量子力学·基础（书本扫盲）· 第11章

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色标同量力题：⬜ 未测 · 🟡（未复习） · 🟡（模糊） · 🟡（不会） · 🟢 懂 · 🔴 不行。

第11章 量子信息论

书 p228–242 · 共 4 节（11.3 下分 11.3.1、11.3.2；11.4 下分 11.4.1、11.4.2）· 习题 11-1–11-6 在 p242 · 2026-10-08 挂；对照原书逐页核对覆盖、核定笔误后写入（每节第 1 题是「直接写出」默写题）

806 不重点考量子信息，本章按精简版处理：只留书上的核心概念和必背公式（量子比特、四个单比特门、受控非门、Bell 态、EPR 测量、隐形传态、不可克隆与窃听、量子计算三步、Grover 的 $\sqrt{N}$）和 6 道习题；年份、器件参数之类的背景数字不出题。

记号照原书：$Y\equiv i{\sigma }_2$ 是实矩阵；受控非门 $C$ 的控制位是前一个比特；计算基顺序 $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$。

11.1 经典信息科学的极限

知识点小结：信息科学的核心器件是芯片。Moore 定律说，处理一个比特所需的原子数每两年减半，也就是集成度每两年翻一倍；实践里大约每 18 个月翻一倍。按这个速度，2020 年前后一个比特只剩一个原子：一方面出现量子噪声，可比热噪声大两个数量级；另一方面逻辑运算靠电子运动，是热力学不可逆过程，热耗散到了头，集成度再也上不去。金融保密又靠大数分解，129 位已经要 1600 台工作站算 8 个月，电子计算机接不住这个需求。

jc-11-1-1 · Moore 定律和两个极限 · 🟡

填空（书 p228–229）直接写出书上的结论。

(1) Moore 定律：为了处理一个比特信息所需要的原子数目将每两年 ____，即芯片集成度每两年 ____。照此外推，最终一个比特的存储单元将是 ____。

(2) 集成单元到了原子量级，会出现的两个物理极限：一是 ____ 噪声；二是电子器件的逻辑运算是热力学 ____ 过程，热耗散到了极限。

(3) 书上用哪一种实际需求说明「以电子器件为基础的计算机满足不了需要」？

**答案**

(1) 减少一半；提高一倍；单个原子。（书上引的估算是 2020 年左右到单个原子，背景数字，不必背。）

(2) 量子（书上说可比热噪声大两个数量级）；不可逆。电子在电路里运动必然产热，单元到原子量级后散热到头，集成度无法再提高。

(3) 金融保密要做大数的素数分解。书上的例子是 129 位的数要动用 1600 个工作站算 8 个月，而需要分解的数更大。一边需求越来越大，一边集成度有上面两个极限，所以必须找新原理。

11.2 突破经典信息科学极限的途径

知识点小结：书上并列了四条路。超导计算机用 Josephson 结（超导体–绝缘体–超导体）的隧道效应做运算，耗电极低、速度快，但必须低温，高温超导没有突破之前普及不了。光子计算机没有热耗散、门转换快，但靠透镜棱镜传数据，庞大，光器件难做。DNA 计算机用四种核苷酸编码，靠酶做复制、切割、粘贴，存储和速度都极大，目前还在试管里。量子计算机建立在纠缠、非局域性上，书上认为是最有前景的一条。

jc-11-2-1 · 突破极限的四条途径 · 🟡

填空（书 p229–230）直接写出。

(1) 书上列的突破经典极限的四条途径是：____ 计算机、____ 计算机、____ 计算机、____ 计算机。

(2) 超导计算机利用 Josephson 结的 ____ 效应，难普及是因为必须 ____；光子计算机以 ____ 为信息载体，所以无需考虑 ____；DNA 计算机用四种 ____ 编码。

(3) 书上认为最具前景的是哪一种？它建立在量子态的哪两个特性上？

**答案**

(1) 超导、光子、DNA、量子。

(2) 超导隧道（结构是超导体–绝缘体–超导体）；在低温下工作（高温超导没有突破前难普及）；光子；热耗散（障碍是光路庞大、光器件难做）；核苷酸（靠酶做复制、切割、粘贴，目前还在试管阶段）。

