量子力学题目 · 2026年9月20日

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2026年9月20日

教材第9章 · 定态微扰论 · 不含时 · 序号 8–22（书9-1～9-15；不含9-16～9-21）

题 8 · 书9-1 · 非简并 · 🟢 懂

用一级微扰论计算宽度为 $a$、切掉 $OAB$ 部分之后的无限深势阱中，基态和第一激发态的能量，其中 $V_0\ll 1$（题图所示）。

题图：无限深势阱 $0<x<a$，底边自 $O(0,0)$ 斜升至 $A(a,V_0)$（$B$ 为 $(a,0)$），即微扰

$$H^{\prime }=\frac{V_0}{a}x(0<x<a).$$

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骨架

1. 切掉 $OAB$＝原阱底叠加斜坡 $H^{\prime }=V_{0}x/a$（壁仍在 $0,a$）
2. 未扰 ${\psi }_n=\sqrt{2/a}\sin (n\pi x/a)$，非简并一级 $E_n^{(1)}=⟨H^{\prime }⟩$
3. 算 ${\int }_0^{a}x{\sin }^2(n\pi x/a)dx$（或用 $|\psi {|}^2$ 关于 $a/2$ 对称）
4. 得 $⟨x⟩=a/2$，故基态与第一激发一级修正相同

入口

• 公式：$E_n^{(1)}=⟨{\psi }_n|H^{\prime }|{\psi }_n⟩$
• ${\sin }^2$ 半角 + 交叉项分部积分为零；对称性直接给 $⟨x⟩=a/2$
• 结果：$E_n^{(1)}=V_0/2$（与 $n$ 无关）

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题 9 · 书9-2 · 非简并 · 🟢 懂

在一个宽为 $L$ 的无限深方势阱中有两个高为 $V$、宽为 $a\ll 1$ 的小微扰势，微扰势的中心分别位于 $x=\frac{L}{3}$ 和 $x=\frac{2L}{3}$ 处。利用微扰方法估计 $n=1$ 与 $n=4$ 能级间的能量差的变化。

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骨架

1. $a\ll L$：两道窄垒 $\to$ $H^{\prime }\simeq Va[\delta (x-L/3)+\delta (x-2L/3)]$
2. 非简并一级：$E_n^{(1)}=Va(|{\psi }_n(L/3){|}^2+|{\psi }_n(2L/3){|}^2)$
3. 分别算 $n=1$ 与 $n=4$ 的 ${\sin }^2(n\pi /3)+{\sin }^2(2n\pi /3)$
4. 求差 $\Delta (E_4-E_1{)}^{(1)}=E_4^{(1)}-E_1^{(1)}$

入口

• $\delta$ 把积分压成垒心处 $|\psi {|}^2$
• $n=1,4$ 在两垒心处 ${\sin }^2$ 均为 $3/4$，故 $E_1^{(1)}=E_4^{(1)}=3Va/L$
• 一级间隔不变：$\Delta (E_4-E_1{)}^{(1)}=0$

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题 10 · 书9-3 · 简并 · 🟢 懂

一质量为 $m$ 的粒子处于二维无限深方势阱（长、宽均为 $a$）

• (1) 写出粒子基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，若有简并写出简并度；
• (2) 若势阱中 $(x,y)=(\frac{a}{2},\frac{a}{4})$ 处存在一根“毛刺”，该微扰势可以表示

$${\hat{H}}^{\prime }=\epsilon \delta (x-\frac{a}{2})\delta (y-\frac{a}{4}),|\epsilon |\ll 1$$

计算基态和第一激发态能量的一级修正。

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骨架

1. (1) 写出 $E_{n_x{n}_y}$、${\psi }_{n_x{n}_y}$；基态 $(1,1)$；第一激发 $(2,1)$、$(1,2)$ 二重简并
2. (2) 基态非简并：$E^{(1)}=\epsilon |{\psi }_{11}(a/2,a/4){|}^2$
3. 激发：在 ${\psi }_{12},{\psi }_{21}$ 上写 $W$，解 $\det (W-\lambda I)=0$
4. 注意毛刺落在 ${\psi }_{21}$ 的节线 $x=a/2$ 上 → 一列为零

