知识网·第3章 一维定态（试版）

把站上和第3章有关的题按物理模型归到一起：小蓝书（蓝）、强化班（强）、量力题 1–61（题）、书本扫盲（扫）。每个模型分三层：基础知识点 → 常考题型 → 延伸考法（极限、变式、跨章）。题号旁的色标从 status.json 自动读取：⬜ 未测 · 🟡 未复习/模糊/不会 · 🟢 懂 · 🔴 不行。点题号直接跳到那道题。

0. 定态与一维一般性质

考什么：定态 = 能量本征态，$e^{-iEt/\hslash }$ 分离，概率密度、平均值不随时间变；叠加态不是定态。势取实函数保证概率守恒。束缚态三条件（可归一、无穷远趋零、$\psi$ 连续，有限势处 ${\psi }^{\prime }$ 连续），无限势/δ 势处 ${\psi }^{\prime }$ 可跃变。一维定理：${\psi }^{\ast }$ 也是解、无简并可取实函数、对称势下可取确定宇称、不同能级正交、同能量两解 Wronskian 为常数（一维束缚态无简并）。

• 必背公式：

  • 定态 $\psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})e^{-iEt/\hslash }$（p32，式 (3-6)）
  • 不含时方程 $\hat{H}\psi =E\psi$，$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+V(\mathbf{r})$（p33，式 (3-9)）
  • 一维 $-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\psi }^{{}^{\prime \prime }}+V(x)\psi =E\psi$（p34，式 (3-15)）
  • 一般解 $\psi (x,t)={\sum }_n{c}_n{\psi }_n(x)e^{-i{E}_{n}t/\hslash }$，$c_n=\int {\psi }_n^{\ast }(x)\psi (x,0)dx$（p33–34）
  • 宇称：$\hat{P}\psi (x)=\psi (-x)$；$V(-x)=V(x)$ 且无简并时 $\hat{P}\psi =\pm \psi$（p37–38，式 (3-33)–(3-37)）

• 基础知识点：扫3-1-1🟡 扫3-1-2🟡 扫3-2-1🟡 扫3-2-2🟡 扫3-2-3🟡 扫3-2-4🟡 扫3-2-5🟡 扫3-2-6🟡 扫3-2-7🟡 扫3-1-3🟡 扫3-2-8🟡

• 常考题型（证明题）：蓝3-1🟢 蓝3-2🟢 蓝3-3🟡 蓝3-4🟡 蓝3-5🟢 蓝3-6🟢

• 延伸考法：

  • Ehrenfest 定理（平均值满足牛顿方程）：蓝3-7🟡
  • 可分离势 → 分离变量：蓝3-8🟡
  • 复势 → 概率不守恒（吸收）：强10×0
  • 反推：由本征函数定势参数、能量差：强4×1
  • 无束缚态的势、守恒量判断：强12×0
  • 跨章（动量表象写 Schrödinger 方程）：蓝3-18🟡

1. 无限深方势阱

考什么：阱内 $\sin /\cos$、壁上 $\psi =0$ → $E_n=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}^2}{2m{a}^2}$，$n$ 从 1 起，零点能不为零；对称阱宇称交替；本征态是驻波（不是动量本征态）。常考：给叠加态求能量测值与概率、$\bar{x}$、$\Delta x$、$\bar{p}$，以及叠加态的含时演化。

• 必背公式：

  • 阱 $|x|<\frac{a}{2}$：$k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$，$E_n=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2{n}^2}{2m{a}^2}$，$n=1,2,3,\dots$（p36，式 (3-28)）
  • ${\psi }_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\cos \frac{n\pi x}{a}$（$n$ 奇），${\psi }_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}$（$n$ 偶）（p36–37，式 (3-30)–(3-32)）
  • 阱 $0<x<a$（平移原点）：${\psi }_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}$，能级不变
  • 宇称：$n$ 奇为偶宇称，$n$ 偶为奇宇称（p38，式 (3-36)(3-37)）
  • 二维阱：$E_{n,m}=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m}(\frac{n^2}{a^2}+\frac{m^2}{b^2})$，$\psi =\frac{2}{\sqrt{ab}}\sin \frac{n\pi x}{a}\sin \frac{m\pi y}{b}$（p51，式 (3-129)(3-131)）

