知识网·第6章 对称性与守恒定律（试版）

把站上和第6章有关的题按模型归到一起：小蓝书（蓝）、强化班（强）、量力题 1–61（题）、书本扫盲（扫）。每个模型分四层：必背公式 → 基础知识点 → 常考题型 → 延伸考法（极限、变式、跨章）。题号旁的色标从 status.json 自动读取：⬜ 未测 · 🟡 未复习/模糊/不会 · 🟢 懂 · 🔴 不行。点题号直接跳到那道题。

1. 守恒量：平均值与概率分布

考什么：$\frac{d\bar{A}}{dt}$ 公式；不显含时间且与 $\hat{H}$ 对易就是守恒量，任意态下平均值和测值概率都不变；守恒 ≠ 有确定值（有没有确定值看态）；好量子数；两个守恒量不对易 ⇒ 能级简并；显含时间的算符要多一项 $\overline{{\partial }_t\hat{A}}$。常配 Ehrenfest、Virial、双对易子、束缚定态 $d\bar{A}/dt=0$。

• 必背公式：

  • $\bar{A}(t)=(\psi (t),\hat{A}\psi (t))$（p114，式 (6-1)）
  • $\frac{d\bar{A}}{dt}=\overline{\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}}+\frac{1}{i\hslash }\overline{[\hat{A},\hat{H}]}$；${\partial }_t\hat{A}=0$ 时 $\frac{d\bar{A}}{dt}=\frac{1}{i\hslash }\overline{[\hat{A},\hat{H}]}$（p114，式 (6-2)）
  • $[\hat{A},\hat{H}]=0$ ⇒ $\frac{d\bar{A}}{dt}=0$，称守恒量（p114，式 (6-3)）
  • $\hat{H}{\psi }_n=E_n{\psi }_n$，$\hat{A}{\psi }_n=A_n{\psi }_n$（式 (6-4)）；$\psi ={\sum }_n{C}_n(t){\psi }_n$，$C_k=({\psi }_k,\psi )$，${\rho }_k=|C_k{|}^2$（式 (6-5)–(6-7)）；$\frac{d}{dt}|C_k(t){|}^2=0$（p115，式 (6-8)）
  • 守恒量四条：不一定有确定值；初态是守恒量本征态则一直是（好量子数）；彼此不对易的守恒量一般不能同时确定、能级一般简并；守恒只看与 $\hat{H}$ 对不对易，确定值只看态（p115–116）
  • 自由粒子 $\hat{H}$、$\hat{\mathbf{p}}$、$\hat{\mathbf{l}}$ 都守恒；中心力场 $[\hat{\mathbf{l}},\hat{H}]=0$，$[\hat{\mathbf{p}},V(r)]\ne =0$（p116）
  • $[\mathbf{r},\hat{H}]=i\hslash \frac{\hat{\mathbf{p}}}{m}$，$m\frac{d\bar{\mathbf{r}}}{dt}=\bar{\mathbf{p}}$（p137，习题6-1）；$\frac{d\overline{x^2}}{dt}=\frac{1}{m}\overline{(x{\hat{p}}_x+{\hat{p}}_{x}x)}$（习题6-2）
  • $-{\hslash }^2\frac{d^2\bar{A}}{d{t}^2}=\overline{[[\hat{A},\hat{H}],\hat{H}]}$（p138，习题6-3）；束缚定态下 $\frac{d\bar{A}}{dt}=0$（习题6-4）
  • $\hat{A}$、$\hat{B}$ 都守恒但 $[\hat{A},\hat{B}]\ne =0$ ⇒ 能级简并（p138，习题6-11）

• 基础知识点：扫6-1-3🟡

• 常考题型：$d\bar{A}/dt$、守恒与确定值、习题6-1–6-4：扫6-1-1🟡 蓝6-1🟡 蓝6-2🟡 蓝6-3🟡 蓝6-4🟡；$d^2\bar{A}/d{t}^2$ 与双对易子：强33×0；不对易守恒量 ⇒ 简并：扫6-1-2🟡 蓝6-10🟡

