{1}{\hslash }(E_n-E_k\pm \hslash \omega )$（p209，式 (9-68)）；$|e^{i\alpha t}-1{|}^2=4{\sin }^2\frac{\alpha t}{2}$（式 (9-69)）
  • $P_{nk}(t)=\frac{|⟨n|{\hat{H}}_0^{\prime }|k⟩{|}^2}{{\hslash }^2(\alpha /2{)}^2}{\sin }^2(\frac{\alpha }{2}t)$（p209，式 (9-70)）
  • $t\to \infty \lim \frac{1}{\pi }\frac{{\sin }^{2}tx}{t{x}^2}=\delta (x)$（p209，式 (9-71)）
  • $P_{nk}(t\to \infty )=t\frac{2\pi }{\hslash }|⟨n|{\hat{H}}_0^{\prime }|k⟩{|}^2\delta (E_n-E_k\pm \hslash \omega )$（p209，式 (9-72)）
  • ${\Gamma }_{nk}=\frac{2\pi }{\hslash }|⟨n|{\hat{H}}_0^{\prime }|k⟩{|}^2\delta (E_n-E_k\pm \hslash \omega )$，Fermi 黄金定律（p209，式 (9-73)）
  • 共振吸收 $E_n-E_k=\hslash \omega$（p209）
  • $N_n=N_k{e}^{-\frac{1}{kT}(E_n-E_k)}$（$n>k$）；$1eV\sim 10^{4}K$（p210，式 (9-74)）
  • 四能级：抽运 $\nu =\frac{E_4-E_1}{h}$，激光 $\nu =\frac{E_3-E_2}{h}$（p210–211，式 (9-75)(9-76)）
  • 能级宽度 $\Delta E\sim \hslash /\tau$（$\tau \sim 10^{-8}s$）；力程 $r\sim \hslash /(mc)$（习题 9-17、9-18）

• 基础知识点：扫9-4-1🟡

• 常考题型：

  • 从 ${\sin }^2$ 到 $\delta$ 函数，推黄金定律：扫9-4-3🟡
  • 三种辐射过程、粒子数反转、四能级激光：扫9-4-2🟡

• 延伸考法：

  • 能级宽度与汤川力程（不确定关系，习题9-17、9-18）：扫9-4-4🟡 蓝9-27⬜ 蓝9-28⬜
  • 和例 9-5 的共振峰对照：扫9-3-3🟡

8. 变分法

考什么：选含参量 $\lambda$ 的试探态 $\psi (\lambda )$，算能量泛函 $E[\psi ]=⟨\psi |\hat{H}|\psi ⟩/⟨\psi |\psi ⟩$，对 $\lambda$ 求极值；基态满足 $E[\psi ]\ge E_0$，试探越好上界越紧。常考：高斯试探谐振子（可回到精确解）、指数试探束缚势（氘核等）。

• 必背公式：

  • $E[\psi ]=\frac{⟨\psi |\hat{H}|\psi ⟩}{⟨\psi |\psi ⟩}\ge E_0$（试探态归一时可略分母）
  • $\frac{\partial E}{\partial \lambda }=0$ 定最佳参量；基态上界随试探族变优而下降

• 常考题型：

  • 谐振子高斯试探：强63×0
  • 氘核指数势 $V=-V_0{e}^{-r/a}$：强64×0

• 延伸考法：

  • 跨章·用试探态估基态偏离与激发态上限（第4/5章矩阵思想）：强21×1

---

试版 · 2026-10-08 · 题源：扫盲 jc-9-*，量力题 7–22（书9-x 微扰题），以及量力题、小蓝书、强化班里可对照的精确解和含时演化题。图 9-2 的 Raman 散射、光电效应正文没有展开，不列考点。同一题可能出现在两个模型下（如 扫9-2-2、扫9-3-3）。2026-10-30 对齐第9章扫盲重挂（16题）并挂强化38、46。2026-11-01 挂强化57–66（微扰 A组）：按非简并／简并／Stark／含时／变分分模型挂，不按讲次流水号堆；新开 §8 变分法。2026-11-03 挂小蓝书 lb-9-1…32：按非简并／氦／外场谐振子／简并／含时／黄金定律分模型挂。