数学物理方法·强化班

来源：东哥物理考研《数学物理方法》强化班习题（第一讲：复数的三种表示、模与辐角、柯西–黎曼、由实部/虚部求解析函数与 $f^{\prime }(z)$；第二讲：复积分；第三讲：幂级数收敛圆与收敛区域、泰勒展开、洛朗展开、奇点性质；专题四：留数、围道积分、实积分；傅里叶级数/积分）。编号自成一套，页面上记作「强化 N」（锚点 mp-qh-N），和各章教材题分开。

标次数：×N = 做过 N 次；×0 未做过。不再使用色标。本页只挂题干（与教材章一致，不挂骨架/入口）。第一讲（强化1–7）照片已写过 → ×1；第二讲（强化8–13）登记题面 → ×0；第三讲（强化14–27）登记题面 → ×0；专题四（强化28–34）登记题面 → ×0；傅里叶讲（强化35–42）→ ×1；拉普拉斯变换（强化43–57，括号内为讲义原题号，第9、11、15题未拍不录，打叉小问不录）2026-11-01 登记 → ×0。页面按专题分节，每题保留原编号。

专题目录：复数与解析函数 · 复积分 · 幂级数 · 泰勒 · 洛朗 · 奇点 · 留数与围道积分 · 傅里叶级数与积分 · 拉普拉斯变换

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复数与解析函数

强化1 · 复数的代数式 / 三角式 / 指数式 · ×1

将下列复数用代数式、三角式和指数式几种形式表示出来。

1. $i$
2. $-1$
3. $1+i\sqrt{3}$
4. $1-\cos \alpha +i\sin \alpha$（$\alpha$ 是实常数）
5. $z^3$
6. $e^{1+i}$
7. $\frac{1-i}{1+i}$

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强化2 · 实部、虚部、模和辐角 · ×1

写出下列复数的实部、虚部、模和辐角。

1. $1+i\sqrt{3}$
2. $e^{i\sin x}$（$x$ 为实数）
3. $e^{iz}$
4. $e^z$
5. $e^{i\varphi (x)}$（$\varphi (x)$ 是实变数 $x$ 的实函数）
6. $1-\cos \alpha +i\sin \alpha$（$0\le \alpha <2\pi$）

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强化3 · 证明柯西–黎曼条件 · ×1

证明柯西–黎曼条件：解析函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z_0$ 处复可导的充要条件（即导出并证明 C-R 方程组）。

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强化4 · 极坐标下的柯西–黎曼条件 · ×1

证明极坐标 $(r,\theta )$ 下的柯西–黎曼条件：

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta }\\ \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }=-\frac{\partial v}{\partial r}\end{array}$$

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强化5 · 已知实部或虚部求解析函数 · ×1

已知解析函数 $f(z)$ 的实部 $u(x,y)$ 或虚部 $v(x,y)$，求该解析函数。

1. $u=e^x\sin y$
2. $u=e^x(x\cos y-y\sin y)$，$f(0)=0$
3. $u=\frac{2\sin 2x}{e^{2y}+e^{-2y}-2\cos 2x}$，$f(\frac{\pi }{2})=0$页旁红注「此书有误」，手写改式 $u=\frac{\sin x}{\cosh y-\cos x}$（与印式差自变量上的因子 $2$）。做题时以旁注改式为准，印式可作对照。
4. $v=\frac{y}{x^2+y^2}$，$f(2)=0$
5. $u=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}$，$f(\infty )=0$
6. $u=x^2-y^2+xy$，$f(0)=0$

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强化6 · 已知实部求 $f(z)$ · ×1

设 $z=x+iy$，已知解析函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 的实部 $u(x,y)$，求 $f(z)$。

1. $u(x,y)=x^2-y^2+x$
2. $u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$
3. $u(x,y)=e^y\cos x$
4. $u(x,y)=\cos x\cosh y$

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强化7 · 已知实部或虚部求 $f^{\prime }(z)$ · ×1