• 基础知识点：扫3-3-1🟡 扫3-3-2🟡 扫3-3-3🟡

• 常考题型：

  • 能级、$\bar{x}$、$\Delta x$、$\bar{p}$：蓝3-9🟡 蓝3-12🟡
  • 叠加态的能量测值与概率、含时概率密度：蓝3-16🟡 强8×0

• 延伸考法：

  • 变式：中间隔无限高壁的双阱、阱心加 δ 垒：强1×1 强2×2
  • 维数推广：二维方阱（分离变量、简并）：扫3-8-1⬜ 扫3-8-2🟡
  • 周期边界（圆环）：题4🟢 强5×2
  • 跨章·测量：基态是不是动量本征态：题51🟡
  • 跨章·微扰：题8🟢 题9🟢 题17⬜ 题10🟢 题5🟢
  • 跨章·全同粒子：题24🟢 题26⬜ 题2🟢

2. 有限深方势阱

考什么：$0<E<V_0$ 束缚态；阱外 $e^{-\beta |x|}$ 衰减（经典禁区有概率）；$\psi$、${\psi }^{\prime }$ 连续 → 超越方程 $\xi \tan \xi =\eta$（偶）、$-\xi \cot \xi =\eta$（奇），与圆 ${\xi }^2+{\eta }^2=\frac{m{V}_0{a}^2}{2{\hslash }^2}$ 联立图解。

• 必背公式：

  • $k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$，${\beta }^2=\frac{2m(V_0-E)}{{\hslash }^2}$；阱外 $e^{\mp \beta x}$（p38–39，式 (3-40)–(3-44)）
  • $\xi =\frac{ka}{2}$，$\eta =\frac{\beta a}{2}$；偶 $\xi \tan \xi =\eta$，奇 $-\xi \cot \xi =\eta$（p40，式 (3-51)(3-52)(3-55)）
  • ${\xi }^2+{\eta }^2=\frac{m{V}_0{a}^2}{2{\hslash }^2}$（p40，式 (3-53)(3-56)）
  • 至少一个偶束缚态；奇束缚态要求 $V_0{a}^2\ge \frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m}$（p40–41）
  • $V_0\to \infty$：$ka=n\pi$，$E_n=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2{n}^2}{2m{a}^2}$（p41，式 (3-58)(3-59)）
  • 归一化 $C^2[\frac{a}{2}(1+\frac{\sin ka}{ka})+\frac{1}{\beta }{\cos }^2\frac{ka}{2}]=1$（p42，式 (3-63)–(3-66)）

• 基础知识点：扫3-4-1🟡 扫3-4-3🟡

• 常考题型：一边无限高（半无限阱）→ 只剩奇解，数束缚态个数、由给定能级定阱宽：扫3-4-2⬜ 强3×1

• 延伸考法（极限）：对称阱至少一个偶束缚态、奇态要阱够深；$E\ll V_0$ 退回无限深阱；半无限阱要阱够深才有束缚态——都在上面两题的小问里。

3. δ 势阱与 δ 势垒

考什么：方程在 $x=0$ 附近积分 → $\psi$ 连续、${\psi }^{\prime }$ 跃变；δ 阱只有一个束缚态 $E=-\frac{m{V}_0^2}{2{\hslash }^2}$（偶宇称），奇解为零；δ 垒透射 $|S{|}^2=(1+\frac{m{V}_0^2}{2{\hslash }^{2}E}{)}^{-1}$，${\psi }^{\prime }$ 不连续但概率流连续。

