第12章 球函数

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本批覆盖说明： 从 §12.2 正交性与归一化后的例题起，到章末练习题止。§12.1–12.2 更早正文例题、§12.3 例1 题干页前半、§12.4–12.5、以及 177→185 之间若有例题未拍，需补拍再挂。

§12.2 勒让德多项式的正交性与归一化

§12.2 例1 · ${\int }_0^1{P}_l(x)dx$（$l$ 为偶数） · ⬜ 未测

计算积分 ${\int }_0^1{P}_l(x)dx$，其中 $l$ 为偶数。

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§12.2 例2 · ${\int }_{-1}^{1}x{P}_k(x)P_l(x)dx$ · ⬜ 未测

计算积分 ${\int }_{-1}^{1}x{P}_k(x)P_l(x)dx$。

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§12.2 例3 · $f(x)=2x^3+3x+4$ 勒让德基广义傅里叶展开 · ⬜ 未测

以勒让德多项式为基函数，在区间 $[-1,1]$ 上把函数 $f(x)=2x^3+3x+4$ 展开成广义傅里叶级数。

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§12.3 勒让德多项式的应用举例

§12.3 例1 · 球壳表面电势 $u(a,\theta )=u_0{\cos }^2\theta$，求内外电势 · ⬜ 未测

设球壳半径为 $a$，表面电势为 $u(a,\theta )=u_0{\cos }^2\theta$（$u_0$ 为常数）。求球壳内外的电势分布。

题干页未拍全，按后文边界条件重建。

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§12.3 例2 · 均匀外电场中的均匀介质小球 · ⬜ 未测

在一个均匀分布的电场 ${\mathbf{E}}_0$ 中放置一个均匀介质小球。设球的半径为 $a$，介电常数为 $\epsilon$。求介质球内外的电场分布。

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§12.3 例3 · 点电荷旁的均匀介质球 · ⬜ 未测

设一个半径为 $a$ 的均匀介质球，其介电常数为 $\epsilon$。在离球心为 $b(b>a)$ 的地方放置一个电量为 $q$ 的点电荷。求在介质球内外的电势分布。（几何见图 12-2：点电荷在 $z$ 轴上，球心为原点。）

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§12.6 非轴对称情形

§12.6 例1 · 球内无电荷，球面 $u{|}_{r=a}=u_0(3{\sin }^2\theta {\cos }^2\phi -1)$ · ⬜ 未测

假设在半径为 $a$ 的球形区域内没有电荷分布，而在球面上的电势为 $u_0(3{\sin }^2\theta {\cos }^2\phi -1)$，其中 $u_0$ 为常数。求球内的电势分布。

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§12.6 例2 · 球外无电荷，球面 $u{|}_{r=a}=4u_0{\sin }^2\theta (\cos \phi \sin \phi +\frac{1}{2})$ · ⬜ 未测

假设在半径为 $a$ 的球形区域外没有电荷分布，而在球面上的电势为 $4u_0{\sin }^2\theta (\cos \phi \sin \phi +\frac{1}{2})$，其中 $u_0$ 为常数。求球外的电势分布。

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练习题

练习题 1 · 证明 ${\int }_{-1}^1{P}_l(x)dx=0$ · ⬜ 未测

证明

$${\int }_{-1}^1{P}_l(x)dx=0,l=1,2,3,\cdots$$

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练习题 2 · 证明 ${\int }_{-1}^1(1-x^2)[P_l^{\prime }(x){]}^{2}dx=\frac{2l(l+1)}{2l+1}$ · ⬜ 未测

证明

$${\int }_{-1}^1(1-x^2)[P_l^{\prime }(x){]}^{2}dx=\frac{2l(l+1)}{2l+1},l=0,1,2,\cdots$$

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练习题 3 · $f(x)=x^4+2x^3+1$ 勒让德基广义傅里叶展开 · ⬜ 未测

以勒让德函数为基，将函数 $f(x)=x^4+2x^3+1$ 在区间 $[-1,1]$ 展开为广义傅里叶级数。

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练习题 4 · 空心球区域电势（内恒定、外 $u_1{\cos }^2\theta$） · ⬜ 未测

一空心球区域，内外半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$，内球面上有恒定电势 $u_0$，外球面上电势为 $u_1{\cos }^2\theta$，其中 $u_0$ 和 $u_1$ 为常数。求内外球面之间空心球区域中的电势分布。

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练习题 5 · 半球稳态温度（底面零度 / 绝热） · ⬜ 未测

半径为 $r_0$ 的半球的球面保持一定的温度 $u_0$，而半球的底部分别保持为：(1) 零度；(2) 绝热。求半球内部的稳态温度分布。

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练习题 6 · $f(\theta ,\phi )=(1+3\cos \theta )\sin \theta \cos \phi$ 球函数展开 · ⬜ 未测

把函数 $f(\theta ,\phi )=(1+3\cos \theta )\sin \theta \cos \phi$ 用球函数展开。

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练习题 7 · 球内/球外拉普拉斯定解问题 · ⬜ 未测

分别在球内（$r<r_0$）和球外（$r>r_0$）求解如下拉普拉斯方程的定解问题

$$\{\begin{array}{l}{\nabla }^{2}u(r,\theta ,\phi )=0\\ u{|}_{r=r_0}=4{\sin }^2\theta (\cos \phi \sin \phi +\frac{1}{2})\end{array}$$

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练习题 8 · 空心球区域拉普拉斯定解问题 · ⬜ 未测

在内外半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$ 的空心球区域内（$r_1<r<r_2$），求解如下拉普拉斯方程的定解问题

$$\{\begin{array}{l}{\nabla }^{2}u(r,\theta ,\phi )=0\\ u{|}_{r=r_1}=u_1\cos \theta \\ u{|}_{r=r_2}=u_2\sin \theta \cos \theta \sin \phi \end{array}$$

其中 $u_1$ 和 $u_2$ 为常数。

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练习题 9 · 球内泊松方程定解问题 · ⬜ 未测

在半径为 $r_0$ 的球形区域内（$r<r_0$），求解如下泊松方程的定解问题

$$\{\begin{array}{l}{\nabla }^{2}u(r,\theta ,\phi )=A\cos \theta \\ u{|}_{r=r_0}=0\end{array}$$

其中 $A$ 为常数（提示：将该方程的解按照拉普拉斯方程的本征解进行展开）。