已知解析函数的实部或虚部，求 $f^{\prime }(z)$。

页上红注：「微分一下必得」。

1. $u=x+y$
2. $u=\sin x\cosh y$

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复积分

强化8 · ${\int }_C\Re zdz$ 三路径 · ×0

求 ${\int }_C\Re zdz$，三条路径：

(i) 实轴 $0\to 1$，再平行虚轴 $1\to 1+i$；

(ii) 虚轴 $0\to i$，再平行实轴 $i\to 1+i$；

(iii) 直线段 $0\to 1+i$，参数 $z=(1+i)t$。

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强化9 · ${\oint }_C\frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{4}dz$ · ×0

计算

$${\oint }_C\frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{4}dz$$

其中 $C$ 为图示正向闭合围道，同时包住奇点 $z=\pm 1$。

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强化10 · 按给定路径算 $\Re z$ 与 $1/\sqrt{z}$ · ×0

按给定路径计算积分。

(1) ${\int }_0^{2+i}\Re zdz$

• (i) 折线：$[0,2]$ 与 $[2,2+i]$；
• (ii) 线段：$z=(2+i)t$，$0\le t\le 1$。

(2) ${\oint }_C\frac{dz}{\sqrt{z}}$，规定 ${\sqrt{z}}_{z=1}=1$

• (i) 单位圆上半周；
• (ii) 单位圆下半周。

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强化11 · $|z|=1$ 正向四式（$dz$ 与 $|dz|$） · ×0

计算闭路积分（$|z|=1$ 正向单位圆）：

(1) ${\oint }_{|z|=1}\frac{dz}{z}$；

(2) ${\oint }_{|z|=1}\frac{|dz|}{z}$；

(3) ${\oint }_{|z|=1}\frac{dz}{|z|}$；

(4) ${\oint }_{|z|=1}\frac{dz}{z}$。

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强化12 · ${\oint }_C\frac{e^{iz}}{z^2+1}dz$ 四围道 · ×0

计算

$${\oint }_C\frac{1}{z^2+1}{e}^{iz}dz$$

围道 $C$ 分别为：

(1) $|z-i|=1$；

(2) $|z|=2$；

(3) $|z+i|+|z-i|=2\sqrt{2}$；

(4) 闭合曲线 $r=3-{\sin }^2\frac{\theta }{4}$。

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强化13 · ${\oint }_{|z|=1}\frac{e^z}{z^3}dz$ · ×0

计算

$${\oint }_{|z|=1}\frac{e^z}{z^3}dz$$

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幂级数 · 泰勒 · 洛朗 · 奇点

强化14 · 幂级数的收敛圆 · ×0

求下列幂级数的收敛圆。

(1) $\sum \frac{1}{k}(z-i{)}^k$

(2) $\sum k^{\ln k}(z-2{)}^k$

(3) $\sum (\frac{z}{k}{)}^k$

(4) $\sum k!(\frac{z}{k}{)}^k$

(5) $\sum k^k(z-3{)}^k$

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强化15 · 由 $R_1,R_2$ 求组合级数收敛半径 · ×0

已知幂级数 $\sum a_k{z}^k$ 及 $\sum b_k{z}^k$ 的收敛半径分别是 $R_1$ 及 $R_2$。求下列幂级数的收敛半径。

(1) $\sum (a_k+b_k)z^k$

(2) $\sum (a_k-b_k)z^k$

(3) $\sum a_k{b}_k{z}^k$

(4) $\sum \frac{a_k}{b_k}{z}^k(b_k\ne =0)$

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强化16 · $\sin (n\pi /3)$、$\sin (n\pi /4)$ 系数收敛半径 · ×0

求下列幂级数的收敛半径。

(1) $\sum (\sin \frac{n\pi }{3})z^n$

(2) $\sum (\sin \frac{n\pi }{4})z^n$

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强化17 · 确定级数的收敛区域 · ×0

试确定下列级数的收敛区域：

(1) $\sum z^{n!}$

(2) $\sum (\frac{z}{1+z}{)}^n$

(3) $\sum (-1{)}^n(z^2+2z+2{)}^n$

(4) $\sum 2^n\sin \frac{z}{3^n}$

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强化18 · $\tan z$ 在 $z=0$ 泰勒展开 · ×0

