知识网·第4章 力学量算符的本征值和本征函数（试版）

把站上和第4章有关的题按模型归到一起：小蓝书（蓝）、强化班（强）、量力题 1–61（题）、书本扫盲（扫）。每个模型分三层：基础知识点 → 常考题型 → 延伸考法（极限、变式、跨章）。题号旁的色标从 status.json 自动读取：⬜ 未测 · 🟡 未复习/模糊/不会 · 🟢 懂 · 🔴 不行。点题号直接跳到那道题。

1. 线性、厄米、幺正算符

考什么：线性算符的运算规则，对易子、逆、转置、厄米共轭 $(\hat{A}\hat{B}{)}^{†}={\hat{B}}^{†}{\hat{A}}^{†}$；可观测量必须厄米（测值、平均值为实）；保持概率的变换是幺正的，${\hat{U}}^{†}={\hat{U}}^{-1}$，本征值模为 1。取复共轭、开方不是线性算符。

• 必背公式：

  • $[A,B+C]=[A,B]+[A,C]$，$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$，$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$（p63，式 (4-10)–(4-12)）
  • Jacobi：$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$（p63，式 (4-13)）
  • $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$（p64，式 (4-17)）
  • 厄米共轭 $(\phi ,{\hat{A}}^{†}\psi )=(\hat{A}\phi ,\psi )$（p65，式 (4-24)），$(AB{)}^{†}=B^{†}{A}^{†}$（式 (4-25)）
  • 厄米 $\hat{A}={\hat{A}}^{†}$（p66，式 (4-29)）；幺正 ${\hat{U}}^{†}\hat{U}=\hat{U}{\hat{U}}^{†}=I$（p66，式 (4-31)）
  • ${\hat{A}}^2=1$ 时 $e^{i\alpha \hat{A}}=\cos \alpha +i\sin \alpha \hat{A}$（强化14）
  • BCH：$e^{\hat{A}}\hat{B}{e}^{-\hat{A}}=\hat{B}+[\hat{A},\hat{B}]+\frac{1}{2!}[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]+\cdots$（强化15）

• 基础知识点：扫4-1-1🟡 扫4-1-2🟡 扫4-1-3🟡

• 常考题型：

  • 判断 / 证明厄米：题28🟢 题29🟢 题46🟡 题47🟡 题48🟡 蓝4-26🟢
  • 对易子、反对易子恒等式：蓝4-4🟢
  • 幺正与厄米的组合、$i\hslash \dot{U}{U}^{†}$ 厄米：蓝4-9🟢 蓝4-22🟢 蓝4-23🟡

• 延伸考法：

  • 反厄米、复共轭算符：题52🟡 蓝4-27🟡
  • 算符指数与 BCH 特例：蓝4-24🟡 强14×1 强15×2
  • 跨章·表象（谱分解、幺正变换下的矩阵元）：蓝4-20🟡 蓝4-21🟡 题44⬜
  • 跨章·对称性（平移生成元）：题61⬜

2. 基本对易关系与角动量

考什么：一切从 $[x,{\hat{p}}_x]=i\hslash$ 出发；$[r_{\alpha },{\hat{p}}_{\beta }]=i\hslash {\delta }_{\alpha \beta }$；$[\hat{p},F(x)]=-i\hslash F^{\prime }$、$[x,G(p)]=i\hslash G^{\prime }$；$[{\hat{l}}_{\alpha },v_{\beta }]=i\hslash {\epsilon }_{\alpha \beta \gamma }{v}_{\gamma }$；$[{\hat{l}}^2,{\hat{l}}_{\alpha }]=0$；升降算符 ${\hat{l}}_{\pm }$ 把 $m$ 升降 1。

• 必背公式：

  • $[x,{\hat{p}}_x]=i\hslash$（p67，式 (4-33)），$[x_{\alpha },{\hat{p}}_{\beta }]=i\hslash {\delta }_{\alpha \beta }$，$[x_{\alpha },x_{\beta }]=[{\hat{p}}_{\alpha },{\hat{p}}_{\beta }]=0$（式 (4-36)(4-37)）
  • ${\hat{l}}_x=y{\hat{p}}_z-z{\hat{p}}_y$，${\hat{l}}_y=z{\hat{p}}_x-x{\hat{p}}_z$，${\hat{l}}_z=x{\hat{p}}_y-y{\hat{p}}_x$（p68，式 (4-38)–(4-40)）
  • $[{\hat{l}}_{\alpha },x_{\beta }]=i\hslash {\epsilon }_{\alpha \beta \gamma }{x}_{\gamma }$，$[{\hat{l}}_{\alpha },{\hat{p}}_{\beta }]=i\hslash {\epsilon }_{\alpha \beta \gamma }{\hat{p}}_{\gamma }$（p69，式 (4-41)(4-43)）
  • $[{\hat{l}}_{\alpha },{\hat{l}}_{\beta }]=i\hslash {\epsilon }_{\alpha \beta \gamma }{\hat{l}}_{\gamma }$，$\hat{\mathbf{l}}\times \hat{\mathbf{l}}=i\hslash \hat{\mathbf{l}}$（p69，式 (4-45)(4-46)）
  • $[{\hat{l}}^2,{\hat{l}}_{\alpha }]=0$（p69，式 (4-48)）；${\hat{l}}_{\pm }={\hat{l}}_x\pm i{\hat{l}}_y$（式 (4-50)）

