量子力学题目 · 2026年9月18日

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2026年9月18日

微扰论 · 不含时 · 序号 1–7

题 1 · 不含时 · 🟢 懂

对于谐振子 $V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$，能量本征值为 $E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$），其中 $\omega =\sqrt{k/m}$。现将弹性系数稍微增大：$k\to (1+ϵ)k$（$ϵ\ll 1$）。

• (a) 找出此时能量的精确值（这种情况很简单），并按 $ϵ$ 的幂次展开直到第二级。
• (b) 现在利用一级微扰公式 $E_n^1=⟨{\psi }_n^0|H^{\prime }|{\psi }_n^0⟩$ 计算一级能量修正，并与 (a) 的结果比较。提示：积分不必算，也不允许算。

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骨架

1. 写出新频率 ω′=ω√(1+ε)，精确能级仍是 (n+1/2)ħω′
2. 把 √(1+ε) 按 ε 展到二阶
3. 写出 H′=εV，用一级公式 E⁽¹⁾=⟨H′⟩
4. 与精确展开的一次项对照

入口

• (a) 二项式：√(1+ε)=1+ε/2−ε²/8+…
• (b) 不许积分：谐振子维里定理 ⟨V⟩=E/2，故 E⁽¹⁾=(ε/2)Eₙ

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题 2 · 不含时 · 🟢 懂

两个全同玻色子处于一维无限深方势阱中，它们之间有微弱相互作用

$$V(x_1,x_2)=-a{V}_0\delta (x_1-x_2)$$

（$V_0$ 为具有能量量纲的常数；$a$ 为势阱宽度）。

• (a) 首先忽略粒子间相互作用，求基态和第一激发态（包括波函数和对应能量）。
• (b) 利用一级微扰理论估算粒子相互作用对基态、第一激发态能量的影响。

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骨架

1. (a) 忽略相互作用：基态两粒子都在 n=1；第一激发对称组合 (1,2)
2. 注意全同玻色子：(1,2) 与 (2,1) 合成一个对称态，非简并
3. (b) E⁽¹⁾=⟨−aV₀δ(x₁−x₂)⟩ → 收到对角线上的一重积分
4. 基态算 ∫|ψ₁|⁴；激发态算 ∫|ψ₁₂(x,x)|²

入口

• 基态：|ψ₁|⁴∝sin⁴ → 降幂 sin⁴=(3−4cos2θ+cos4θ)/8，积分只留 3/8
• 激发态：ψ₁₂(x,x)=√2 ψ₁ψ₂ → ∝sin²θ sin²(2θ)=4 sin⁴θ cos²θ → 写成 sin⁴−sin⁶ 再 Wallis

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题 3 · 不含时 · 🟢 懂

考虑一个带电粒子位于一维谐振子势中。假设加入微弱电场 $E$，从而使势能增加 $H^{\prime }=-qEx$。

• (a) 证明能量一级修正为零，并计算能量的二级修正。
• (b) 通过变量代换 $x^{\prime }\equiv x-(qE/m{\omega }^2)$ 可精确求解薛定谔方程。给出精确能量，并证明它们和微扰理论一致。

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骨架

1. H′=−qEx，非简并微扰
2. 证明 E⁽¹⁾=⟨x⟩=0（奇函数/升降算符）
3. 算 E⁽²⁾：只连 n±1，代入矩阵元
4. 精确：平移 x′=x−qE/(mω²)，与二级结果对照

入口

• x=√(ħ/2mω)(a₊+a₋)，对角元为 0
• 二级分母 ±ħω；非零矩阵元只有 ⟨n±1|x|n⟩
• 精确解入口：配方法 / 平移坐标

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题 4 · 不含时 · 🟢 懂

质量为 $m$ 的粒子可以在长度为 $L$ 的一维闭合区域自由运动（例如圆环上的珠子，习题 2.46）。

• (a) 证明定态可写成 ${\psi }_n(x)=\frac{1}{\sqrt{L}}{e}^{2\pi inx/L}$（$-L/2<x<L/2$），$n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$，允许能量为 $E_n=\frac{2}{m}(\frac{n\pi \hslash }{L}{)}^2$。注意除基态（$n=0$）外能级二重简并。
• (b) 现引入微扰 $H^{\prime }=-V_0{e}^{-x^2/a^2}$，其中 $a\ll L$。（该微扰在 $x=0$ 处加了一个小凹槽，如同将线圈弯了一下形成“小”陷阱。）利用式 6.27 给出 $E_n$ 的一级修正。提示：为计算积分，利用 $a\ll L$ 将积分限从 $\pm L/2$ 扩展到 $\pm \infty$；毕竟 $H^{\prime }$ 在 $-a<x<a$ 之外基本为零。
• (c) ${\psi }_n$ 与 ${\psi }_{-n}$ 的“好”的线性组合是什么？证明基于这些态可用式 6.9 得出一级修正。
• (d) 找到一个满足定理的厄密算符 $A$，并证明 $H^0$ 与 $A$ 的共同本征函数和 (c) 中所用的一样。