求 $\tan z$ 在 $z=0$ 的泰勒展开。

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强化19 · $\ln (1+z)$ 在 $z=0$ 泰勒展开 · ×0

求多值函数 $\ln (1+z)$ 在 $z=0$ 的泰勒展开，规定 $\ln (1+z){|}_{z=0}=0$。

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强化20 · 指定点邻域泰勒展开 · ×0

在指定的点 $z_0$ 的邻域上将下列函数展开为泰勒级数。

(1) $\arctan z$，在 $z_0=0$

(2) $\sqrt{z}$，在 $z_0=i$

(3) $\ln z$，在 $z_0=i$

(4) $\sqrt{z}$，在 $z_0=1$

(5) $e^{1/(1-z)}$，在 $z_0=0$

(6) $\ln (1+e^z)$，在 $z_0=0$

(7) $(1+z{)}^{1/z}$，在 $z_0=0$

(8) ${\sin }^{2}z$ 和 ${\cos }^{2}z$，在 $z_0=0$

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强化21 · 指定点泰勒展开并给收敛半径 · ×0

在指定点展开为泰勒级数并给出收敛半径。

(1) $1-z^2$，在 $z=1$

(2) $\sin z$，在 $z=n\pi$

(3) $\frac{1}{1+z+z^2}$，在 $z=0$

(4) $\frac{\sin z}{1-z}$，在 $z=0$

(5) $\exp (\frac{1}{1-z})$，在 $z=0$（只求前四项）

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强化22 · $1/[z(z-1)]$ 两区域洛朗 · ×0

求 $\frac{1}{z(z-1)}$ 在 $0<|z|<1$ 与 $|z|>1$ 的洛朗展开。

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强化23 · 挖去奇点环域 / 指定环域洛朗（15 小问） · ×0