• 延伸考法：

  • 显含时间的守恒量、Virial 定理证无束缚态：强12×0
  • Ehrenfest 定理（$d\bar{\mathbf{p}}/dt=\bar{\mathbf{F}}$）：蓝3-7🟡
  • 均匀电场中的 Ehrenfest（Newton 方程）：蓝6-11🟡 强34×0
  • Thomas–Reiche–Kuhn 求和规则：蓝6-6🟡
  • 定态下 $\bar{p}=0$（同一套「对易子夹本征态」）：蓝5-8🟢
  • 跨章·Virial 定理（$d⟨xp⟩/dt$）：题45⬜；能量–坐标不确定关系（用 $d⟨x⟩/dt$）：题36🟢

2. 对称性与守恒定律

考什么：对称变换 $\hat{U}$ 与 $\hat{H}$ 对易；概率守恒要求幺正，于是 $\hat{U}=e^{i\mathbf{\theta }\cdot \hat{\mathbf{F}}}$，生成元 $\hat{\mathbf{F}}$ 厄米且守恒；三个连续对称：空间均匀 → 动量，时间均匀 → 能量，空间各向同性 → 角动量；会推无穷小平移 / 转动，注意时间平移指数的负号。

• 必背公式：

  • 平面转动 ${\mathbf{r}}^{\prime }=\hat{R}(\theta )\mathbf{r}$，$\hat{R}(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$，$R^{}\hat{R}=I$，$r^{{}^{\prime }2}=r^2$（p117，式 (6-11)–(6-16)）
  • ${\psi }^{\prime }=\hat{U}\psi$ 也满足 Schrödinger 方程 ⇒ $\hat{H}={\hat{U}}^{-1}\hat{H}\hat{U}$，即 $[\hat{U},\hat{H}]=0$（p117–118，式 (6-17)–(6-21)）
  • $({\psi }^{\prime },{\psi }^{\prime })=(\psi ,\psi )$ ⇒ ${\hat{U}}^{†}\hat{U}=\hat{U}{\hat{U}}^{†}=I$（p118，式 (6-22)(6-23)）
  • $\hat{U}=\exp i\mathbf{\theta }\cdot \hat{\mathbf{F}}$（式 (6-24)）；$\hat{\mathbf{F}}={\hat{\mathbf{F}}}^{†}$（式 (6-25)）；$[\hat{\mathbf{F}},\hat{H}]=0$（p118，式 (6-26)）
  • $\hat{S}(\Delta x)\psi (x)=\psi (x+\Delta x)$，$\hat{S}(\Delta x)=1+\frac{i\Delta x}{\hslash }{\hat{p}}_x$（p119，式 (6-27)(6-28)）
  • $\hat{S}(x)={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{ix}{n\hslash }{\hat{p}}_x{)}^n=e^{\frac{i}{\hslash }x{\hat{p}}_x}$（式 (6-29)）；$\hat{S}(\mathbf{r})=e^{\frac{i}{\hslash }\hat{\mathbf{p}}\cdot \mathbf{r}}$（p119，式 (6-30)）
  • 空间平移不变 ⇒ $[\hat{H},\hat{\mathbf{p}}]=0$，动量守恒（p120，式 (6-32)(6-33)）
  • $\hat{T}(\Delta t)\psi (t)=\psi (t+\Delta t)$（式 (6-34)）；$\hat{T}(t)=e^{-\frac{i}{\hslash }t\hat{H}}$（式 (6-35)(6-36)）；$[\hat{H},\hat{T}]=0$ ⇒ $[\hat{H},\hat{H}]=0$，能量守恒（p120，式 (6-37)(6-38)）
  • ${\hat{R}}_z(\Delta \theta )\psi =(1+\frac{i\Delta \theta }{\hslash }{\hat{l}}_z)\psi$（式 (6-39)）；${\hat{R}}_z(\theta )=e^{\frac{i}{\hslash }\theta {\hat{l}}_z}$（式 (6-40)）；$\hat{R}(\mathbf{\theta })=e^{\frac{i}{\hslash }\mathbf{\theta }\cdot \hat{\mathbf{l}}}$（p121，式 (6-41)）
  • 空间旋转不变 ⇒ $[\hat{H},\hat{\mathbf{l}}]=0$，角动量守恒（p121，式 (6-42)(6-43)）
  • ${\phi }_k(x)={\phi }_k(x+a)$ 时 $\psi =e^{ikx}{\phi }_k(x)$ 是 $\hat{S}(a)=e^{\frac{i}{\hslash }a{\hat{p}}_x}$ 的本征态，本征值 $e^{ika}$（p138，习题6-5）