(3) 量子计算机。建立在量子态的纠缠性和非局域性上，是量子信息学的主要研究内容；它的基础是 11.3 的量子力学新进展。

11.3 量子力学的新进展

知识点小结：这一节是把前面各章的规则收成「和经典不一样的几条」，给第 11.4 节用。数学上：态是 Hilbert 空间的矢量，力学量是厄米算符，演化是算符作用在态上；对易关系使测量一般不确定。物理上书上列了七条：波粒二象性、量子化、相干叠加、测量导致退相干、不可克隆、全同性、纠缠与非局域性。最后一条是本章的核心。EPR 对分开多远，对其中一个的局域测量仍决定另一个的态；Bell 不等式把这场争论变成可做的实验，Aspect（1982）和后来的实验都表明不等式不成立。Schrödinger 猫是宏观纠缠的理想实验；打不开盒子就看不到死活叠加，能观测的永远是力学量，态只能反推。

jc-11-3-1 · 本章要直接写出的态和对易关系 · 🟡

填空（书 p231–234，式 (11-1)–(11-10)）

(1) 量子态和力学量分别用什么表示？动量、能量、${\hat{l}}_z$ 的算符各是什么？写出书上的两条对易关系。(11-1)–(11-4)

(2) 写出 de Broglie 关系。(11-7)

(3) 写出书上的一个 EPR 纠缠态。(11-8)

(4) 放射性原子与猫在打开盒子之前的纠缠态是什么？原子单独的叠加态是什么？(11-9)(11-10)

**答案**

(1) 态：Hilbert 空间中的矢量，$\psi ={\sum }_n{a}_n{\psi }_n$。力学量：Hilbert 空间中的厄米算符（也可以用矩阵）。

$$\hat{p}=-i\hslash \nabla ,\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2,{\hat{l}}_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \phi }.$$$$[x,\hat{p}]=i\hslash ,\hat{\mathbf{l}}\times \hat{\mathbf{l}}=i\hslash \hat{\mathbf{l}}.$$

用矩阵表示时，能量表象里 $\hat{H}$ 是对角阵 $diag(E_1,\dots ,E_n)$；$l=1$ 的三维子空间里 ${\hat{l}}_z=\hslash \{\begin{array}{llc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}$。(11-2)

【原书笔误】 式 (11-2) 的 ${\hat{l}}_z$ 矩阵漏了因子 $\hslash$，原书印成 $diag(1,0,-1)$。本征值应是 $m\hslash =\hslash ,0,-\hslash$。

后一条对易关系违背通常矢量代数 $\mathbf{a}\times \mathbf{a}=0$，来自 $\hat{\mathbf{l}}$ 各分量不对易。测量结果是这些算符的某个本征值，所以守恒量一般也没有确定测值。

(2) $E=h\nu$，$p=h/\lambda$。

(3) $|{\psi }^{+}{⟩}_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow {⟩}_1|\downarrow {⟩}_2+|\downarrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2)$。书上把处于这种纠缠态的两个粒子叫 EPR 对（Einstein–Podolsky–Rosen，1935）。

(4) 原子：$|\psi ⟩=C_1|g⟩+C_2|e⟩$。原子加猫：

$$|\psi ⟩=a|g⟩\otimes |alive⟩+b|e⟩\otimes |dead⟩.$$

书上记作 |活⟩、|死⟩，分别是活猫、死猫两个宏观状态。激发态 $|e⟩$ 跃迁到 $|g⟩$ 时辐射杀猫，所以 $|e⟩$ 配死猫；基态不辐射，$|g⟩$ 配活猫。

jc-11-3-2 · 叠加、测量、不可克隆 · 🟡

简答（书 p232–233）

(1) 量子态叠加和经典波叠加有哪四点区别？

(2) 经典测量和量子测量的前提有什么不同？量子测量造成哪两件事？

(3) 什么叫不可克隆？书上说它保证了什么？

(4) 全同性原理的内容是什么？它的直接后果是什么？

**答案**

(1) 四点（p232）：

• $|\psi {|}^2$ 在经典是强度，在量子是概率密度。
• 经典是两列波叠加；量子是同一个粒子各种可能态的叠加。
• 经典两列相同波叠加给出新波；量子里相同态叠加仍是原来那个态。
• 经典叠加波的动量、能量有确定值；量子叠加使力学量的测量结果不确定。

(2) 经典：有效测量的前提是测量不影响状态。量子：测量不可避免地使态坍缩，相干性消失，即退相干。演化按 Schrödinger 方程是幺正、可逆的；测量是非幺正、不可逆的。这一条第 6 章假设里已经有，这里是为了后面的密钥安全再用一次。

(3) 不可能把一个粒子的未知量子态复制到另一个粒子上而不破坏原态。书上说这保证量子通讯的保密性（p232）。证明不在本章，不要自己补一套克隆证明。

(4) 内禀属性相同的粒子不可区分。后果是全同多粒子波函数有确定的交换对称性。隧穿、Aharanov–Bohm、超导都是上面这些特性的现象，本章点到为止。

jc-11-3-3 · EPR 对的一次测量 · 🟡

计算（书 p233–234，式 (11-8)）两个电子处于

$$|{\psi }^{+}{⟩}_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow {⟩}_1|\downarrow {⟩}_2+|\downarrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2).$$