在挖去奇点 $z_0$ 的环域上或指定的环域上将下列函数展开为洛朗级数。

(1) $z^5{e}^{1/z}$，在 $z_0=0$

(2) $\frac{1}{z^2(z-1)}$，在 $z_0=1$

(3) $\frac{1}{z(z-1)}$，在 $z_0=0$；在 $z_0=1$

(4) $e^{1/(1-z)}$，在 $|z|>1$

(5) $\frac{1}{(z-2)(z-3)}$，在 $|z|>3$

(6) $\frac{(z-1)(z-2)}{(z-3)(z-4)}$，在 $R<|z|<\infty$（$R$ 很大）

(7) $\frac{1}{z^2-3z+2}$，在 $1<|z|<2$

(8) $\frac{1}{z^2-3z+2}$，在 $1<|z|<\infty$

(9) $\frac{e^z}{z}$，在奇点

(10) $\frac{1-\cos z}{z}$，在奇点

(11) $\sin \frac{1}{z}$，在奇点

(12) $\cot z$，在奇点

(13) $\frac{z}{(z-1)(z-2{)}^2}$，在 $|z|<1$；在 $1<|z|<2$；在 $2<|z|$

(14) $\frac{z}{(z-1)(z-2)}$，在 $|z|<1$；在 $1<|z|<2$；在 $2<|z|$

(15) $\frac{1}{z^2(z^2-1{)}^2}$，在 $0<|z|<1$；在 $1<|z|<\infty$

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强化24 · 指定区域洛朗展开 · ×0

求下列函数在指定区域的洛朗展开。

(1) $\frac{1}{z^2(z-1)}$，$z=1$ 附近

(2) $\frac{1}{z^2(z-1)}$，$1<|z|<\infty$

(3) $\frac{1}{z^2-3z+2}$，$1<|z|<2$

(4) $\frac{1}{z^2-3z+2}$，$2<|z|<\infty$

(5) $\frac{(z-1)(z-2)}{(z-3)(z-4)}$，$3<|z|<4$

(6) $\frac{(z-1)(z-2)}{(z-3)(z-4)}$，$4<|z|<\infty$

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强化25 · 判断奇点性质；极点定阶 · ×0

判断下列函数奇点的性质；若为极点，确定阶数。

(1) $\frac{1}{z^2+a^2}$，$a\ne =0$

(2) $\frac{\cos az}{z^2}$

(3) $\frac{\cos az-\cos bz}{z^2}$，$a\ne =b$

(4) $\frac{\sin z}{z^2}-\frac{1}{z}$

(5) $\cos \frac{1}{\sqrt{z}}$

(6) $\frac{\sqrt{z}}{\sin \sqrt{z}}$

(7) $\frac{1}{(z-1)\ln z}$

(8) ${\int }_0^z\frac{\sinh \sqrt{\zeta }}{\sqrt{\zeta }}d\zeta$

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强化26 · 判断在 $\infty$ 点的性质 · ×0

判断下列函数在 $\infty$ 点的性质。

(1) $z^2$

(2) $\frac{1}{z}$

(3) $\frac{\cos z}{z}$

(4) $\frac{z}{\cos z}$

(5) $\frac{z^2+1}{e^z}$

(6) $\exp (-\frac{1}{z^2})$

(7) $\frac{1}{\cosh \sqrt{z}}$

(8) $\sqrt{(z-1)(z-2)}$（直接连接 $z=1,z=2$ 作割线）

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强化27 · $m$、$n$ 阶极点组合的奇点性质 · ×0

设函数 $f(z)$ 和 $g(z)$ 分别以点 $z_0$ 为 $m$ 阶和 $n$ 阶极点，问对于下列函数而言，$z_0$ 是何种性质的点？

(1) $f(z)g(z)$

(2) $\frac{f(z)}{g(z)}$

(3) $f(z)+g(z)$

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留数与围道积分

强化28 · $1/(z^2+1)$ 奇点留数 · ×0

求 $\frac{1}{z^2+1}$ 在奇点处的留数。

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强化29 · $(e^{iaz}-e^{ibz})/z^2$ 奇点留数 · ×0

求 $\frac{e^{iaz}-e^{ibz}}{z^2}$ 在奇点处的留数。

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强化30 · 确定奇点并求留数 · ×0

确定下列函数的奇点，求出函数在各奇点的留数。

(1) $e^z/(1+z)$

(2) $z/[(z-1)(z-2{)}^2]$

(3) $e^z/(z^2+a^2)$

(4) $e^{iz}/(z^2+a^2)$

(5) $z{e}^z/(z-a{)}^3$

(6) $1/(z^3-z^5)$

(7) $z^2/(z^2+1{)}^2$

(8) $z^{2n}/(z+1{)}^n$

(9) $e^{1/(1-z)}$

(10) $1/(1+z^{2n})$

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强化31 · 求奇点处留数 · ×0

求下列函数在奇点处的留数。

(1) $1/(z^3-z^5)$

(2) $1/(1+z^2{)}^{m+1}$（$m$ 正整数）

(3) $z/(1-\cos z)$

(4) $\sqrt{z}/\sinh \sqrt{z}$

(5) $\exp [\frac{1}{2}(z-\frac{1}{z})]$

(6) $\cos \frac{1}{\sqrt{z}}$

(7) $1/[(z-1)\ln z]$

(8) $\frac{1}{z}[1+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{(z+1{)}^2}+\cdots +\frac{1}{(z+1{)}^n}]$

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强化32 · 实变函数定积分（留数法） · ×0

计算下列实变函数定积分。

(1) ${\int }_0^{2\pi }\frac{dx}{2+\cos x}$

(2) ${\int }_0^{2\pi }\frac{dx}{(1+\epsilon \cos x{)}^2}(0<\epsilon <1)$

(3) ${\int }_0^{2\pi }\frac{{\cos }^{2}2xdx}{1-2\epsilon \cos x+{\epsilon }^2}(0<\epsilon <1)$

(4) ${\int }_0^{2\pi }\frac{{\sin }^{2}xdx}{a+b\cos x}(a>b>0)$

(5) ${\int }_0^{\pi }\frac{adx}{a^2+{\sin }^{2}x}(a>0)$

(6) ${\int }_0^{2\pi }\frac{\cos xdx}{1-2\epsilon \cos x+{\epsilon }^2}(|\epsilon |<1)$