• 基础知识点：扫6-2-3🟡

• 常考题型：对称性 ⇒ 守恒量的推理：扫6-2-1🟡；平移、时间平移、转动算符的推导和 Bloch 型本征值：扫6-2-2🟡 蓝6-5🟡 蓝6-15🟡

• 延伸考法：

  • 空间、时间平移生成元，$⟨Q{⟩}_{t+t_0}$ 重推 $d⟨Q⟩/dt$：题61⬜
  • 离散对称（书上只讲连续对称）·空间反演 $\psi (-x)$ 与确定宇称：蓝3-3🟡 蓝3-4🟡
  • 宇称与轨道角动量对易 $[\hat{P},\hat{\mathbf{l}}]=0$：蓝6-13🟡
  • 幺正算符本征值模为 1：蓝4-23🟡

3. 全同粒子与交换对称性

考什么：全同性原理 ⇒ $|\psi (1,2){|}^2=|\psi (2,1){|}^2$ ⇒ $\psi (1,2)=\pm \psi (2,1)$；玻色子（整数自旋，对称）与费米子（半整数自旋，反对称）；交换算符本征值 $\pm 1$ 且与 $\hat{H}$ 对易，统计性质不随时间变；三粒子 ${\hat{P}}_{12}$、${\hat{P}}_{13}$ 不对易但 ${\psi }_S$、${\psi }_A$ 是共同本征函数；反对称 ⇒ Pauli 不相容；偶数个费米子组成的复合粒子按玻色子处理。

• 必背公式：

  • 氦原子 $\hat{H}(1,2)=\frac{{\hat{p}}_{12}}{2m}+\frac{{\hat{p}}_{22}}{2m}-\frac{2e^2}{r_1}-\frac{2e^2}{r_2}+\frac{e^2}{|{\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_2|}$（式 (6-44)）；$\hat{H}(1,2)=\hat{H}(2,1)$（p122，式 (6-45)）
  • $|\psi (1,2){|}^2=|\psi (2,1){|}^2$ ⇒ $\psi (1,2)=\pm \psi (2,1)$（p122，式 (6-47)(6-48)）
  • 玻色子 $s=0,1,2,\dots$（${\pi }^{+}$ 介子 0，光子 1），Bose–Einstein 统计；费米子 $s=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\dots$（电子、质子、中子 $\frac{1}{2}$），Fermi–Dirac 统计（p123）
  • ${\hat{P}}_{ij}\psi (\dots ,i,\dots ,j,\dots )=\psi (\dots ,j,\dots ,i,\dots )$（式 (6-49)）；${\hat{P}}_{12}\psi (1,2)=\psi (2,1)$，${\hat{P}}_{12}^2=1$，本征值 $\pm 1$（p123，式 (6-50)(6-51)）
  • ${\psi }_S=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+{\hat{P}}_{12})\psi (1,2)$，${\psi }_A=\frac{1}{\sqrt{2}}(1-{\hat{P}}_{12})\psi (1,2)$（p123–124，式 (6-52)(6-53)）；${\hat{P}}_{12}{\psi }_S={\psi }_S$，${\hat{P}}_{12}{\psi }_A=-{\psi }_A$（式 (6-54)(6-55)）
  • $[{\hat{P}}_{12},\hat{H}]=0$，交换对称性守恒（p124，式 (6-56)）
  • ${\hat{P}}_{12}{\hat{P}}_{13}\psi (123)=\psi (231)$，${\hat{P}}_{13}{\hat{P}}_{12}\psi (123)=\psi (312)$，$[{\hat{P}}_{12},{\hat{P}}_{13}]\ne =0$（p124，式 (6-57)–(6-61)）
  • ${\psi }_{S,A}(123)=\frac{1}{\sqrt{3!}}\psi (123)+\psi (231)+\psi (312)\pm [\psi (213)+\psi (132)+\psi (321)]$（p125，式 (6-62)(6-64)）；${\hat{P}}_{ij}{\psi }_S={\psi }_S$，${\hat{P}}_{ij}{\psi }_A=-{\psi }_A$（式 (6-63)(6-65)）
  • ${\psi }_A(113)=-{\psi }_A(113)=0$，Pauli 不相容原理；玻色子不受限，低温 Bose–Einstein 凝聚（p125，式 (6-66)）
  • 两个氘交换 = 交换两对费米子，$(-1{)}^2=+1$，对称（p138，习题6-10）