• 基础知识点：扫4-2-1⬜ 扫4-2-2🟢 扫4-2-3🟢

• 常考题型：

  • 对易恒等式与微分公式：蓝4-1🟢 蓝4-2🟢 题35🟡
  • 角动量矢量恒等式：蓝4-3🟢
  • 判断是否 $\hat{l}$ 分量、${\hat{l}}^2$ 的本征函数：蓝4-5🟢 蓝4-6🟢

• 延伸考法：

  • 变式：用振子算符构造角动量（Schwinger）：蓝4-16🟡
  • 角动量矩阵的实性、对易传递：蓝4-17🟡
  • 代数变式：$a^2=0$ 的粒子数算符：蓝4-11🟡
  • 跨章·自旋（第8章）：蓝4-18🟢

3. 厄米算符的本征值与本征函数

考什么：测值只能是本征值之一；厄米算符本征值为实、不同本征值的本征函数正交、简并时可重新组合成正交；求本征值三条路（微分方程、升降算符代数、矩阵久期方程）；谐振子代数法 $E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$，$N=a^{†}a$。

• 必背公式：

  • 厄米算符本征值为实（p70，式 (4-53)）；不同本征值的本征函数正交 $({\psi }_m,{\psi }_n)=0$（p71，式 (4-60)）
  • $\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x+\frac{i\hat{p}}{m\omega })$，${\hat{a}}^{†}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}(x-\frac{i\hat{p}}{m\omega })$（p72，式 (4-66)(4-67)）
  • $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1$，$\hat{N}={\hat{a}}^{†}\hat{a}$，$\hat{H}=(\hat{N}+\frac{1}{2})\hslash \omega$（p72，式 (4-65)(4-68)(4-69)）
  • $[\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a}$，$[\hat{N},{\hat{a}}^{†}]={\hat{a}}^{†}$（p72，式 (4-71)(4-72)）
  • $\hat{a}|0⟩=0$（p73，式 (4-80)），$E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$（式 (4-88)）
  • 矩阵形式本征值：$\det |H_{mn}-E{\delta }_{mn}|=0$（p74，式 (4-93)）
  • $\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$，${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$，$|n⟩=\frac{({\hat{a}}^{†}{)}^n}{\sqrt{n!}}|0⟩$；$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}({\hat{a}}^{†}+\hat{a})$，$\hat{p}=i\sqrt{\frac{m\hslash \omega }{2}}({\hat{a}}^{†}-\hat{a})$（强化17）

• 基础知识点：扫4-3-1🟡 扫4-3-2⬜ 扫4-3-3🟡

• 常考题型：

  • 本征值为实、正交、简并正交化的证明：题49🟡 题50🟡
  • 给定态求测得某能级的几率：蓝4-12🟡 蓝4-28🟡
  • 升降算符代数：对易关系、$a|n⟩$、能谱、由 $a|0⟩=0$ 解 ${\psi }_0$：强17×1

• 延伸考法：

  • 跨章·测量（是不是动量本征态、连续测量）：题51🟡 题53🟡
  • 变式：按能量本征态展开估能量（基态偏离、第二激发态上限，变分思想）：强21×1

4. 不确定关系

考什么：$\Delta A=\sqrt{\overline{A^2}-{\bar{A}}^2}$ 是量子涨落；$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}|\overline{[\hat{A},\hat{B}]}|$，$x$–$p$ 下限 $\hslash /2$；本征态上 $\Delta A=0$；能量–时间 $\Delta E\Delta t\ge \hslash /2$（能级宽度与寿命，基态寿命无限长）。

• 必背公式：

  • $\Delta A=\sqrt{\overline{(A-\bar{A}{)}^2}}=\sqrt{\overline{A^2}-{\bar{A}}^2}$（p75，式 (4-98)）
  • $\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}\overline{[A,B]}$（p76，式 (4-103)）
  • $\Delta x\Delta p_x\ge \frac{\hslash }{2}$（p76，式 (4-104)）
  • $\Delta E\Delta A\ge \frac{1}{2}\overline{[\hat{H},\hat{A}]}$，$\frac{d\bar{A}}{dt}=\frac{1}{i\hslash }\overline{[\hat{A},\hat{H}]}$（p76–77，式 (4-105)(4-106)）
  • $\Delta E\Delta t\ge \frac{\hslash }{2}$，$\Delta t=\Delta A/\frac{d\bar{A}}{dt}$（p77，式 (4-108)）