（提示：$dx=\frac{dz}{iz}$，$\cos x=\frac{1}{2}(z+z^{-1})$）

(7) ${\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{1+{\cos }^{2}x}$

(8) ${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2n}xdx$

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强化33 · 围道积分 · ×0

计算下列积分值。

(1) ${\oint }_{|z-1|=1}\frac{1}{1+z^4}dz$

(2) ${\oint }_{|z-1|=2}\frac{1}{1+z^4}dz$

(3) ${\oint }_{|z-1|=1}\frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{4}dz$

(4) ${\oint }_{|z|=3}\frac{1}{z^2-1}\sin \frac{\pi z}{4}dz$

(5) ${\oint }_{|z|=n}\tan \pi zdz$（$n$ 正整数）

(6) ${\oint }_{|z|=1}\frac{e^z}{z^3}dz$

(7) ${\oint }_{|z|=2}\frac{1}{z^3(z^{10}-2)}dz$

(8) ${\oint }_{|z|=R}\frac{z^2}{e^{2\pi i{z}^3}-1}dz$，其中 $n<R^3<n+1$，$n$ 正整数

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强化34 · 实变无穷积分（留数法） · ×0

计算下列实变函数定积分。

(1) ${\int }_0^{\infty }\frac{\cos mx}{1+x^4}dx(m>0)$

(2) ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin mx}{x(x^2+a^2)}dx(m>0,a>0)$

(3) ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin x}{1+x^2}dx$

(4) ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin mx}{2x^2+a^2}dx(m>0,a>0)$

(5) ${\int }_0^{\infty }\frac{\cos mx}{(x^2+a^2{)}^2}dx$

(6) ${\int }_0^{\infty }\frac{\cos x}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}dx$

(7) ${\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}dx$

(8) ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{imx}}{x-ia}dx$，以及 ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{imx}}{x+ia}dx(m>0,Rea>0)$

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傅里叶级数与积分

强化35 · 锯齿波 $f(x)=x/3$ 展傅里叶级数 · ×1

将锯齿波展为傅里叶级数。在 $(0,T)$ 这个周期上，该锯齿波可表为 $f(x)=x/3$。

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强化36 · 下列函数展傅里叶级数（五小问） · ×1

将下列函数展为傅里叶级数：

(1) $f(x)={\cos }^{3}x$

(2) $f(x)=\frac{1-{\alpha }^2}{1-2\alpha \cos x+{\alpha }^2}(|\alpha |<1)$

(3) 在 $(-\pi ,\pi )$ 这个周期上，$f(x)=\cos \alpha x$（$\alpha$ 非整数）

(4) 在 $(-\pi ,\pi )$ 这个周期上，$f(x)=ch\alpha x$（$\alpha$ 非整数）

(5) 在 $(-\pi ,\pi )$ 这个周期上，

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\cos x& (|x|<\frac{\pi }{2})\\ 0& (\frac{\pi }{2}<|x|<\pi )\end{array}$$

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强化37 · $(0,l)$ 上 $f(x)=x$，条件 $f^{\prime }(0)=0,f(l)=0$ · ×1

在区间 $(0,l)$ 上定义了函数 $f(x)=x$。试根据条件 $f^{\prime }(0)=0,f(l)=0$ 将 $f(x)$ 展开为傅里叶级数。

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强化38 · 矩形波展复数傅里叶级数 · ×1

矩形波 $f(x)$，在 $(-T/2,T/2)$ 这个周期上可表为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{在 }(-T/2,-\tau /2)\text{ 上}\\ H& \text{在 }(-\tau /2,\tau /2)\text{ 上}\\ 0& \text{在 }(\tau /2,T/2)\text{ 上}\end{array}$$

试将它展开为复数形式的傅里叶级数。

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强化39 · 脉冲 $f(t)$ 展傅里叶积分 · ×1

将下列脉冲 $f(t)$ 展开为傅里叶积分。

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}0& (t<-T)\\ -h& (-T<t<0)\\ h& (0<t<T)\\ 0& (T<t)\end{array}$$

