量子力学题目 · 2026年9月21日

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2026年9月21日

全同粒子 · 序号 23–27

题 23 · 全同粒子 · 对称/反对称归一化 A · 🟢 懂

两全同粒子（不计自旋，或自旋部分已分离）的空间波函数可按交换对称性写成教材式 5.10：

$${\psi }_{\pm }(r_1,r_2)=A[{\psi }_a(r_1){\psi }_b(r_2)\pm {\psi }_b(r_1){\psi }_a(r_2)],$$

其中 $+$ 为玻色子对称组合，$-$ 为费米子反对称组合；${\psi }_a$、${\psi }_b$ 为单粒子轨道。波函数须在全空间归一：

$$\int {\psi }_{\pm }(r_1,r_2{)}^2{d}^3{r}_1{d}^3{r}_2=1.$$

(a) 设 ${\psi }_a$、${\psi }_b$ 已经各自归一并且彼此正交，即 $\int {\psi }_i^{\ast }{\psi }_j{d}^{3}r={\delta }_{ij}$。求式 5.10 中的常数 $A$。

(b) 设 ${\psi }_a={\psi }_b$ 且该轨道已归一。求此时的 $A$。并说明：此种情形只对玻色子有意义（费米子的反对称组合恒为零，对应泡利不相容）。

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骨架

1. 写出式 5.10 的 ${\psi }_{\pm }$ 与归一化积分。
2. 展开 $|{\psi }_{\pm }{|}^2$ 得四项，用 $⟨a|b⟩={\delta }_{ab}$ 逐项赋值。
3. 正交情形得 $2|A{|}^2=1\Rightarrow A=1/\sqrt{2}$。
4. 相同轨道只保留对称组合 $2A{\psi }_a{\psi }_a$，得 $4|A{|}^2=1\Rightarrow A=1/2$。

入口

• 先问 ${\psi }_a$ 与 ${\psi }_b$ 是否正交，再决定交叉项是否留下。
• 相同轨道时先把两项合并，再平方，避免把 $2$ 漏进积分。
• 归一化积分必须写成两个单粒子积分的乘积，才能用 ${\delta }_{ij}$。
• 费米子相同轨道直接判零，不必算 $A$。

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题 24 · 全同粒子 · 无限深阱两粒子 · 🟢 懂

两个质量同为 $m$ 的粒子，彼此无相互作用，同处于一维无限深方势阱中。阱宽为 $a$，即单粒子势能在 $0\le x\le a$ 为零、在阱外为无穷大。忽略自旋（或默认两粒子处于相同自旋态，因而只需讨论空间波函数）。单粒子本征函数与本征值取

$${\varphi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin (\frac{n\pi x}{a}),{\epsilon }_n=n^{2}K,K=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2},n=1,2,3,\dots .$$

无相互作用时两粒子总能量为 $E=(n^2+m^2)K$。

例题 5.1 给出的费米子基态（空间反对称，对应单粒子量子数 $(n_1,n_2)=(1,2)$）为

$$\psi (x_1,x_2)=\frac{\sqrt{2}}{a}[\sin (\frac{\pi x_1}{a})\sin (\frac{2\pi x_2}{a})-\sin (\frac{2\pi x_1}{a})\sin (\frac{\pi x_2}{a})],$$

阱外 $\psi =0$。教材在例题 5.1 中已讨论该基态以及另外两个激发态。

(a) 写出这两个无相互作用粒子的哈密顿量 $\hat{H}$（含势能的分段定义）。证明例题 5.1 给出的上述费米子基态波函数是 $\hat{H}$ 的本征函数，并求出相应能量本征值。

(b) 除例题 5.1 中已经给出的两个激发态外，再取另外两个激发态，分别在下列三种情形下写出空间波函数与能量本征值：

1. 两个可分辨粒子（质量相同，可用粒子编号标记）；
2. 两个全同玻色子（空间波函数对交换对称）；
3. 两个全同费米子（空间波函数对交换反对称）。

（按能级由低到高，可分辨与玻色补充 $E=8K$ 的 $(2,2)$ 与 $E=10K$ 的 $(1,3)$；费米因 $(2,2)$ 被泡利禁戒，补充 $E=10K$ 的 $(1,3)$ 与 $E=13K$ 的 $(2,3)$。）