• 基础知识点：扫4-4-1⬜ 扫4-4-2🟢

• 常考题型：

  • 证明一般不确定关系：蓝4-25🟡 题34🟢 题36🟢
  • 计算 $\Delta x$、$\Delta p$、由 $\Delta x$ 估能量：蓝4-13🟢 蓝4-14🟢；测不准估氢原子基态能量：强29×0
  • 零点能 $\frac{1}{2}\hslash \omega$ 是不确定关系的直接结果（$A^2+B^2\ge 2AB$）：强19×1

• 延伸考法：

  • 极限：最小不确定态（谐振子基态、相干态）：蓝4-13🟢 题58⬜ 强24×1
  • 跨章·Virial 定理：题45⬜
  • 跨章·类氢（第7章）：强29×0

5. 球坐标、${\hat{l}}^2$ 与 ${\hat{l}}_z$

考什么：${\hat{l}}_z=-i\hslash {\partial }_{\phi }$，${\hat{l}}^2=-{\hslash }^2{\nabla }_{\theta \phi 2}$；$\hat{l}$ 与 $r$ 无关，中心力下 $[\hat{l},\hat{H}]=0$；${\hat{l}}_z$ 由单值性量子化，$m=0,\pm 1,\dots$；球谐函数 $Y_{lm}$，本征值 $l(l+1){\hslash }^2$、$m\hslash$，$2l+1$ 度简并。

• 必背公式：

  • ${\hat{l}}_x=i\hslash (\sin \phi \frac{\partial }{\partial \theta }+\cot \theta \cos \phi \frac{\partial }{\partial \phi })$，${\hat{l}}_y=i\hslash (-\cos \phi \frac{\partial }{\partial \theta }+\cot \theta \sin \phi \frac{\partial }{\partial \phi })$（p78，式 (4-117)(4-118)）
  • ${\hat{l}}_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \phi }$（p78，式 (4-119)）
  • ${\hat{l}}^2=-{\hslash }^2[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}]$（p78，式 (4-120)）
  • ${\hat{p}}^2=-{\hslash }^2\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial }{\partial r})+\frac{{\hat{l}}^2}{r^2}$（p81，式 (4-135)）；$[\hat{\mathbf{l}},{\hat{p}}^2]=0$，$[\hat{\mathbf{l}},\hat{H}]=0$（式 (4-136)）
  • ${\hat{l}}_z{\Phi }_m=m\hslash {\Phi }_m$，${\Phi }_m=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\phi }$，$m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$（p84，式 (4-154)(4-157)），$({\Phi }_m,{\Phi }_{m^{\prime }})={\delta }_{m{m}^{\prime }}$（式 (4-158)）
  • ${\hat{l}}^2{Y}_{lm}=l(l+1){\hslash }^2{Y}_{lm}$，$l=0,1,2,\dots$，$m=0,\pm 1,\dots ,\pm l$（p86，式 (4-174)(4-175)）
  • $Y_{lm}=N_{lm}{P}_l^{|m|}(\cos \theta )e^{im\phi }$（p86，式 (4-180)），$\int Y_{lm}^{\ast }{Y}_{l^{\prime }{m}^{\prime }}\sin \theta d\theta d\phi ={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$（式 (4-181)），$|N_{lm}|=\sqrt{\frac{(2l+1)(l-|m|)!}{4\pi (l+|m|)!}}$（式 (4-182)）
  • 径向动量 ${\hat{p}}_r=\frac{1}{2}(\hat{\mathbf{p}}\cdot \frac{\mathbf{r}}{r}+\frac{\mathbf{r}}{r}\cdot \hat{\mathbf{p}})=-i\hslash (\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r})$（强化13）
  • $l$ 能级简并度 $2l+1$（p87，式 (4-185)）；$Y_{00}=\frac{1}{\sqrt{4\pi }}$，$Y_{10}=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta$，$Y_{1,\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta e^{\pm i\phi }$（p87，式 (4-186)）

• 基础知识点：扫4-5-1⬜ 扫4-6-2⬜ 扫4-5-2🟢 扫4-6-4🟢

• 常考题型：

  • 给定角向波函数测 $l_z$、$l^2$（展开成 $Y_{lm}$）：蓝4-7🟢 蓝4-8🟢 蓝4-15🟢
  • 球坐标恒等式：蓝4-19🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·Dirac 符号下的 $|lm⟩$（测 $l_x$）：蓝5-5🟡 扫5-4-3🟡
  • 径向动量 ${\hat{p}}_r$（对称化才厄米）：强13×1；中心力场下 ${\hat{p}}_r$ 与 $H$ 分解及束缚定态关系：强28×0
  • 变式：绕 $y$ 轴转 $\frac{\pi }{2}$，把 $Y_{lm}$ 变成 ${\hat{l}}^2$、${\hat{l}}_x$ 的共同本征函数：强16×1