入口

• ${\delta }^2$ 积分：$W_{\alpha \beta }=\epsilon {\psi }_{\alpha }(a/2,a/4){\psi }_{\beta }(a/2,a/4)$
• ${\psi }_{21}(a/2,\cdot )=0$（$n_x=2$ 中点节点）→ $W$ 已对角
• 劈裂：$E^{(1)}=4\epsilon /a^2$ 与 $0$；好态即原 ${\psi }_{12}$、${\psi }_{21}$

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题 11 · 书9-4 · 简并 · 🟢 懂

平面转子的转动惯量为 $I$，电偶极矩为 $D$。转子在沿 $x$ 方向的电场 $\epsilon$ 中运动，体系的 Hamilton 量（转子绕 $z$ 轴旋转）$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }$，其中

$${\hat{H}}_0=-\frac{{\hslash }^2}{2I}\frac{d^2}{d{\varphi }^2},{\hat{H}}^{\prime }=D\epsilon \cos \varphi$$

求：

• (1) 一级近似下能量本征值与本征函数；
• (2) 二级近似下的能量本征值。

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骨架

1. 未扰 ${\psi }_m=e^{im\varphi }/\sqrt{2\pi }$，$E_m^{(0)}=m^2{\hslash }^2/(2I)$；$m\ne =0$ 时 $\pm m$ 二重简并
2. $\cos \varphi \to (e^{i\varphi }+e^{-i\varphi })/2$，用 ${\int }_0^{2\pi }{e}^{ik\varphi }d\varphi$ 正交得 Kronecker：$⟨m^{\prime }|\cos \varphi |m⟩=\frac{1}{2}({\delta }_{m^{\prime },m+1}+{\delta }_{m^{\prime },m-1})$
3. 简并子空间 $|m⟩,|-m⟩$ 内 $W=0$（$\Delta m=\pm 1$ 连不到 $-m$）→ 一级不劈裂，$E_m^{(1)}=0$
4. 一级波函数只混 $m\pm 1$；二级能量两通道求和

入口

• 必记：$\cos \to \exp$ + $\int e^{ik\varphi }d\varphi \Rightarrow$ Kronecker（只连 $\Delta m=\pm 1$）
• 矩阵元 $H_{m^{\prime }m}^{\prime }=(D\epsilon /2)({\delta }_{m^{\prime },m+1}+{\delta }_{m^{\prime },m-1})$；对角为零
• 二级：$E_m^{(2)}=I{D}^2{\epsilon }^2/[(4m^2-1){\hslash }^2]$（$m=0$ 得 $-I{D}^2{\epsilon }^2/{\hslash }^2$）

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题 12 · 书9-5 · 非简并 ·（球函数/类氢） · ⬜未测

如果类氢离子的电荷数 $Z$ 变成 $Z+1$，体系的能量将如何改变？试用微扰方法计算基态能量的一级近似值。已知：类氢离子的基态能量本征值和本征函数分别为

$$E_1=-\frac{Z^2{e}^2}{2a},{\psi }_{100}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}(\frac{Z}{a}{)}^{3/2}{e}^{-Zr/a}$$

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骨架

1. $Z\to Z+1$：$V$ 多一项 $\Rightarrow H^{\prime }=-e^2/r$（吸引变强）
2. 基态非简并：$E^{(1)}=⟨{\psi }_{100}|H^{\prime }|{\psi }_{100}⟩$，用未扰（电荷 $Z$）的 ${\psi }_{100}$
3. 球坐标只剩径向：$⟨1/r{⟩}_{100}={\int }_0^{\infty }4\pi r^2|\psi {|}^2(1/r)dr$
4. 标准积分得 $⟨1/r⟩=Z/a$，对照精确 $(Z+1{)}^2$ 展开的一次项