注意在半无界区间 $(0,\infty )$ 上，本例的 $f(t)$ 与例 1 的 $f(t)$ 相同。

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强化40 · 半无限矩形脉冲：Neumann / Dirichlet 展傅里叶积分 · ×1

$f(t)$ 是定义在半无界区间 $(0,\infty )$ 上的函数：

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}h& (0<t<T)\\ 0& (T<t)\end{array}$$

(1) 在边界条件 $f^{\prime }(0)=0$ 下，将 $f(t)$ 展为傅里叶积分；

(2) 在边界条件 $f(0)=0$ 下，将 $f(t)$ 展为傅里叶积分。

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强化41 · $\delta (x)$ 展实数形式傅里叶积分 · ×1

将 $\delta (x)$ 展为实数形式的傅里叶积分。

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强化42 · 含 $\delta$ 的初值问题求 Green 函数 $g(x;t)$ · ×1

求下列常微分方程初值问题的解（即 Green 函数 $g(x;t)$）。

(1)

$$\{\begin{array}{l}\frac{d^{2}g(x;t)}{d{x}^2}-k^{2}g(x;t)=\delta (x-t),k>0,\\ g(0;t)=0,{\frac{dg(x;t)}{dx}}_{x=0}=0;\end{array}$$

(2)

$$\{\begin{array}{l}\frac{d^{2}g(x;t)}{d{x}^2}-x^{2}g(x;t)=\delta (x-t),\\ g(0;t)=0,{\frac{dg(x;t)}{dx}}_{x=0}=0;\end{array}$$

(3)

$$\{\begin{array}{l}(1+x^2)\frac{d^{2}g(x;t)}{d{x}^2}+2(1+2x)\frac{dg(x;t)}{dx}+2g(x;t)=\delta (x-t),\\ g(0;t)=0,{\frac{dg(x;t)}{dx}}_{x=0}=0.\end{array}$$

提示：上述变系数常微分方程解参考第九章习题。

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拉普拉斯变换

强化43 · 求 $f(t)=1$ 的拉普拉斯变换（拉氏1） · ×0

求 $f(t)=1$ 的拉普拉斯变换。

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强化44 · 求 $f(t)=e^{\alpha t}$ 的拉普拉斯变换（拉氏2） · ×0

求函数 $f(t)=e^{\alpha t}$ 的拉普拉斯变换。

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强化45 · 求下列函数的拉普拉斯变换函数（拉氏3） · ×0

求下列函数的拉普拉斯变换函数。

(1) $\mathrm{sh}\omega t,\mathrm{ch}\omega t$；

(2) $e^{-\lambda t}\sin \omega t,e^{-\lambda t}\cos \omega t$；

(3) $\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$；

(4) $\delta (t-\tau )$。

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强化46 · 证明延迟定理、相似变换、位移定理（拉氏4） · ×0

证明：

延迟定理：$\mathcal{L}[f(t-\tau )H(t-\tau )]=e^{-p\tau }F(p),\tau >0$；

相似变换：$\mathcal{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F(\frac{p}{a}),a>0$；

位移定理：$\mathcal{L}[e^{p_{0}t}f(t)]=F(p-p_0)$。

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强化47 · LR 串联电路合上开关后的电流（拉氏5） · ×0

$LR$ 串联电路如图所示（电动势 $E$、电阻 $R$、电感 $L$、开关 S 串联），S 合上前电路中没有电流，求 S 合上后电路中的电流。

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强化48 · 将下列像函数反演（拉氏6） · ×0

将下列像函数反演。

(1) $\bar{y}(p)=\frac{6}{(p+1{)}^4}$；

(2) $\bar{y}(p)=\frac{3p}{p^2-1}$；

(3) $\bar{y}(p)=\frac{1}{p-2},\bar{z}(p)=\frac{3}{p-2}$；

(4) $\bar{y}(p)=\frac{2}{(p-1{)}^5}$。

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强化49 · 用普遍反演公式求 $\frac{1}{(p^2+{\omega }^2{)}^2}$ 的原函数（拉氏7） · ×0