6. 共同本征函数与力学量完全集

考什么：两个力学量能同时确定 ⇔ 对易 ⇔ 有共同本征函数系；$[\hat{A},\hat{B}]{\psi }_0=0$ 只对一个函数成立不能推出对易（反例 $[{\hat{l}}_x,{\hat{l}}_y]z=0$）；完全集的共同本征函数展开，$|a_n{|}^2$ 为测值几率；动量的共同本征函数是平面波，坐标的是 ${\delta }^3$。

• 必背公式：

  • $[\hat{A},\hat{B}]=0$ 时有共同本征函数系 $\hat{A}{\psi }_n=A_n{\psi }_n$，$\hat{B}{\psi }_n=B_n{\psi }_n$（p81–82，式 (4-137)–(4-140)）
  • 展开 $\psi ={\sum }_n{a}_n{\psi }_n$，$a_n=({\psi }_n,\psi )$，${\sum }_n|a_n{|}^2=1$（p82，式 (4-141)–(4-143)）
  • 动量本征方程 $-i\hslash \nabla {\psi }_{\mathbf{p}}=\mathbf{p}{\psi }_{\mathbf{p}}$（p83，式 (4-146)），${\psi }_{\mathbf{p}}=(2\pi \hslash {)}^{-3/2}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{r}/\hslash }$（式 (4-152)）
  • 坐标本征函数 $\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)=\delta (x-x_0)\delta (y-y_0)\delta (z-z_0)$（p83，式 (4-148)）

• 基础知识点：扫4-6-1🟡 扫4-6-3⬜

• 常考题型：

  • 同时对角化 ⇒ 对易：蓝4-10🟡
  • 判断是否构成完全集（CSCO）：题37🟡 题38⬜ 题39⬜

• 延伸考法：动量、坐标本征函数的具体求法：题30🟢 题31🟢

7. δ 函数与连续谱归一化

考什么：$\delta (x)=\delta (-x)$、$\delta (ax)=\delta (x)/|a|$、$x\delta (x)=0$、$x{\delta }^{\prime }(x)=-\delta (x)$、$\delta [(x-a)(x+a)]$；Fourier 积分表示；连续谱按 $\delta$ 函数「归一化」；箱归一化（周期边界）把连续谱变离散，$L\to \infty$ 回到 $\delta$。

• 必背公式：

  • $\int f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0)$（p88，式 (4-193)）
  • $\delta (-x)=\delta (x)$，$\delta (ax)=\frac{\delta (x)}{|a|}$，$x\delta (x)=0$，$x{\delta }^{\prime }(x)=-\delta (x)$（p89，式 (4-194)–(4-197)）
  • $\int \delta (x-a)\delta (x-b)dx=\delta (a-b)$（p89，式 (4-198)）；$\delta [(x-a)(x-b)]=\frac{\delta (x-a)+\delta (x-b)}{|a-b|}$（式 (4-199)）
  • $\delta (x^2-a^2)=\frac{1}{2|a|}[\delta (x-a)+\delta (x+a)]$（p90，式 (4-200)，原书分母误印为 $2|x|$）
  • $\delta (x-x_0)=\frac{1}{2\pi \hslash }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{ip(x-x_0)/\hslash }dp$（p90，式 (4-203)）
  • $({\psi }_p,{\psi }_{p^{\prime }})=\delta (p^{\prime }-p)$（p90，式 (4-206)）；$({\psi }_{x_0},{\psi }_{x_{0^{\prime }}})=\delta (x_0-x_{0^{\prime }})$（p91，式 (4-210)）
  • 箱归一化：$p_n=\frac{2\pi n\hslash }{L}$，${\psi }_{p_n}=\frac{1}{\sqrt{L}}{e}^{i{p}_{n}x/\hslash }$，${\int }_{-L/2}^{L/2}{\psi }_{p_m}^{\ast }{\psi }_{p_n}dx={\delta }_{mn}$（p92，式 (4-218)–(4-220)）

• 基础知识点：扫4-7-1⬜

• 常考题型：

  • 动量本征函数的 $\delta$ 归一化：题30🟢 题31🟢
  • 求动量分布（Fourier 变换）：题54🟡 题55🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·一维定态（δ 势束缚态测动量几率）：题32🟢

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试版 · 2026-10-08 · 强化班第4章的题：强13–17、强19、强21、强24（第二讲 力学量算符 A组，10/9 挂）。同一题可能出现在两个模型下（如 题30、题31、蓝4-13）。 · 2026-10-23 挂强化 qh-28、qh-29。