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骨架

1. (a) 周期边界写出 ψₙ、Eₙ，n≠0 二重简并
2. (b) 简并微扰：在 {n,−n} 子空间算 W，或先取好态
3. (c) 好态：偶/奇组合（cos/sin 型）
4. (d) 找与 H⁰ 对易的厄密 A，共同本征函数即好态

入口

• a≪L：∫_{-L/2}^{L/2} e^{…} e^{−x²/a²} → 延拓到 ±∞ 的高斯积分
• 简并：先算 W_{nn}, W_{n,−n}，再对角化；或直接用偶奇好态代非简并公式

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题 5 · 不含时 · 🟢 懂

假设在无限深立方势阱（式 6.30）内的点 $(a/4,a/2,3a/4)$ 引入狄拉克 $\delta$ 微扰：

$$H^{\prime }=a^3{V}_0\delta (x-a/4)\delta (y-a/2)\delta (z-3a/4).$$

求出基态和第一激发态（三重简并）能量的一级修正。

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骨架

1. 基态非简并：E⁽¹⁾=⟨111|H′|111⟩，δ 直接取值
2. 第一激发三重简并：在三个态张成的子空间写 W 矩阵
3. 解久期方程 det(W−λI)=0，得三条一级修正

入口

• δ³ 积分：⟨H′⟩=a³V₀ |ψ(a/4,a/2,3a/4)|²
• 简并：先写出三个未微扰激发态，算矩阵元再对角化

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题 6 · 不含时 · 🟢 懂

考虑三维各向同性谐振子（习题 4.38）。设微扰为

$$H^{\prime }=\lambda x^{2}yz(\lambda \text{ 为常数}).$$

讨论下面两种情况的（一级）微扰效应：(a) 基态；(b) 第一激发态（三重简并）。

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骨架

1. 基态：算 ⟨000|λx²yz|000⟩，看是否为零
2. 第一激发三重简并：在三个态上构造 W，求本征值

入口

• 谐振子：奇偶性 / 升降算符；x² 偶、y 与 z 奇 → 基态期望常直接判零或非零
• 矩阵元化成 ⟨x²⟩⟨y⟩⟨z⟩ 因子；κ≡λ(ħ/(2mω))² 作记号

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题 7 · 不含时 · ⬜ 未测

一个原子置于稳恒外电场 $E_{ext}$ 中，电子能级将发生改变——斯塔克（Stark）效应（对应于电学上的塞曼效应）。研究氢原子 $n=1$ 与 $n=2$ 能级的斯塔克效应。电场沿 $z$ 轴，电子势能为

$$H_S^{\prime }=e{E}_{ext}z=e{E}_{ext}r\cos \theta ,$$

视为加在玻尔哈密顿量 $(H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2-\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}r})$ 上的微扰（忽略自能与精细结构）。

• (a) 证明在一级修正下基态能量不受微扰影响。
• (b) 第一激发态四重简并：${\psi }_{200},{\psi }_{211},{\psi }_{210},{\psi }_{21-1}$。用简并微扰理论确定能量一级修正；$E_2$ 将分裂为几条能级？
• (c) (b) 的“好”波函数是什么？在这些好态中分别给出电偶极矩 ${\hat{p}}_e=-e\hat{r}$ 的期望值。结果与电场大小无关——显然处于第一激发态的氢原子可有恒定电偶极矩。提示：多数积分为零；若 $\varphi$ 积分为零则不必算 $r,\theta$。部分答案：$W_{13}=W_{31}=-3ea{E}_{ext}$；其余矩阵元为零。

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骨架

1. (a) n=1：⟨z⟩=0 ⇒ 一级斯塔克为 0
2. (b) n=2 四重简并：写 4×4 的 W，只有 2s–2p_z 非零块
3. 求出裂距 0, ±3aeE_ext（三条）
4. (c) 写出好态，算 ⟨p⃗_e⟩

入口

• 奇偶：基态 ⟨z⟩=0
• 矩阵元：多数 φ 积分先判零；已知 W₁₃=W₃₁=−3eaE_ext
• 好态：ψ₂₁₁、ψ₂₁₋₁ 不混；ψ₂₀₀±ψ₂₁₀ 混合

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