• 基础知识点：扫6-3-2🟡

• 常考题型：交换算符、守恒、Pauli、氘：扫6-3-1🟡 蓝6-8🟡 蓝6-9🟡 蓝6-12🟡；对称 / 反对称波函数归一化：题23🟢；三粒子波函数构造：题25🟢

• 延伸考法：

  • 跨章·两电子自旋三重态对称、单态反对称，配空间波函数：扫8-3-3🟡

4. 无相互作用全同粒子：交换简并与 Slater 行列式

考什么：$\hat{H}=\sum \hat{h}(i)$，两粒子分占 $\alpha \ne =\beta$ 时 ${\psi }_{\alpha }(1){\psi }_{\beta }(2)$ 与 ${\psi }_{\beta }(1){\psi }_{\alpha }(2)$ 同能量，叫交换简并；真正用的是对称化 / 反对称化后的组合；$n$ 粒子占 $n$ 个不同态 $n!$ 重简并；费米子写 Slater 行列式；数态：$n_S$、$n_A$、$n_M$（杨图）。本节书上标 *（选学），但数态和写波函数是真题常客。

• 必背公式：

  • $H_0(12)=H_0(1)+H_0(2)$（式 (6-67)）；$H_0(i){\psi }_{\alpha }(i)=E_{\alpha }{\psi }_{\alpha }(i)$（p125–126，式 (6-68)）
  • $E=E_{{\alpha }_1}+E_{{\alpha }_2}$；${\psi }_{{\alpha }_1{\alpha }_2}(12)={\psi }_{{\alpha }_1}(1){\psi }_{{\alpha }_2}(2)$ 与 ${\psi }_{{\alpha }_2{\alpha }_1}(12)={\psi }_{{\alpha }_2}(1){\psi }_{{\alpha }_1}(2)$ 同能量，二重简并 = 交换简并（p126，式 (6-69)–(6-71)）
  • 不限 $\alpha \ne =\beta$ 时四个乘积：${\psi }_{\alpha }{\psi }_{\alpha }$、${\psi }_{\beta }{\psi }_{\beta }$ 已对称，${\psi }_{\alpha }{\psi }_{\beta }$、${\psi }_{\beta }{\psi }_{\alpha }$ 无确定对称性（p126，式 (6-74)(6-75)）