(1) 这个态是不是 ${\hat{S}}_{1z}$ 的本征态？是不是 ${\hat{S}}_{1z}+{\hat{S}}_{2z}$ 的本征态？

(2) 只测第一个电子的 $S_z$。两种结果各以什么概率出现？测得 $\uparrow$ 之后，两电子态坍缩成什么？第二个电子的 $S_z$ 还有没有不确定？

(3) 把两个电子分别放到地球和月球上，(2) 的结论变不变？Einstein 和 Bohr 对这件事各怎么说？

(4) 这场争论后来靠什么从哲学变成可由实验判断的问题？实验结论支持谁？

**答案**

(1) 不是 ${\hat{S}}_{1z}$ 的本征态：两项里粒子 1 分别是 $\uparrow$ 和 $\downarrow$。是 ${\hat{S}}_{1z}+{\hat{S}}_{2z}$ 的本征态，本征值 0：每一项都是一上一下。这就是「总自旋确定、单个不确定」，纠缠的直接表现。

(2) 展开系数模方各为 $1/2$，所以 $+\hslash /2$、$-\hslash /2$ 各以 $1/2$ 出现。测得对应 $|\uparrow {⟩}_1$ 的本征值后，态坍缩到直积态 $|\uparrow {⟩}_1|\downarrow {⟩}_2$，粒子 2 确定处于 $|\downarrow {⟩}_2$。测得 $\downarrow$ 则坍缩到 $|\downarrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2$。

(3) 不变。纠缠与空间坐标无关，分开多远仍是同一个态。Einstein：月球上的粒子 2 不该受地球上测量的任何影响，所以量子力学不完备（局域实在论）。Bohr：不论分开多远，对其中一个的局域测量必然改变另一个的状态，理论完备（非局域性）。争论的本质就是这两句。

(4) Bell 基于 Einstein 主张的隐变量理论给出 Bell 不等式，争论才可能用实验判断。实验结果（书上举 1982 年 Aspect 小组的光学实验，以及后来光纤分开 10 km 的纠缠光子实验）都表明 Bell 不等式不成立：Bohr 的非局域论正确，量子力学是完备的。尽管 Einstein 的结论错了，纠缠这个概念是他提出来的。年份是背景，不必背。

jc-11-3-4 · 猫、测量和「态不可观」 · 🟡

简答（书 p234–235，式 (11-9)(11-10)，图 11-1）

(1) Schrödinger 想用猫说明什么？把猫换成测量仪，问题变成什么？

(2) 二能级原子能量测得 $E_g$、$E_e$ 各占 $1/2$。能直接观测到的是什么？能反推出的态是什么？猫的情形同不同？

**答案**

(1) 他想说明量子力学不完备：若理论描述真实的物理实在，猫在宏观上也该处于死与活的叠加，而实际上看到的猫要么死要么活。书上补充：后来已有宏观光学实验证明了「猫态」存在。把猫换成测量仪，就变成量子体系和宏观测量仪之间的纠缠问题：为什么测到的总是待测力学量的某一个本征态，而看不到仪器和体系的纠缠？书上的说法（von Neumann）是：体系自身演化幺正、可逆；测量是非幺正、不可逆的坍缩，导致退相干。书上明确说测量问题仍待探讨，不展开。

(2) 力学量可观测，量子态不可观测。能量每次给出 $E_g$ 或 $E_e$ 中的一个；各以 $1/2$ 出现时，反推态为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|g⟩+|e⟩)$。同样，永远观测不到活猫和死猫的叠加，观测到的是活的或死的猫；式 (11-10) 是由观测结果反推的。易错：把「反推出来的叠加」说成「一次测量看见了叠加」。

11.4 量子信息论

知识点小结：量子信息论用量子态编码，分成量子通讯和量子计算机两部分，都建立在纠缠和非局域性上。信息单元从比特变成量子比特 $|\psi ⟩=c_0|0⟩+c_1|1⟩$。$N$ 个量子比特可以处在 $2^N$ 个计算基的叠加里，存储按指数增加。加工靠幺正门：单比特的 $X,Y,Z,H$，两比特的受控非门。未知态不能靠电话描述，要靠共享的 EPR 对做隐形传态：Alice 做 Bell 测量，用经典通道告诉 Bob 结果，Bob 再做一个幺正变换，代价是纠缠被破坏。保密靠测量会坍缩、未知态不可克隆。量子计算是同一套存储器上的幺正演化，三步是制备初态、幺正门、测量；Shor 把大数分解从天文时间拉到可做，Grover 把未整理数据库的搜索从 $N/2$ 次降到 $\sqrt{N}$ 次。

jc-11-4-1 · 量子比特和四个门 · 🟡

填空（书 p236–238，式 (11-11)–(11-27)）直接写出。

(1) 量子比特的定义，以及归一化条件。经典比特是它的什么特殊情形？(11-11)(11-12)