入口

• 角向球对称积完只留径向均值 $⟨1/r⟩$
• ${\int }_0^{\infty }r{e}^{-\alpha r}dr=1/{\alpha }^2$（$\alpha =2Z/a$）→ $⟨1/r⟩=Z/a$
• $E^{(1)}=-Z{e}^2/a$；精确差里的 $-e^2/(2a)$ 是二级及更高

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题 13 · 书9-6 · 非简并 · ⬜未测

设一维谐振子的 Hamilton 量 ${\hat{H}}_0=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}k{x}^2$，求该谐振子受到微扰 ${\hat{H}}^{\prime }=\frac{1}{2}\lambda x^2$（$\lambda \ll k$）时，谐振子基态能量的一级修正值，并说明这一修正值是

$$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}(k+\lambda )x^2$$

的本征值方程精确解按 $\lambda$ 展开式的一次幂项。

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骨架

1. 非简并一级：$E_0^{(1)}=(\lambda /2)⟨x^2{⟩}_0$
2. 用升降算符或维里定理求出 $⟨x^2{⟩}_0=\hslash /(2m\omega )$
3. 精确：${\omega }^{\prime }=\omega \sqrt{1+\lambda /k}$，$E_0=\frac{1}{2}\hslash {\omega }^{\prime }$
4. 把 $\sqrt{1+\lambda /k}$ 按 $\lambda$ 展到一次，与微扰对照

入口

• $x=x_0(a+a^{†})$，$x_0=\sqrt{\hslash /(2m\omega )}$ → $⟨0|x^2|0⟩=x_{02}$
• 或维里：$⟨V⟩=E/2$ ⇒ $⟨x^2{⟩}_0=\hslash /(2m\omega )$
• $E_0^{(1)}=\lambda \hslash /(4m\omega )$，与精确一次项相同

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题 14 · 书9-7 · 非简并 · ⬜未测

设一量子体系的 Hamilton 量为 $\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }$，其中

$${\hat{H}}_0=\left(\begin{array}{cc}{E}_1& 0\\ 0& E_2\end{array}\right),{\hat{H}}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$$

（$a,b\ll 1$，为实数）。求二级近似下的能量本征值，并与精确解加以比较。

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骨架

1. $H_0=diag(E_1,E_2)$，非对角与对角微扰分开；$E_1\ne =E_2$
2. 一级：$E_n^{(1)}=H_{nn}^{\prime }=a$
3. 二级：只连对方，$E_1^{(2)}=b^2/(E_1-E_2)$，$E_2^{(2)}=-b^2/(E_1-E_2)$
4. 精确对角化 $2\times 2$，再按 $b^2/(E_1-E_2{)}^2$ 展开对照

入口

• $E_n^{(1)}=H_{nn}^{\prime }$，$E_n^{(2)}={\sum }_{k\ne =n}|H_{kn}^{\prime }{|}^2/(E_n-E_k)$
• 对角 $a$ 只进一级，勿再塞进二级分式
• 精确根 ${\lambda }_{\pm }=a+(E_1+E_2)/2\pm \sqrt{{\Delta }^2+b^2}$，展开到 $b^2$ 一致

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题 15 · 书9-8 · 简并 · ⬜未测

一个质量为 $m$、电量为 $q$ 的无自旋粒子处于二维谐振子势中，其哈密顿量为

$${\hat{H}}_0=\frac{{\hat{p}}_{x2}}{2m}+\frac{{\hat{p}}_{y2}}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2)$$