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骨架

1. 写出无相互作用两粒子 $\hat{H}$ 与阱内方程。
2. 对例题 5.1 的 $\psi$ 求 ${\partial }^2/\partial x_{i2}$，相加后提出 $-5(\pi /a{)}^2\psi$，得 $E=5K$。
3. 按 $n^2+m^2$ 列出低激发，排除教材已给的态。
4. 可分辨：直接写乘积；玻色：相加归一；费米：相减归一，并丢掉 $n=m$。
5. 用 $E=(n^2+m^2)K$ 标出能量。

入口

• 先写单粒子 ${\epsilon }_n=n^{2}K$，再谈两粒子相加。
• 费米基态一定是最低的不同量子数 $(1,2)$。
• 证明本征函数＝把微分算到正弦上，系数变成 $n^2+m^2$。
• 三种统计的差别只在“乘积能否单独存在”以及“同轨道是否允许”。
• (b) 题意（9/25 卡点）：把 $(n,m)$ 按 $n^2+m^2$ 排成 2K、5K、8K、10K、13K，去掉例题已给的，再往上数两个能级；费米子跳过 $(2,2)$，所以取 10K 和 13K。

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题 25 · 全同粒子 · 三粒子波函数构造 · 🟢 懂

设有三个粒子，一个处于单粒子态 ${\psi }_a$，一个处于 ${\psi }_b$，一个处于 ${\psi }_c$。假定 ${\psi }_a$、${\psi }_b$、${\psi }_c$ 彼此正交且各自已归一：

$$\int {\psi }_i^{\ast }(x){\psi }_j(x)dx={\delta }_{ij},i,j=a,b,c.$$

忽略自旋（或默认三粒子自旋态相同），只构造空间波函数。类比教材式 5.15、式 5.16、式 5.17 的标准形式，写出三粒子体系的状态波函数，分别代表下列三种情形：

(a) 可分辨粒子。 粒子可以编号，波函数不必具有交换对称性。教材式 5.15 的标准形式即指定占据的乘积态

$$\psi (x_1,x_2,x_3)={\psi }_a(x_1){\psi }_b(x_2){\psi }_c(x_3).$$

(b) 全同玻色子。 任意两个粒子交换，波函数不变。教材式 5.16 的标准形式是对 $3!=6$ 个不同置换全部取正号相加，再除以 $\sqrt{6}$。

(c) 全同费米子。 任意两个粒子交换，波函数变号。教材式 5.17 的标准形式是 Slater 行列式。构造方法：第一行为 ${\psi }_a(x_1)$、${\psi }_b(x_1)$、${\psi }_c(x_1)$，第二行为 ${\psi }_a(x_2)$、${\psi }_b(x_2)$、${\psi }_c(x_2)$，第三行依此类推，整体除以 $\sqrt{3!}$。该方法适用于任意粒子数。要求把行列式展开，写出全部六项及各自符号。

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骨架

1. 可分辨：直接写一个指定占据的乘积。
2. 玻色：列出 $S_3$ 全部 6 个置换，一律加号，除 $\sqrt{6}$。
3. 费米：写 $3\times 3$ Slater，按行展开得 6 项并标注符号。
4. 用正交性说明 $\int |\psi {|}^2=6\times (1/6)=1$。
5. 检查：交换 $x_1\leftrightarrow x_2$，玻色不变、费米变号。

入口

• 先数全排列个数 $3!=6$，系数就是 $1/\sqrt{6}$（轨道全不同时）。
• 费米必写行列式，再展开，不要凭记忆默写六项。
• 验证泡利：令 ${\psi }_a={\psi }_b$，两列相同，行列式 $=0$。
• 对称/反对称是对任意一对粒子，不是只对 $1,2$。

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题 26 · 全同粒子 · 具体轨道三粒子 · ⬜ 未测

三个无相互作用粒子处于同一维无限深方势阱（宽度 $a$）中。单粒子能量本征函数取

$${\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin (\frac{n\pi x}{a}),n=1,2,3,\dots$$

（阱外为零）。忽略自旋，默认三粒子自旋态相同，只对空间波函数作对称或反对称化。坐标记为 $x_A$、$x_B$、$x_C$。

(a) 系统为三个全同费米子，分别占据单粒子态 ${\psi }_5$、${\psi }_7$、${\psi }_{17}$。用 Slater 行列式构造该系统的反对称空间波函数 $\psi (x_A,x_B,x_C)$，将行列式展开为六项并代入上述正弦函数（总因子含 $1/\sqrt{6}$ 与 $(\sqrt{2/a}{)}^3$）。