• 必背公式：

  • $\delta$ 阱 $V=-V_0\delta (x)$：${\psi }^{\prime }(0^{+})-{\psi }^{\prime }(0^{-})=-\frac{2m{V}_0}{{\hslash }^2}\psi (0)$（p43，式 (3-70)）
  • $k=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hslash }=\frac{m{V}_0}{{\hslash }^2}$，$E=-\frac{m{V}_0^2}{2{\hslash }^2}$，只有一个束缚态（p43，式 (3-72)(3-76)）
  • $\psi =\sqrt{k}{e}^{-k|x|}$；$L=\frac{1}{k}=\frac{{\hslash }^2}{m{V}_0}$，$P(|x|>L)=e^{-2}$（p44，式 (3-77)(3-78)）
  • $\delta$ 垒 $V=V_0\delta (x)$：${\psi }^{\prime }(0^{+})-{\psi }^{\prime }(0^{-})=\frac{2m{V}_0}{{\hslash }^2}\psi (0)$（p48，式 (3-106)）
  • $S=(1+\frac{im{V}_0}{{\hslash }^{2}k}{)}^{-1}$，$R=-\frac{im{V}_0/{\hslash }^{2}k}{1+im{V}_0/{\hslash }^{2}k}$（p49，式 (3-110)）
  • $|S{|}^2=(1+\frac{m{V}_0^2}{2{\hslash }^{2}E}{)}^{-1}$，$|R{|}^2+|S{|}^2=1$（p49，式 (3-111)）

• 基础知识点：扫3-5-1⬜ 扫3-7-1⬜ 扫3-5-2🟡 扫3-7-2🟡

• 常考题型：δ 阱束缚态（能级、归一化、$\Delta x$）：蓝3-19🟢

• 延伸考法：

  • δ 与其他势组合：阱心 δ 垒、圆环上的 δ：强2×2 强5×2
  • 跨章·动量几率分布：题32🟢
  • 跨章·$p$ 表象求解 δ 势阱（第5章）：强49×1
  • 跨章·微扰（δ 微扰）：题5🟢

4. 势垒、台阶与散射

考什么：用概率流定义反射、透射系数，$R+T=1$；$E<V_0$ 隧穿，厚垒 $T\propto e^{-2la}$，对 $m$、$a$、$V_0-E$ 指数敏感；$E>V_0$ 换 $l\to i{l}^{\prime }$ 仍有反射；台阶（含下台阶）也有量子反射。

• 必背公式：

  • 概率流 $j=\frac{i\hslash }{2m}(\psi {\partial }_x{\psi }^{\ast }-{\psi }^{\ast }{\partial }_x\psi )$；$e^{ikx}$ 的流 $\frac{\hslash k}{m}$（p45–46，式 (3-89)–(3-91)）
  • ${\psi }_I=e^{ikx}+R{e}^{-ikx}$，${\psi }_{III}=S{e}^{ikx}$；$k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$，$l^2=\frac{2m(V_0-E)}{{\hslash }^2}$（p45，式 (3-85)–(3-88)）
  • $T=|S{|}^2=\frac{4k^2{l}^2}{(k^2+l^2{)}^2{\sinh }^{2}la+4k^2{l}^2}$（p47，式 (3-99)），$|R{|}^2=\frac{(k^2+l^2{)}^2{\sinh }^{2}la}{(k^2+l^2{)}^2{\sinh }^{2}la+4k^2{l}^2}$（式 (3-100)）
  • $|R{|}^2+|S{|}^2=1$（p47，式 (3-101)）
  • $la\gg 1$：$T\approx \frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}\exp [-\frac{2a}{\hslash }\sqrt{2m(V_0-E)}]$（p47，式 (3-102)）
  • $E>V_0$：$l\to i{l}^{\prime }$，$l^{\prime }=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hslash }$，$\sinh (i{l}^{\prime }a)=i\sin l^{\prime }a$（p47–48，式 (3-103)）