• (1) 写出粒子的基态和第一激发态的能量本征值，若有简并写出简并度。
• (2) 若存在一个沿 $z$ 方向的弱磁场 $B$，该磁场与轨道角动量作用形成一个微扰

$${\hat{H}}^{\prime }=-\frac{qB}{2m}(x{\hat{p}}_y-y{\hat{p}}_x)$$

利用微扰理论，计算基态和第一激发态能量的一级修正。

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骨架

1. (1) $E_{n_x{n}_y}=(n_x+n_y+1)\hslash \omega$；基态 $(0,0)$；第一激发 $(1,0)$、$(0,1)$ 二重简并
2. $H^{\prime }=-(qB/2m)L_z$；基态 $⟨L_z⟩=0$ ⇒ $E^{(1)}=0$
3. 激发：在 $|10⟩,|01⟩$ 上写 $L_z$ 的 $W$，解久期方程
4. 好态为圆偏振组合 $|\pm ⟩\propto |10⟩\pm i|01⟩$，一级劈成 $\mp q\hslash B/(2m)$

入口

• $L_z=i\hslash (a_x{a}_{y†}-a_{x†}{a}_y)$；对角元为零，劈裂靠非对角
• $⟨10|L_z|01⟩=-i\hslash$ → 本征值 $\lambda =\pm \hslash$
• 轨道塞曼：二重简并按磁矩线性劈裂

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题 16 · 书9-9 · 非简并 · ⬜未测

设一量子体系的 Hamilton 量为

$$\hat{H}=\{\begin{array}{llc}{E}_1& a_1& a_2\\ a_{1\ast }& E_2& a_3\\ a_{2\ast }& a_{3\ast }& E_3\end{array}$$

而且 $|a_1{|}^2,|a_2{|}^2,|a_3{|}^2\ll 1$，试利用微扰法计算体系能量的一级修正值、二级修正值。

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骨架

1. 对角 $E_n$ 归 $H_0$，全部非对角归 $H^{\prime }$ ⇒ $H_{nn}^{\prime }=0$
2. 默认 $E_1,E_2,E_3$ 互异：一级 $E_n^{(1)}=0$
3. 二级按通道写：$E_n^{(2)}={\sum }_{k\ne =n}|H_{kn}^{\prime }{|}^2/(E_n-E_k)$
4. 逐能级列出接到另外两个能级的两项

入口

• $E_1^{(2)}=|a_1{|}^2/(E_1-E_2)+|a_2{|}^2/(E_1-E_3)$（其余类似）
• 分母方向：本能级减对方；二级只含直接模方，无三级乘积
• 若某 $E_i=E_j$ 须改简并手续

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题 17 · 书9-10 · 非简并 · ⬜未测

设一维无限深势阱（$0<x<a$）中运动的粒子受到微扰

$${\hat{H}}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2\lambda }{a}x,& 0<x<\frac{a}{2}\\ \frac{2\lambda }{a}(a-x),& \frac{a}{2}<x<a\end{array}$$

求基态（$n=1$）能量的一级修正值。

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骨架

1. 帐篷形 $H^{\prime }$ 关于 $x=a/2$ 对称，峰高为 $\lambda$
2. 非简并一级：$E_1^{(1)}=⟨{\psi }_1|H^{\prime }|{\psi }_1⟩$
3. 用对称性只算左半再 $\times 2$：${\int }_0^{a/2}x{\sin }^2(\pi x/a)dx$
4. 半角 + 分部积分，整理含 $1/{\pi }^2$ 的项

入口

• ${\sin }^2$ 半角；交叉项分部积分边界在 $a/2$ 处 $\sin \pi =0$
• $I=a^2/16+a^2/(4{\pi }^2)$ → $E_1^{(1)}=\lambda (\frac{1}{2}+2/{\pi }^2)$
• 介于均匀平均 $\lambda /2$ 与峰高 $\lambda$ 之间（基态中部权重大）

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题 18 · 书9-11 · 非简并 ·（氢原子径向） · ⬜未测