  • ${\psi }_{S,A}(12)=\frac{1}{\sqrt{2}}[{\psi }_{\alpha }({\mathbf{r}}_1){\psi }_{\beta }({\mathbf{r}}_2)\pm {\psi }_{\beta }({\mathbf{r}}_1){\psi }_{\alpha }({\mathbf{r}}_2)]$：3 个对称、1 个反对称（p127）
  • ${\hat{H}}_0={\sum }_{i=1n}{\hat{H}}_0(i)$，$E=E_{\alpha }+E_{\beta }+\cdots +E_{\nu }$，$\psi ={\psi }_{\alpha }(1){\psi }_{\beta }(2)\cdots {\psi }_{\nu }(n)$，$n!$ 重简并（p127，式 (6-76)–(6-79)）
  • Slater 行列式 ${\psi }_A(1,2,\dots ,n)=(\frac{1}{n!}{)}^{1/2}\det [{\psi }_z(i)]$，两列相同即为零（p127，式 (6-80)）
  • 两粒子 $N$ 个态：$n_S=\frac{N(N+1)}{2!}$，$n_A=\frac{N(N-1)}{2!}$，$N^2=n_S+n_A$（p128–129）
  • 三粒子：$n_S=\frac{N(N+1)(N+2)}{3!}$，$n_A=\frac{N(N-1)(N-2)}{3!}$，$n_M=\frac{(N-1)N(N+1)}{3}\times 2$，$N^3=n_S+n_A+n_M$（p129）
  • $N=3$：两粒子 $9=6+3$（练习1，习题6-8）；三粒子 $27=10+1+16$（p129–130，练习2）

• 基础知识点：扫6-4-2🟡

• 常考题型：交换简并、Slater、数态：扫6-4-1🟡 蓝6-7🟡；无限深阱两粒子（玻色 / 费米 / 可区分的能级与简并）：题24🟢；具体轨道三粒子：题26⬜

• 延伸考法：

  • 谐振子三粒子，固定总能量数态（玻色 / 费米 / 可区分）：题27⬜
  • 无相互作用多粒子 $\hat{H}=\sum \hat{h}(i)$ 的基态：蓝3-20🟢

5. 三种绘景，Heisenberg 方程

考什么：Schrödinger 绘景态变算符不变，Heisenberg 绘景反过来，相互作用绘景都变；演化算符 $\hat{U}$ 满足的方程、指数形式和幺正性；${\hat{A}}_H={\hat{U}}^{†}{\hat{A}}_S\hat{U}$，导出 Heisenberg 方程；对易关系、不确定关系在两种绘景里形式相同；谐振子 ${\hat{x}}_H(t)$、${\hat{p}}_H(t)$ 是必考计算。