• 基础知识点：扫3-6-2⬜ 扫3-6-4🟡

• 常考题型：势阶反射系数：扫3-6-3⬜ 蓝3-10🟡；δ 垒透射：扫3-7-1⬜

• 延伸考法：隧穿的应用（Josephson 节）：扫3-6-1⬜；极限：垒宽→0、高→∞ 且乘积固定即 δ 垒。

5. 谐振子

考什么：无量纲化 → Hermite 方程，级数截断 → $E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$，$n$ 从 0 起，等间距、零点能；宇称 $(-1{)}^n$；递推式 $x{\psi }_n$、${\psi }_n^{\prime }$ 只连到 ${\psi }_{n\pm 1}$；$\bar{x}=\bar{p}=0$，$\bar{T}=\bar{V}=E_n/2$；三维各向同性 $E=(N+\frac{3}{2})\hslash \omega$ 有简并。

• 必背公式：

  • $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$（p52，式 (3-133)）
  • $\alpha =\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}$，$\xi =\alpha x$，$\lambda =\frac{2E}{\hslash \omega }$（p52，式 (3-136)）
  • $E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$，$n=0,1,2,\dots$（p54，式 (3-149)(3-150)）
  • ${\psi }_n=N_n{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2}{H}_n(\alpha x)$（p54，式 (3-152)），$N_n=(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }{2}^{n}n!}{)}^{1/2}$（p56，式 (3-161)）
  • $H_{n+1}-2\xi H_n+2n{H}_{n-1}=0$，$H_n^{\prime }=2n{H}_{n-1}$（p54，式 (3-154)(3-155)）
  • $\int H_m{H}_n{e}^{-{\xi }^2}d\xi =\sqrt{\pi }{2}^{n}n!{\delta }_{mn}$（p55，式 (3-156)）；$H_n=(-1{)}^n{e}^{{\xi }^2}\frac{d^n}{d{\xi }^n}{e}^{-{\xi }^2}$（式 (3-157)）
  • $H_0=1$，$H_1=2\xi$，$H_2=4{\xi }^2-2$，$H_3=8{\xi }^3-12\xi$（p55，式 (3-158)）
  • ${\psi }_0=\frac{\sqrt{\alpha }}{{\pi }^{1/4}}{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2}$，${\psi }_1=\frac{\sqrt{2\alpha }}{{\pi }^{1/4}}\alpha x{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2}$（p56，式 (3-162)）
  • ${\psi }_n(-x)=(-1{)}^n{\psi }_n(x)$（p56，式 (3-163)）
  • $x{\psi }_n=\frac{1}{\alpha }[\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}+\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}]$，${\psi }_n^{\prime }=\alpha [\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}-\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}]$（习题3-14）
  • 三维各向同性：$V=\frac{1}{2}m{\omega }^2{r}^2$（p57，式 (3-168)），$E_N=(N+\frac{3}{2})\hslash \omega$，$N=n_x+n_y+n_z$（p59，式 (3-181)），简并度 $\frac{(N+1)(N+2)}{2}$（p59）

• 基础知识点：扫3-9-1⬜ 扫3-9-2⬜ 扫3-9-3⬜ 扫3-9-4🟡

• 常考题型：

  • 递推式与平均值（$\bar{x}$、$\bar{p}$、$\bar{T}$、$\bar{V}$）：蓝3-13🟢 蓝3-14🟢 强19×1
  • 概率分布、经典禁区：蓝3-17🟡
  • 弹性系数突变（突然近似）：强6×0 强7×0

• 延伸考法：

  • 变式：半谐振子（只留奇态）：蓝3-15🟡
  • 外电场 → 配方平移：蓝3-11🟢
  • 多振子、耦合振子（质心/相对坐标、正则坐标）：蓝3-20🟢 蓝3-21🟢 强9×0
  • 跨章·绘景：Heisenberg 绘景 $x(t)$、$p(t)$：强11×0
  • 跨章·升降算符、矩阵与相干态：强17×1 题56🟡 题57🟡 题58⬜ 强23×1 强24×1
  • 跨章·微扰：题1🟢 题3🟢 题13⬜ 题20⬜ 题21⬜ 题22⬜ 题6🟢 题15⬜
  • 跨章·全同粒子：题27⬜

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试版 · 2026-10-08 · 同一题可能出现在两个模型下（如 强2、强5、扫3-7-1、题5）。