(b) 系统为三个全同玻色子。在下列三种占据下，写出已归一化的对称空间波函数 $\psi (x_A,x_B,x_C)$：

• (i) 三个粒子都处于 ${\psi }_{11}$（三个轨道相同，对称化系数 $1$）；
• (ii) 两个粒子处于 ${\psi }_1$，一个粒子处于 ${\psi }_{19}$（二同一异，独立置换 3 个，系数 $1/\sqrt{3}$）；
• (iii) 一个处于 ${\psi }_5$、一个处于 ${\psi }_7$、一个处于 ${\psi }_{17}$（三轨道全异，系数 $1/\sqrt{6}$，六项全正）。

均须把 ${\psi }_n$ 写成正弦并保留单粒子归一化因子 $(\sqrt{2/a}{)}^3$。

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骨架

1. 判断占据类型：全同 / 二同一异 / 全异，选定系数 $1$、$1/\sqrt{3}$、$1/\sqrt{6}$。
2. 费米写 Slater 并展开六项，核对 $sgn(\sigma )$。
3. 玻色按“谁占据激发轨道”列出全部不同乘积，一律加号。
4. 代入 ${\psi }_n=\sqrt{2/a}\sin (n\pi x/a)$，提出 $(\sqrt{2/a}{)}^3$。
5. 用正交性验算归一化。

入口

• 先数“有几种把指定轨道分配给三个坐标的方式”。
• 出现重复轨道先用 $n_i!$ 修正归一化，再写波函数。
• 无限阱只改函数形状，对称性结构与题 3 相同。
• 费米与玻色在全异占据下唯一差别是相对符号。

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题 27 · 全同粒子 · 谐振子三粒子热平衡 · ⬜ 未测

三个无相互作用粒子处于一维简谐振子势中，并处于总能量固定的热平衡（微正则等权假设：每一个允许的三粒子量子态出现概率相同）。单粒子能级为

$$E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash {\omega }_0,n=0,1,2,\dots ,$$

三粒子总能量给定为

$$E=\frac{9}{2}\hslash {\omega }_0.$$

因而量子数满足 $n_1+n_2+n_3=3$（三粒子零点能合计 $3/2\hslash {\omega }_0$，余下 $3\hslash {\omega }_0$ 分给三个量子数）。占有数组态记为 $(N_0,N_1,N_2,N_3,\dots )$，其中 $N_k$ 是占据能级 $k$ 的粒子数。忽略自旋。

(a) 若三粒子可分辨（质量相同，可用编号标记），问：

• 可能的占有数组态有哪些？
• 每种组态对应多少个不同的三粒子量子态（即多少个有序数组 $(n_1,n_2,n_3)$）？
• 最概然组态是哪一个？
• 随机选取一个粒子并测量它的能量，可能得到哪些值？各自概率是多少？最概然单粒子能量是多少？

(b) 若三粒子为全同费米子（忽略自旋，故空间波函数必须反对称，同一单粒子轨道至多被一个粒子占据），重复 (a) 中的全部问题。

(c) 若三粒子为全同玻色子（忽略自旋，空间波函数必须对称，同一轨道可被多个粒子占据；每一占有数组态只对应一个对称波函数），重复 (a) 中的全部问题。

（答案将用到的三个组态为：$(0,3,0,\dots )$ 即三粒子都在 $n=1$；$(2,0,0,1,\dots )$ 即两个在 $n=0$、一个在 $n=3$；$(1,1,1,0,\dots )$ 即 $n=0,1,2$ 各一个。）

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骨架

1. 由 $E=9/2\hslash {\omega }_0$ 推出 $n_1+n_2+n_3=3$，列出全部非负整数解。
2. 按占据类型归并为三个组态，数出可分辨有序个数 $1,3,6$。
3. 可分辨：10 态等权，算组态概率与 $P(E_k)$。
4. 费米：删去一切有重复 $n$ 的组态，只剩一个 Slater 态。
5. 玻色：三组态各 1 个对称波函数，等权 $1/3$，再算 $P(E_k)$。

入口

• 先写 $E_n=(n+1/2)\hslash {\omega }_0$，三粒子零点能一共 $3/2$，剩下 $3$ 份 $\hslash {\omega }_0$ 分给三个量子数。
• 可分辨数排列，全同粒子数组态。
• 费米先问“有没有两个 $n$ 相同”，有则整组丢掉。
• 单粒子概率用全概率，组态内份额是 $N_k/3$ 不是 $N_k$。

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