• 必背公式：

  • $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩=\hat{H}|\psi (t)⟩$，$|\psi (t)⟩={\sum }_n{C}_n(t)|{\psi }_n⟩$（p130，式 (6-81)(6-82)）
  • $|{\psi }_S(t)⟩=\hat{U}(t,t_0)|{\psi }_S(t_0)⟩$（式 (6-83)）；$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\hat{U}(t,t_0)={\hat{H}}_S\hat{U}(t,t_0)$（p131，式 (6-84)）
  • $\hat{U}(t,t_0)=e^{-\frac{i}{\hslash }{\int }_{t_0}^t{\hat{H}}_{S}dt}$（式 (6-85)）；${\hat{H}}_S$ 不显含 $t$：$\hat{U}(t,t_0)=e^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}_S(t-t_0)}$，$\hat{U}(t,0)=e^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}_{S}t}$，$\hat{U}$ 幺正（p131，式 (6-86)–(6-88)）
  • $|{\psi }_H⟩=|{\psi }_S(t_0)⟩$，$|{\psi }_S(t)⟩=\hat{U}(t,t_0)|{\psi }_H⟩$（p131，式 (6-90)(6-91)）
  • ${\bar{A}}_S=⟨{\psi }_H|{\hat{A}}_H(t)|{\psi }_H⟩={\bar{A}}_H$（式 (6-89)(6-92)）；${\hat{A}}_H(t)={\hat{U}}^{†}(t,t_0){\hat{A}}_S\hat{U}(t,t_0)$（p132，式 (6-93)）
  • $\frac{d{\hat{A}}_H}{dt}=\frac{1}{i\hslash }[{\hat{A}}_H,{\hat{H}}_H]$，${\hat{H}}_H={\hat{U}}^{†}{\hat{H}}_S\hat{U}$（p132，式 (6-94)(6-95)）
  • $[{\hat{A}}_S,{\hat{B}}_S]=i{\hat{C}}_S$ ⇒ $[{\hat{A}}_H,{\hat{B}}_H]=i{\hat{C}}_H$；$(\Delta A{)}^2(\Delta B{)}^2\ge \frac{1}{4}|\bar{C}{|}^2$ 在 Heisenberg 绘景仍成立（p132–133，练习）
  • 谐振子：${\hat{x}}_H(t)=\hat{x}\cos \omega t+\frac{\hat{p}}{m\omega }\sin \omega t$，${\hat{p}}_H(t)=\hat{p}\cos \omega t-m\omega \hat{x}\sin \omega t$（p138，习题6-6；原书 ${\hat{p}}_0$ 中 $m\omega \hat{x}\sin \omega t$ 前应为「+」，见 扫6-5-1）
  • $U$ 幺正可微 ⇒ $i\hslash \frac{dU}{dt}=VU$，$V$ 厄米；$i\hslash \frac{d(U{U}^{†})}{dt}=[V,U{U}^{†}]$（p138，习题6-7）

• 基础知识点：扫6-5-2🟡

• 常考题型：演化算符、Heisenberg 方程：扫6-5-1🟡；对易关系与绘景无关：蓝6-14🟡；谐振子的 Heisenberg 绘景 $x(t)$、$p(t)$：强11×0

• 延伸考法：

  • 显含时间的算符用 Heisenberg 方程（多一项 ${\partial }_t\hat{O}$）：强12×0
  • $i\hslash \dot{U}{U}^{†}$ 厄米（即习题6-7(1)）：蓝4-9🟢
  • BCH 展开（Heisenberg 算符的第二种算法）：蓝4-24🟡
  • 跨章·两能级 / 三能级体系用 $e^{-i\hat{H}t/\hslash }$ 求含时演化：题40🟢 题59🟡

6. 密度矩阵

考什么：纯态 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$，$\bar{A}=Tr(\hat{A}\rho )$，厄米、${\rho }^2=\rho$、迹 1、正定；演化方程 $i\hslash \dot{\rho }=[\hat{H},\rho ]$（与 Heisenberg 方程符号相反）；混合态 $\rho =\sum p_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$，$Tr{\rho }^2=\sum p_{i2}\le 1$，等号即纯态；纯态平均有干涉项，混合态没有。