如果把氢原子核看作一个半径为 $r_0$ 的均匀带电球体，对应于基态电子有一定几率出现在核（球体）内。此时，由于球体内电势 $\phi$ 的作用，电子将受到微扰

$${\hat{H}}^{\prime }=e\phi =\{\begin{array}{ll}0,& r>r_0\\ -\frac{3}{2}\frac{e^2}{r_0}+\frac{1}{2}\frac{e^2{r}^2}{r_0^3}+\frac{e^2}{r},& r<r_0\end{array}$$

求氢原子基态（$1s$ 态）能级的一级修正值。

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骨架

1. $r>r_0$ 时 $H^{\prime }=0$（球外与点核相同）；只在核内积分
2. $1s$ 球对称：角向积完，只剩径向 ${\int }_0^{r_0}{r}^2|{\psi }_{100}{|}^2{H}^{\prime }(r)dr$
3. $r_0\ll a$：$e^{-2r/a}\approx 1$，三项分别积分再相加
4. 正号：核内吸引变弱 → $1s$ 能量上升

入口

• 体积元：$E^{(1)}=(4/a^3){\int }_0^{r_0}{r}^2{H}^{\prime }(r)dr$（指数≈1）
• 三项：$\int r^2(-3e^2/2r_0)$、$\int r^4{e}^2/(2r_0^3)$、$\int r{e}^2$ → 净 $e^2{r}_0^2/10$
• $E_{1s}^{(1)}=2e^2{r}_0^2/(5a^3)$；勿漏抵消点核的 $+e^2/r$

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题 19 · 书9-12 · 非简并 · ⬜未测

设一个含微扰体系的 Hamilton 量为

$$\hat{H}=\{\begin{array}{llc}{E}_1& 0& {\lambda }_1\\ 0& E_2& {\lambda }_2\\ {\lambda }_{1\ast }& {\lambda }_{2\ast }& E_3\end{array}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }(E_1<E_2<E_3)$$

其中，${\hat{H}}_0$ 是对角化的，而

$${\hat{H}}^{\prime }=\{\begin{array}{llc}0& 0& {\lambda }_1\\ 0& 0& {\lambda }_2\\ {\lambda }_{1\ast }& {\lambda }_{2\ast }& 0\end{array}$$

求在微扰 ${\hat{H}}^{\prime }$ 的作用下，能量的二级修正值。

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骨架

1. $H^{\prime }$ 对角为零，且 $H_{12}^{\prime }=0$（1–2 无直接耦合）
2. 一级：$E_n^{(1)}=0$
3. 二级：1、2 只各连到 3；3 连到 1 与 2
4. 写出三条 $E_n^{(2)}$，注意分母符号（低能级被往下推）

入口

• $E_1^{(2)}=|{\lambda }_1{|}^2/(E_1-E_3)$，$E_2^{(2)}=|{\lambda }_2{|}^2/(E_2-E_3)$
• $E_3^{(2)}=|{\lambda }_1{|}^2/(E_3-E_1)+|{\lambda }_2{|}^2/(E_3-E_2)$
• 勿套 9-9 时误加 $|\cdot {|}^2/(E_1-E_2)$（本题 $a_1=0$）

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题 20 · 书9-13 · 非简并 · ⬜未测

已知一维谐振子的能量本征值和本征函数分别为

$$E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega ,n=0,1,2,\dots ;{\psi }_n(\alpha x)=N_n{e}^{-\frac{1}{2}{\alpha }^2{x}^2}{H}_n(\alpha x)$$

