第5章 傅里叶变换

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§5.1 傅里叶级数

§5.1 例1 · 锯齿波傅里叶级数 · 🟢（懂）

将图5-1所示的锯齿函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{x}{l}& -l\le x\le l\\ f(x+2l)& \end{array}$$

展开成傅里叶级数。

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§5.2 傅里叶积分变换

§5.2 例1 · 矩形脉冲的傅里叶积分变换 · 🟢（懂）

讨论矩形脉冲函数

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}1& |t|<T\\ 0& |t|>T\end{array}$$

的傅里叶积分变换，其中 $T$ 为脉冲半宽度。

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§5.2 例2 · 高斯函数的傅里叶积分变换 · 🟢（懂）

求函数

$$f(x)=\sqrt{\frac{a}{\pi }}{e}^{-\frac{a^2{x}^2}{2}}$$

的傅里叶积分变换式，其中 $a>0$。

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§5.2 例3 · $e^{-|x|}$ 的傅里叶变换 · 🟢（懂）

计算函数 $f(x)=e^{-|x|}$ 的傅里叶变换。

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§5.2 例4 · 屏蔽库仑势的傅里叶变换 · 🟢（懂）

在电介质（如等离子体）中，带电粒子之间的相互作用势要受到屏蔽，即为所谓的屏蔽库仑势

$$f(r)=\frac{1}{r}{e}^{-r/\lambda },$$

其中 $\lambda >0$ 为常数（屏蔽长度）。求函数 $f(r)$ 的傅里叶变换。（失分：末步分数相减符号/系数；书上结果 $\frac{1}{2{\pi }^2}[1/(k^2+{\lambda }^{-2})]$）

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§5.4 δ 函数及其应用（小节标题照片未拍到，按式号 5.4-xx 归入）

§5.4 例1 · $\sin ax$ 与 $\cos ax$ 的傅里叶变换 · 🟢（懂）

求函数 $\sin ax$ 和 $\cos ax$ 的傅里叶变换，其中 $a$ 是实常数。

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§5.4 例2 · 球坐标下 $\delta$ 函数的傅里叶变换 · 🟢（懂）

在球坐标系中计算函数

$$f(r)=\frac{4{\pi }^2}{r}\delta (r-r_0)$$

的傅里叶变换。

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§5.4 例3 · 含 $\delta$ 函数的二阶常微分方程 · 🟢（懂）

利用傅里叶积分变换，求解如下含有 $\delta$ 函数的常微分方程

$$\frac{d^{2}g(x)}{d{x}^2}-a^{2}g(x)=\delta (x-x_0)(-\infty <x<\infty ),$$

其中 $a>0$，$x_0$ 为给定的参数。

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§5.4 例4 · 利用 $\delta$ 函数性质求解常微分方程 · 🟡（未复习）· 延后到政治后再做

利用 $\delta$ 函数的性质，求解如下常微分方程

$$\frac{d^{2}u(x)}{d{x}^2}-a^{2}u(x)=f(x)(-\infty <x<\infty ),$$$$u(x{)}_{x\to \pm \infty }=0.$$

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练习题

练习题 1 · ${\cos }^{3}x$ 的傅里叶级数 · 🟢（懂）

将函数 $f(x)={\cos }^{3}x$ 表示成傅里叶级数的形式。

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练习题 2 · 锯齿波 $x/3$ 的傅里叶级数 · 🟢（懂）

将锯齿波 $f(x)=x/3$ 在 $(-l,l)$ 区间内展开成傅里叶级数，其中 $A$ 为常数。（书上原话如此，题面无 $A$）

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练习题 3 · $A|\sin \omega t|$ 的傅里叶级数 · 🟡（模糊）

将函数 $f(t)=A|\sin \omega t|$ 在 $(0,T)$ 区间内展开成傅里叶级数。（失分：旁标△；a0/an 首写错——红笔重写）

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练习题 4 · 矩形波的复数傅里叶级数 · 🟢（懂）

将矩形波

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}0& (-T/2\le t<-T_0/2)\\ H& (-T_0/2\le t\le T_0/2)\\ 0& (T_0/2<t\le T/2)\end{array}$$

在区间内展开为复数形式的傅里叶级数，其中 $H$ 为常数。

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练习题 5 · 有限锯齿波的复数傅里叶变换 · 🟢（懂）

求锯齿波

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}0& (t<0)\\ t& (0\le t\le T)\\ 0& (t>T)\end{array}$$

的复数形式的傅里叶变换。

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练习题 6 · 指数衰减函数的傅里叶变换 · 🟢（懂）

求函数

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}0& (t<0)\\ e^{-\alpha t}& (t\ge 0)\end{array}$$

的傅里叶变换，其中 $\alpha$ 为 (1) 有限大小的正数，即 $\alpha >0$；(2) 无穷小的正数，即 $\alpha \to 0^{+}$。

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练习题 7 · $\cos (\alpha x^2)$ 与 $\sin (\alpha x^2)$ 的复数傅里叶变换 · 🟢（懂）

求如下函数

1. $f(x)=\cos (\alpha x^2)$
2. $f(x)=\sin (\alpha x^2)$

的复数形式的傅里叶变换，其中 $\alpha >0$。

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练习题 8 · 利用傅里叶变换求解常微分方程 · ⬜ 未测

利用傅里叶变换，求解如下常微分方程。

1. $\frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}+f(x)=\delta (x)(-\infty <x<\infty )$
2. $\frac{df(x)}{dx}+{\int }_{-\infty }^{x}f(x^{\prime })d{x}^{\prime }=\delta (x)(-\infty <x<\infty )$
3. $\{\begin{array}{l}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+4\frac{dy}{dt}+4y=\sin \omega t\\ y(0)=y_0\\ y^{\prime }(0)=y_1\end{array}$
4. $\{\begin{array}{l}\frac{d^{2}T}{d{t}^2}+a^2{\omega }^{2}T=f(t)\\ T(0)=T^{\prime }(0)=0\end{array}$

其中 $f(t)$ 为已知函数。