(2) $N$ 个量子比特的存储器可以处在多少个计算基的叠加里？

(3) 写出 $X,Y,Z,H$ 的矩阵，以及它们对 $|0⟩$、$|1⟩$ 的作用。书上的 $Y$ 用哪个 Pauli 矩阵定义？(11-15)–(11-21)

(4) 写出受控非门 $C$ 的矩阵，以及它对 $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$ 的作用。(11-25)(11-26)

(5) 写出书上的 $|{\phi }^{+}⟩$。(11-28)

**答案**

(1) $|\psi ⟩=c_0|0⟩+c_1|1⟩$，$|c_0{|}^2+|c_1{|}^2=1$。$|0⟩,|1⟩$ 可以是自旋上下、光子左右旋、二能级原子的基态和激发态。经典比特只有 $0$、$1$ 两个可识别状态，是 $c_0,c_1$ 只取 $0,1$ 的特殊情形。数学上量子比特是二维 Hilbert 空间的任意矢量，$|0⟩,|1⟩$ 是正交归一完备基。

(2) $2^N$ 个。两个比特已有 $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$ 及叠加 $a|00⟩+b|01⟩+c|10⟩+d|11⟩$。存储能力按指数增加，这是书上说的「成千上万倍」的关键。易错：一次测量仍然只给出其中一个计算基，指数大的是可制备的态空间，不是一次读出的比特数。

(3) 书上 $Y\equiv i{\sigma }_2$，矩阵是实的：

$$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),Z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$$$\{\begin{array}{llcc}X|0⟩& =|1⟩,& X|1⟩& =|0⟩,\\ Z|0⟩& =|0⟩,& Z|1⟩& =-|1⟩,\\ Y|0⟩& =-|1⟩,& Y|1⟩& =|0⟩,\\ H|0⟩& =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩),& H|1⟩& =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩).\end{array}$$

书上管 $X$ 叫量子非门，$Z$ 叫相转换门，$Y$ 叫 Y 操作。由矩阵直接乘：$Y=ZX$，$XZ=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=-Y$。另外 $Y^2=-I$，而 $X^2=Z^2=I$。Hadamard 门把计算基变成叠加，书上说「产生一个量子比特」。

【原书笔误】 p237 原书写「很容易看出，$Y=XZ$」。按 (11-15) 的矩阵应为 $Y=ZX$（$XZ=-Y$）；用 (11-16)–(11-18) 也能核对：$ZX|0⟩=Z|1⟩=-|1⟩=Y|0⟩$。

书上还把这些门统一写成 $U(\delta ,\alpha ,\beta ,\theta )=e^{i\delta }{R}_z(\alpha )R_x(\theta )R_z(\beta )$（(11-22)–(11-24)），不要求默写。按 (11-23) 的 $R_z$、$R_x$ 乘出来：$X=-i{R}_x(\pi )$、$Z=-i{R}_z(\pi )$、$H=-i{R}_z(\frac{\pi }{2})R_x(\frac{\pi }{2})R_z(\frac{\pi }{2})$、$Y=-R_z(\pi )R_x(\pi )$ 都对。

【原书笔误】 (11-24) 第二行原书写 $Y=U(\pi ,\pi ,\pi ,0)$，按 (11-22) 这等于 $-R_z(2\pi )=I$；与右边 $-R_z(\pi )R_x(\pi )$ 相符的参数是 $U(\pi ,\pi ,0,\pi )$，即 $\beta$ 与 $\theta$ 两个位置印反。

(4) 计算基顺序 $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$：

$$C=\{\begin{array}{llcc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array},\{\begin{array}{ll}|00⟩& \to |00⟩,\\ |01⟩& \to |01⟩,\\ |10⟩& \to |11⟩,\\ |11⟩& \to |10⟩.\end{array}$$