求：

• (1) 在微扰 ${\hat{H}}^{\prime }=V_0\delta (\alpha x)$ 的作用下，谐振子的各个能级能量的一级修正值。如果有必要可利用：

$$H_{2n}(0)=(-1{)}^n\frac{(2n)!}{n!},H_{2n+1}(0)=0$$

• (2) 在微扰 ${\hat{H}}^{\prime }=V_0\delta [\alpha (x-a)]$ 的作用下，第 $k$ 个能级能量的一级修正值。

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骨架

1. $\delta$ 宗量带 $\alpha$：必须用雅可比 $\delta (\alpha x)=\delta (x)/\alpha$
2. (1) $E_n^{(1)}=(V_0/\alpha )|{\psi }_n(0){|}^2$；奇 $n$：$H_n(0)=0$ ⇒ 修正为零
3. 偶 $n=2\ell$：代入 $N_n$ 与 $H_{2\ell }(0)=(-1{)}^{\ell }(2\ell )!/\ell !$
4. (2) 尖峰移位：$E_k^{(1)}=(V_0/\alpha )|{\psi }_k(a){|}^2$（题中位移参数）

入口

• 雅可比 $1/\alpha$ 不可漏；内积元仍是 $dx$
• 奇宇称在原点有节点 → $\delta (0)$ "看不见"奇能级
• $E_{2\ell }^{(1)}=V_0/\sqrt{\pi }\cdot (2\ell )!/[2^{2\ell }(\ell !{)}^2]$

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题 21 · 书9-14 · 非简并 · ⬜未测

设非线性谐振子的 Hamilton 量 $\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }$，其中

$${\hat{H}}_0=-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{x}^2,{\hat{H}}^{\prime }=\beta x^3(\beta \text{ 为实常数})$$

求：二级近似下的能量本征值和一级近似下的波函数。

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骨架

1. $x^3$ 奇算符 ⇒ 对角为零，$E_n^{(1)}=0$
2. 升降：$x=x_0(a+a^{†})$，展开得 $\Delta n=\pm 1,\pm 3$ 矩阵元
3. 二级四通道求和，分母 $-k\hslash \omega$（$k=\pm 1,\pm 3$）
4. 一级波函数用同一组矩阵元写 ${\psi }_n^{(1)}$（$n$ 太小时删不存在的态）

入口

• $⟨n\pm 3|x^3|n⟩$、$⟨n\pm 1|x^3|n⟩$（系数含 $3n^{3/2}$ 等）
• 勿漏 $\Delta n=\pm 1$ 通道（对 $30n^2$ 贡献大）
• $E_n^{(2)}=-{\beta }^2{\hslash }^2(30n^2+30n+11)/(8{\mu }^3{\omega }^4)$

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题 22 · 书9-15 · 简并 · ⬜未测

考虑耦合谐振子，其 Hamilton 量为

$$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2}{\partial x_{12}}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_{22}})+\frac{1}{2}m{\omega }^2(x_{12}+x_{22})-\lambda x_1{x}_2={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }$$

微扰项 ${\hat{H}}^{\prime }=-\lambda x_1{x}_2$ 中的 $\lambda$ 为实常数，表示耦合强度。

• (1) 写出 ${\hat{H}}_0$ 的本征值的表达式；
• (2) 在一级近似下，求第一激发态的能量。

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骨架

1. (1) $E_{n_1{n}_2}^{(0)}=(n_1+n_2+1)\hslash \omega$
2. 第一激发 $n_1+n_2=1$：二重简并 $|10⟩,|01⟩$，立久期方程
3. $H^{\prime }=-\lambda x_1{x}_2$：对角 $⟨x⟩=0$；非对角 $⟨10|x_1{x}_2|01⟩=x_{02}$
4. 本征值 $\pm \lambda \hslash /(2m\omega )$，好态 $(|10⟩\pm |01⟩)/\sqrt{2}$

入口

• $x=x_0(a+a^{†})$，$x_{02}=\hslash /(2m\omega )$；劈裂靠非对角
• $W=-\kappa {\sigma }_x$，$\kappa =\lambda \hslash /(2m\omega )$
• 或转 $45^{\circ }$ 简正模：${\omega }_{\pm }=\omega \sqrt{1\pm \lambda /(m{\omega }^2)}$，一级同结果

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