• 必背公式：

  • $\bar{A}=⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩$，$|\psi ⟩={\sum }_n{a}_n|n⟩$，$a_n=⟨n|\psi ⟩$（p133，式 (6-96)–(6-98)）
  • $\rho \equiv |\psi ⟩⟨\psi |$（式 (6-100)）；${\rho }_{nm}=⟨n|\psi ⟩⟨\psi |m⟩=a_n{a}_{m\ast }$（p133，式 (6-101)）
  • $\bar{A}={\sum }_m⟨m|\hat{A}\rho |m⟩=Tr(\hat{A}\rho )$（p133，式 (6-102)）
  • 纯态：${\rho }^{†}=\rho$，${\rho }^2=\rho$，$Tr{\rho }^2=Tr\rho ={\sum }_m|a_m{|}^2=1$，$⟨\phi |\rho |\phi ⟩=|⟨\phi |\psi ⟩{|}^2\ge 0$（p134，式 (6-103)–(6-106)）
  • $\frac{d\rho }{dt}=\frac{1}{i\hslash }[\hat{H},\rho ]$（p134，式 (6-107)–(6-110)）；$\rho (t)=\hat{U}(t,t_0)\rho (t_0){\hat{U}}^{†}(t,t_0)$（p134，式 (6-111)）
  • 混合态 $|{\psi }_i⟩,p_i$，$p_i\ge 0$，${\sum }_i{p}_i=1$（p135，式 (6-112)(6-113)）；$\rho ={\sum }_i|{\psi }_i⟩p_i⟨{\psi }_i|$（式 (6-114)）
  • 混合态：${\rho }^{†}=\rho$，$Tr\rho ={\sum }_i{p}_i=1$（p135，式 (6-115)(6-116)）；${\rho }^2={\sum }_i{p}_{i2}|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|\ne =\rho$（式 (6-117)）
  • $Tr{\rho }^2={\sum }_i{p}_{i2}\le 1$，$=1$ 即纯态（p135–136，式 (6-118)）
  • 混合态 $\bar{A}=Tr(\rho \hat{A})={\sum }_i{p}_i⟨{\psi }_i|\hat{A}|{\psi }_i⟩$（p136，式 (6-119)）
  • 纯态 $\bar{A}={\sum }_m|a_m{|}^2⟨m|\hat{A}|m⟩+{\sum }_{m\ne =n}{a}_{m\ast }{a}_n⟨m|\hat{A}|n⟩$，第二项是干涉项（p136，式 (6-120)）
  • 混合态同样 $\frac{d\rho }{dt}=\frac{1}{i\hslash }[\hat{H},\rho ]$（p136，式 (6-121)）

• 基础知识点：扫6-6-2🟡

• 常考题型：纯态性质、演化、混合态 $Tr{\rho }^2$、干涉项、二能级例子：扫6-6-1🟡；纯态 $tr(\hat{F}\rho )$、本征值 0/1、演化方程：强20×1

• 延伸考法：

  • 跨章·投影算符 $|\alpha ⟩⟨\alpha |$ 等幂（纯态 ${\rho }^2=\rho$ 的同一件事）：题41🟡

7. 量子力学的基本假设

考什么：五条假设逐条默写：态与力学量（Hilbert 空间矢量、厄米算符）；演化（Schrödinger 方程，幺正）；态叠加；测量（本征值之一，概率 $|a_k{|}^2$，塌缩，非幺正）；全同性原理（决定两种统计）。常以填空、简答出现，测量假设配计算题。

• 必背公式：

  • (1) 量子态 ↔ Hilbert 空间的矢量，力学量 ↔ 厄米算符（p136–137）
  • (2) $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi ⟩=\hat{H}|\psi ⟩$，幺正演化（p137）
  • (3) $|\psi ⟩={\sum }_k{a}_k|k⟩$，$|k⟩$ 是力学量完全集的共同本征态（p137）
  • (4) 测量结果是本征值之一，概率 $|a_k{|}^2=|⟨k|\psi ⟩{|}^2$；测量使态塌缩到该本征态，非幺正（p137）
  • (5) 全同性原理 ⇒ Bose–Einstein 统计与 Fermi–Dirac 统计（p137）

• 基础知识点：扫6-7-1🟡

• 常考题型：连续测量（测后塌缩、再测概率）：题53🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·叠加态测能量的可能值与概率：蓝3-16🟡 蓝4-12🟡
  • 跨节·全同性原理与交换对称：扫6-3-1🟡

---

试版 · 2026-10-08 · 2026-10-15 挂小蓝书 lb-6-1…15 · 2026-10-23 挂强化 qh-33、qh-34。题源：扫盲 jc-6-，小蓝书 lb-6-，强化班 强11、强12、强20、强33、强34，量力题中属于第6章的题。基本假设一节站上暂无专门的练习题，常考题型用扫盲题。同一题可能出现在两个模型下（如 强12、扫6-3-1）。