控制位是第一个比特：为 $|0⟩$ 时目标不变，为 $|1⟩$ 时目标翻转。

(5) $|{\phi }^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$。受控非门作用后 $C|{\phi }^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|10⟩)$，纠缠被拆开。(11-29)

jc-11-4-2 · 用门制备和拆开 Bell 态 · 🟡

计算（书 p237–238，式 (11-19)(11-25)(11-28)；习题 11-4、11-5，p242）

(1) 验证 $H|0⟩$、$H|1⟩$、$C|{\phi }^{+}⟩$ 的书上结果。(11-20)(11-21)(11-29)

(2) 两比特初态 $|00{⟩}_{12}$。先对第一个比特做 $H$，再做受控非门（第一个为控制）。得到什么态？这就是习题 11-4。

(3) 初态 $|{\psi }^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01⟩+|10⟩)$。先做受控非门，再对第一个比特做 $H$。得到什么态？这就是习题 11-5。

(4) (2) 的逆过程是什么？它说明 Hadamard 门和受控非门联合起来能做什么？

**答案**

(1) $H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$。$H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)$。

$$C|{\phi }^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(C|00⟩+C|11⟩)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|10⟩).$$

后一态可以写成 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)|0⟩$，是直积，不再纠缠。

(2) $H_1|00⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|10⟩)$。再作用 $C$：$|00⟩$ 不变，$|10⟩\to |11⟩$，得

$$|{\phi }^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩).$$

(3) $C|01⟩=|01⟩$，$C|10⟩=|11⟩$，所以

$$C|{\psi }^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01⟩+|11⟩)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)|1⟩.$$

再对第一个比特做 $H$。$H\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)=|0⟩$，因此结果是 $|0⟩|1⟩=|01⟩$。展开核对：

$$\frac{1}{\sqrt{2}}[\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)|1⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)|1⟩]=|01⟩.$$

(4) (2) 的逆是先 $C$ 再 $H_1$：因为 $C^2=I$、$H^2=I$，且 (2) 就是 $C(H\otimes I)|00⟩$。联合作用可以把四个计算基变成纠缠态，也可以把纠缠态变回计算基。习题 11-5 就是后一件事。易错：受控非门的控制位弄反，书上 $|10⟩\to |11⟩$，控制位是前一个。

jc-11-4-3 · 隐形传态 · 🟡

计算（书 p239–240，式 (11-30)–(11-33)）Alice 在 London，Bob 在 New York，共享

$$|{\phi }^{+}{⟩}_{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_A|0{⟩}_B+|1{⟩}_A|1{⟩}_B).$$

Alice 另有待传的未知态 $|\psi {⟩}_C=\alpha |0{⟩}_C+\beta |1{⟩}_C$，$|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$。

(1) 若 Alice 知道 $\alpha ,\beta$，不用量子通道能不能完成传输？不知道时为什么不行？

(2) 写出三粒子态 $|\psi {⟩}_{ABC}$，并按 AC 的四个 Bell 基展开。四个 Bell 基自己定义清楚。(11-32)

(3) Alice 做 Bell 测量，得到 $|{\phi }^{+}{⟩}_{AC}$。Bob 的粒子处于什么态？另外三种结果，Bob 各要做什么幺正变换才能回到 $\alpha |0⟩+\beta |1⟩$？用书上的 $X,Z$。

(4) 经典通道至少要传几个比特？传完之后 AB 的纠缠还在吗？未知态有没有被克隆？

**答案**

(1) 知道的话，Alice 用电话把 $\alpha ,\beta$ 告诉 Bob，Bob 在当地制备同一个态即可。不知道就不能用经典语言描述这个态；不可克隆又禁止她先复制一份再测量。所以必须用共享纠缠。

(2) 定义

$$\{\begin{array}{ll}|{\phi }^{\pm }{⟩}_{AC}& =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_A|0{⟩}_C\pm |1{⟩}_A|1{⟩}_C),\\ |{\psi }^{\pm }{⟩}_{AC}& =\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_A|1{⟩}_C\pm |1{⟩}_A|0{⟩}_C).\end{array}$$$$|\psi {⟩}_{ABC}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_A|0{⟩}_B+|1{⟩}_A|1{⟩}_B)(\alpha |0{⟩}_C+\beta |1{⟩}_C).$$

把 $|0_A{0}_C⟩$、$|1_A{1}_C⟩$、$|0_A{1}_C⟩$、$|1_A{0}_C⟩$ 用上面四个基反解，例如 $|0_A{0}_C⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|{\phi }^{+}⟩+|{\phi }^{-}⟩)$。代回去，四项各出一个 $1/2$：

$$\{\begin{array}{ll}|\psi {⟩}_{ABC}=\frac{1}{2}[& (\alpha |0{⟩}_B+\beta |1{⟩}_B)|{\phi }^{+}{⟩}_{AC}+(\alpha |0{⟩}_B-\beta |1{⟩}_B)|{\phi }^{-}{⟩}_{AC}\\ & +(\beta |0{⟩}_B+\alpha |1{⟩}_B)|{\psi }^{+}{⟩}_{AC}+(\beta |0{⟩}_B-\alpha |1{⟩}_B)|{\psi }^{-}{⟩}_{AC}].\end{array}$$