用普遍反演公式求拉普拉斯换式 $F(p)=\frac{1}{(p^2+{\omega }^2{)}^2},\omega >0$ 的原函数。

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强化50 · 求 $\bar{v}(p)=\lambda \mu \frac{p}{(p+C{)}^4}$ 的原函数（拉氏8） · ×0

求 $\bar{v}(p)=\lambda \mu \frac{p}{(p+C{)}^4}$ 的原函数。

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强化51 · 求下列拉普拉斯变换的原函数（拉氏10） · ×0

求下列拉普拉斯变换的原函数。

(1) $\frac{a^3}{p(p+a{)}^3}$；

(2) $\frac{\omega }{p(p^2+{\omega }^2)},\omega >0$；

(3) $\frac{4p-1}{(p^2+p)(4p^2-1)}$；

(4) $\frac{p^2+{\omega }^2}{(p^2-{\omega }^2{)}^2},\omega >0$；

(5) $\frac{e^{-p\tau }}{p^2},\tau >0$。

注：讲义 (6) $\frac{1}{p}\cdot \frac{1-e^{-\alpha p}}{1-e^{-\alpha p}}$ 打叉，不上线。

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强化52 · 用普遍反演公式求原函数（拉氏12） · ×0

用普遍反演公式求下列拉普拉斯换式的原函数。

(1) $\frac{p}{p^2-{\omega }^2},\omega >0$；

(2) $\frac{e^{-p\tau }}{p^4+4{\omega }^4},\tau >0,\omega >0$；

(3) $\frac{1}{p}{e}^{-\alpha p},\alpha >0$。

注：讲义 (4) $\frac{1}{p}\cdot \frac{\cosh ((l-x)\sqrt{p})}{\cosh (l\sqrt{p})}$ 打叉，不上线。

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强化53 · 求 $\bar{T}(p)=A\frac{\omega }{p^2+{\omega }^2}\frac{1}{p^2+{\pi }^2{a}^2/l^2}$ 的原函数（拉氏13） · ×0

求 $\bar{T}(p)=A\frac{\omega }{p^2+{\omega }^2}\cdot \frac{1}{p^2+{\pi }^2{a}^2/l^2}$ 的原函数。

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强化54 · 求 $\bar{T}(p)=\frac{1}{p^2+{\omega }^2{a}^2}\bar{g}(p)$ 的原函数（拉氏14） · ×0

求 $\bar{T}(p)=\frac{1}{p^2+{\omega }^2{a}^2}\bar{g}(p)$ 的原函数，$\bar{g}(p)$ 是已知 $g(t)$ 的像函数。

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强化55 · 拉氏变换解常微分方程（组）（拉氏16） · ×0

求解下列常微分方程。

(1) $\frac{d^{3}y}{d{t}^3}+3\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+3\frac{dy}{dt}+y=6e^{-t}$，$y(0)={\frac{dy}{dt}}_{t=0}={\frac{d^{2}y}{d{t}^2}}_{t=0}=0$；

(2) $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+9y=30\mathrm{ch}t$，$y(0)=3$，${\frac{dy}{dt}}_{t=0}=0$；

(3) $\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dt}+2y+2z=10e^{2t}\\ \frac{dz}{dt}-2y+z=7e^{2t}\end{array}$，$\{\begin{array}{l}y(0)=1\\ z(0)=3\end{array}$。

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强化56 · 求解 $\frac{dT}{dt}+{\omega }^2{a}^{2}T=g(t),T(0)=0$（拉氏17） · ×0

求解 $\frac{dT}{dt}+{\omega }^2{a}^{2}T=g(t)$，$T(0)=0$。

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强化57 · 用拉普拉斯变换求积分（拉氏18） · ×0

用拉普拉斯变换求下列积分。

(1) $I(t)={\int }_0^{\infty }\frac{\cos tx}{x^2+a^2}dx$；

(2) $I(t)={\int }_0^{\infty }\frac{\sin tx}{x}dx$；

(3) $I(t)={\int }_0^{\infty }\frac{\sin tx}{x(x^2+1)}dx$；

(4) $I(t)={\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{2}tx}{x^2}dx$。