系数 $1/2$ 不能省：反解计算基时出一个 $1/\sqrt{2}$，再和 EPR 对的 $1/\sqrt{2}$ 合起来才是 $1/2$；四项正交，模方各 $1/4$，概率和为 1。

【原书笔误】 (11-33) 原书四项前都没有 $\frac{1}{2}$，这样右边模方之和为 4，不归一。四项括号里的态（含 $|{\psi }^{-}{⟩}_{AC}$ 一项的 $\beta |0{⟩}_B-\alpha |1{⟩}_B$）都和原书一致。

(3) 坍缩到 $|{\phi }^{+}{⟩}_{AC}(\alpha |0⟩+\beta |1⟩{)}_B$ 时，Bob 的粒子已经是待传态，变换是 $I$。另外三种：

Alice 得到	Bob 手上的态	Bob 的变换
$	\varphi ^{-}\rangle$	$\alpha
$	\psi ^{+}\rangle$	$\beta
$	\psi ^{-}\rangle$	$\beta

核对最后一行：$X(\beta |0⟩-\alpha |1⟩)=-\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，再作用 $Z$ 得 $-(\alpha |0⟩+\beta |1⟩)$，和待传态只差总相位 $-1$，测量无区别。

(4) 四种结果等概率，经典通道传 2 个比特就够。传完后 A、B 不再纠缠，书上说这是代价。C 上的原态在 Bell 测量中被破坏，Bob 得到的是制备在 B 上的同一未知态，不是第二份拷贝，不违反不可克隆。（方案由 Bennett 等提出，后来已用光学实验实现；年份、刊物是背景。）

jc-11-4-4 · 两种窃听为什么都失败 · 🟡

简答（书 p240，图 11-2）

(1) 经典保密通讯的流程是什么？Shor 算法对它构成什么挑战？

(2) 量子密钥靠什么作载体、靠什么通道？窃听者的两种基本策略各是什么，各被哪一条原理挡住？

(3) 书上为什么说隐形传态是不可窃听的保密通讯？

**答案**

(1) 发送方用密钥 $K$ 把明文加密成密文，经经典通道传送；接收方用密钥 $K^{\prime }$ 解密。图 11-2 上还有窃听者。Shor 算法能在量子计算机上高效做大数素数分解，书上说可以轻而易举破译现有密钥体系。出路是量子密码术。

(2) 载体是量子态，通道是量子通道，在合法用户之间建立共享密钥。安全性由量子力学原理保证，不依赖计算难度。策略一：测量携带信息的量子态。测量使原态坍缩，得不到真实信息，同时留下痕迹，合法用户可以发现。策略二：复制量子态再测量。不可克隆，复制做不到。

(3) 隐形传态传的是未知态，中途没有一份可被测量或复制的「明文量子态」；Bell 测量的结果只是两个经典比特，没有 $\alpha ,\beta$。书上因此直接说它是不可窃听的保密通讯系统。易混：量子密钥是「用量子通道建立密钥」，隐形传态是「用纠缠加经典通道传未知态」，图 11-2 画的是密钥体系，正文末句把两者都算进保密功能。

jc-11-4-5 · Shor、Grover 和量子计算三步 · 🟡

填空（书 p240–241）直接写出。

(1) Shor 算法解决的是什么问题？Grover 量子搜索：在 $N$ 个未加整理的数据里，量子搜索约 ____ 次可以 $1/2$ 的概率找到目标，经典计算机要 ____ 次。

(2) 量子计算机由哪三部分构成？$N$ 个量子比特的存储器构成几维 Hilbert 空间？通用门书上说目前设想最多的是哪一组？

(3) 量子计算的三步各是什么？对 $N$ 个量子比特，标准初态和总过程怎么写？

(4) 书上说量子计算机和经典计算机的一个重要区别是什么？为什么量子逻辑运算是可逆的，这和 11.1 的热耗散极限有什么关系？

**答案**

(1) 大数的素数分解，而且能成千上万倍地提速；它使现有密钥体系可被破译（见 jc-11-4-4）。$\sqrt{N}$；$N/2$。

(2) 存储器、量子逻辑「线路」、测量设备。$2^N$ 维。单比特门（非门、相位门、Hadamard 门）加上受控非门。

(3) 输入：制备初始量子态，存进存储器。逻辑运算：对所存量子态做符合算法要求的幺正变换。测量：取出计算结果。

$$|\psi ⟩=|000\cdots 0⟩⟶U|\psi ⟩,$$

再对 $U|\psi ⟩$ 做量子测量得到结果。$U$ 是通用量子门的乘积。量子计算就是量子态随时间的演化。

(4) 数据的存储和处理（逻辑运算）在同一个体系（存储器）上进行：逻辑门就是对存储器上的量子态做幺正变换的控制设备。幺正变换可逆，所以逻辑运算既是热力学可逆的，也是逻辑上可逆的。11.1 的电子逻辑靠电子运动，是热力学不可逆过程，热耗散到原子量级就到头；量子方案避开的就是这一条。

jc-11-4-6 · 习题 11-1、11-2：${\hat{S}}_z$ 和 ${\hat{S}}_x$ 的测值 · 🟡

计算（习题 11-1、11-2，书 p242）电子自旋算符 ${\hat{S}}_z$ 的本征值为 $\pm \hslash /2$，本征矢量

$$|{\uparrow }_z⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),|{\downarrow }_z⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$$

(1) 习题 11-1：在 $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ 下，${\hat{S}}_z$ 的可能测值和概率。

(2) 同一态下 ${\hat{S}}_x$ 的可能测值和概率。先写出 ${\hat{S}}_x$ 的本征态 $|{\uparrow }_x⟩$、$|{\downarrow }_x⟩$。

(3) 习题 11-2：电子处于 $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|{\uparrow }_x⟩+|{\downarrow }_x⟩)$。${\hat{S}}_x$ 的可能测值和概率。

(4) 同一态下 ${\hat{S}}_z$ 的可能测值和概率。

**答案**

(1) $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|{\uparrow }_z⟩+|{\downarrow }_z⟩)$，已经归一。$+\hslash /2$、$-\hslash /2$ 各以 $|1/\sqrt{2}{|}^2=1/2$ 出现。

(2) ${\hat{S}}_x=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_x$，${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$。本征值仍是 $\pm \hslash /2$，本征态

$$|{\uparrow }_x⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),|{\downarrow }_x⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

$|\psi ⟩$ 就是 $|{\uparrow }_x⟩$，所以测得 $+\hslash /2$ 的概率为 1，$-\hslash /2$ 的概率为 0。易错：看见 $z$ 方向的等权叠加，就以为 $x$ 方向也各占 $1/2$。

(3) 态已按 ${\hat{S}}_x$ 的本征态展开，系数各 $1/\sqrt{2}$：$+\hslash /2$、$-\hslash /2$ 各以 $1/2$ 出现。

(4) 代入 (2) 的本征态：

$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=|{\uparrow }_z⟩.$$

所以测得 $+\hslash /2$ 的概率为 1，$-\hslash /2$ 的概率为 0。两题正好镜像：$z$ 方向的等权叠加是 ${\hat{S}}_x$ 的本征态，$x$ 方向的等权叠加是 ${\hat{S}}_z$ 的本征态。这里用的是 (2) 中 $|{\downarrow }_x⟩$ 的标准相位；若 $|{\downarrow }_x⟩$ 多乘一个相因子，(4) 的概率会跟着变，所以答题时要先写明本征态。

jc-11-4-7 · 纠缠纯态的约化密度矩阵 · 🟡

计算（习题 11-3，书 p242；密度算符和约化密度矩阵见第 6 章）二粒子纯态

$$|\psi ⟩=\cos \theta |00{⟩}_{12}+\sin \theta |11{⟩}_{12}.$$

(1) 写出体系的密度算符 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$。

(2) 对粒子 2 取迹，求粒子 1 的约化密度矩阵。写成 $|0⟩,|1⟩$ 基下的 $2\times 2$ 矩阵。

(3) 计算 $Tr{\rho }_{12}$。什么时候等于 1？等于 1 和不等于 1 各表示什么？

**答案**

(1)

$$\{\begin{array}{ll}\rho & ={\cos }^2\theta |00⟩⟨00|+{\sin }^2\theta |11⟩⟨11|\\ & +\cos \theta \sin \theta |00⟩⟨11|+\sin \theta \cos \theta |11⟩⟨00|.\end{array}$$

实系数，后两项互为厄米共轭。$Tr\rho =1$，${\rho }^2=\rho$，是纯态。

(2) 约化密度算符 ${\rho }_1=T{r}_2\rho$。交叉项含 $⟨0{|}_2|1{⟩}_2=0$，不贡献。

$${\rho }_1={\cos }^2\theta |0⟩⟨0|+{\sin }^2\theta |1⟩⟨1|=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta & 0\\ 0& {\sin }^2\theta \end{array}\right).$$

非对角的相干项在对另一个粒子取迹后消失。

(3) $Tr{\rho }_{12}={\cos }^4\theta +{\sin }^4\theta =1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2\theta$。等于 1 当且仅当 $\sin 2\theta =0$，即 $\theta =0$ 或 $\pi /2$（相差整倍数），这时 $|\psi ⟩$ 是直积态，粒子 1 仍是纯态。其余角度 $Tr{\rho }_{12}<1$，粒子 1 是混合态：整体纯态，子系统因纠缠而混合。第 6 章的判据在这里直接用。

jc-11-4-8 · 谱分解和测量概率 · 🟡

证明（习题 11-6，书 p242）$|n⟩$ 是包含 $\hat{A}$ 在内的一组力学量完全集的共同本征矢量，$\hat{A}|n⟩=a_n|n⟩$，$P_n=|n⟩⟨n|$。

(1) 证明 $\hat{A}={\sum }_n{a}_n{P}_n$。

(2) 证明在任一态 $|\psi ⟩$ 下，测得 $a_k$ 的概率是 $p_k=⟨\psi |P_k|\psi ⟩$。

**答案**

(1) 完备性 ${\sum }_n|n⟩⟨n|=I$。对任意 $|\psi ⟩={\sum }_m{c}_m|m⟩$，

$$(\sum a_n{P}_n)|\psi ⟩=\sum a_n{c}_n|n⟩=\hat{A}|\psi ⟩.$$

对一切态成立，故算符相等。这一步用了 $|n⟩$ 是 $\hat{A}$ 的本征基，而且完备。

(2) 测得 $a_k$ 的概率是 $|c_k{|}^2=|⟨k|\psi ⟩{|}^2$。而

$$⟨\psi |P_k|\psi ⟩=⟨\psi |k⟩⟨k|\psi ⟩=|⟨k|\psi ⟩{|}^2.$$

所以 $p_k=⟨\psi |P_k|\psi ⟩$。$P_k$ 是投影算符，$P_k^2=P_k$，它的平均值就是这个本征值出现的概率。无简并时一个 $a_k$ 对应一个 $P_k$；有简并时要把同一本征值的投影加起来，习题没有要求这一句。

第11章原书笔误（已核对）

Grok 清单列的 8 条逐条对页图核实，(11-23)(11-24) 和习题 11-1、11-2 放大到 450dpi，(11-24) 和 (11-33) 按书上自己的定义重新乘出来。属实 4 条（影响公式的已写进对应题目），另 2 条是不影响物理的文字笔误，不在题下加注：

位置	原书	改正	题
p231，式 (11-2)	${\hat{l}}_z=diag(1,0,-1)$（矩阵形式）	前面漏了 $\hslash$：${\hat{l}}_z=\hslash diag(1,0,-1)$	jc-11-3-1
p237，(11-18) 下一行	「$Y=XZ$」	$Y=ZX$（$XZ=-Y$）	jc-11-4-1
p238，式 (11-24) 第二行	$Y=U(\pi ,\pi ,\pi ,0)=-R_z(\pi )R_x(\pi )$	$Y=U(\pi ,\pi ,0,\pi )$；原参数给出 $-R_z(2\pi )=I$，右边 $-R_z(\pi )R_x(\pi )$ 是对的	jc-11-4-1
p239–240，式 (11-33)	四项前无系数	整体乘 $\frac{1}{2}$，否则不归一	jc-11-4-3

文字笔误（不影响物理，不加注）：p230「四种核甘酸」应为核苷酸；p234 式 (11-10) 下「|活⟩和|死⟩分别代表猫的死、活两种状态」，死、活二字顺序颠倒。

不属实（扫描误读）：

• p238 式 (11-24) 第一行：原书是 $X=U(-\frac{\pi }{2},0,0,\pi )=-i{R}_x(\pi )$，下标是 $x$ 不是 $z$；按 (11-23) 乘出来正是 $X$。
• p242 习题 11-2：原书是 $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|{\uparrow }_x⟩+|{\downarrow }_x⟩)$，括号完整。注意下标是 $x$：草稿把它当成和习题 11-1 同一个态，已改回原书，见 jc-11-4-6(3)(4)。

另：(11-23) 的 $R_x(\theta )$ 非对角元是 $+i\sin \frac{\theta }{2}$，和常见的 $-i\sin$ 约定相反，但书上前后自洽，(11-24) 各行都按它算对，不是笔误；$Y\equiv i{\sigma }_2$ 是书上的定义，也不是笔误。

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