量子力学·基础（书本扫盲）· 第5章

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色标同量力题：⬜ 未测 · 🟡（未复习） · 🟡（模糊） · 🟡（不会） · 🟢 懂 · 🔴 不行。

第5章 态矢量和力学量算符的表象变换

书 p94–113 · 共 4 节 · 2026-10-06 挂；对照原书逐页核对、核定笔误后写入

5.1 量子态的矢量表示及其表象变换

知识点小结：选定一组力学量完全集的共同本征函数当基矢，任意态就能按它们展开，展开系数排成列矢量，这就是该态在这个表象里的表示。换一组基，列矢量跟着变，变换矩阵的元是两组基的标积，而且这个矩阵是幺正的。表象变了，态没有变。

jc-5-1-1 · 态矢量就是列矢量 · 🟡

填空（书 p94–95，式 (5-1)–(5-8)）

(1) 力学量完全集的共同本征函数系满足 $({\psi }_m,{\psi }_n)={\delta }_{mn}$，书上把这条叫 ____（式 (5-1)）；任意态函数都能展开成 $\psi ={\sum }_n{a}_n{\psi }_n$，书上把这条叫 ____（式 (5-2)）。以它为基矢张成 Hilbert 空间后，任何态函数 $\psi$ 都可以看作 Hilbert 空间中的一个 ____。

(2) 展开系数 $a_k=$ ____。把它排成列矢量，叫态矢在 ____ 表象中的表示。

(3) 同一个态在另一组基 ${\psi }_n^{\prime }$ 下的系数 $a_{k^{\prime }}=$ ____。基不同，列矢量 ____（同 / 不同），态矢量本身 ____（变 / 不变）。

**答案**

(1) 正交、归一性（5-1）；完备性（5-2）；态矢量（state vector）。（书 p94 原文。书上没有给「展开」单独起名，式 (5-2) 本身标的就是「完备性」，所以题目改成按书上原话问。正交归一和完备是两件事，填空常只写一个。）

(2) $a_k=({\psi }_k,\psi )$（5-4）；$\hat{G}$ 表象（基矢所属的那个力学量完全集）。

(3) $a_{k^{\prime }}=({\psi }_k^{\prime },\psi )$（5-8）；列矢量不同；态矢量不变。能量表象的基就是 $\hat{H}$ 的本征函数系，这只是一种选法。

jc-5-1-2 · 表象变换是幺正变换 · 🟡（模糊）

证明（书 p95–98，式 (5-9)–(5-28)；对照 p108–109 式 (5-97)–(5-105)）平面转动把同一矢量的分量从 $(A_1,A_2)$ 变到 $(A_{1^{\prime }},A_{2^{\prime }})$，变换矩阵元是 $(e_{i^{\prime }},e_j)$。量子态换表象是同一件事。

(1) 由 ${\sum }_i{a}_{i^{\prime }}{\psi }_i^{\prime }={\sum }_k{a}_k{\psi }_k$ 导出 $a_{m^{\prime }}={\sum }_k{S}_{mk}{a}_k$，并写出 $S_{mk}$。（式 (5-21)–(5-25)）

(2) 证明 ${\hat{S}}^{†}\hat{S}=I$。用到的完备性关系是什么？为什么说态的表象变换是幺正变换？（式 (5-27)(5-28)）

(3) $\hat{S}$ 确定之后，是「这一个态」的变换定了，还是「任意态」在这两个表象之间的变换都定了？

(4) 平面直角坐标系绕 $z$ 轴转 $\theta$。写出 $(A_1,A_2)\to (A_{1^{\prime }},A_{2^{\prime }})$ 的变换矩阵，验证它是正交矩阵。$\theta =0$ 时退回什么？这和 $\hat{S}$ 的幺正性是什么关系？（式 (5-19)(5-20)） ☐ 10/24：（(4) $S^{†}S$ 验证掺 $i$；θ=0/与幺正关系未答清）·🔴入口

**答案**

(1) 两边与 ${\psi }_m^{\prime }$ 做标积。左边 $({\psi }_m^{\prime },{\psi }_i^{\prime })={\delta }_{mi}$，得到 $a_{m^{\prime }}$；右边 $S_{mk}=({\psi }_m^{\prime },{\psi }_k)$，所以 $a_{m^{\prime }}={\sum }_k{S}_{mk}{a}_k$，即 $a^{\prime }=\hat{S}a$。注意指标：行是新基，列是旧基。

(2) $S_{mk}=\int {\psi }_m^{{}^{\prime }\ast }{\psi }_k{d}^{3}r$。

$$({\hat{S}}^{†}\hat{S}{)}_{mk}=\sum S_{nm}^{\ast }{S}_{nk}=\sum ({\psi }_n^{\prime },{\psi }_m{)}^{\ast }({\psi }_n^{\prime },{\psi }_k).$$

插入完备性 ${\sum }_n{\psi }_n^{\prime }(\mathbf{r}){\psi }_n^{{}^{\prime }\ast }({\mathbf{r}}^{\prime })={\delta }^3(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })$，积分回到 $({\psi }_m,{\psi }_k)={\delta }_{mk}$。同样有 $\hat{S}{\hat{S}}^{†}=I$。保持标积、逆等于厄米共轭的变换叫幺正变换。

(3) 任意态。$\hat{S}$ 只由两组基决定，与具体的 $\psi$ 无关（p97）。

(4) 矩阵元 $(e_{i^{\prime }},e_j)$（5-19），用转角写是

$$\left(\begin{array}{c}{A}_{1^{\prime }}\\ A_{2^{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right)(5\text{-}20).$$

转置乘自己得 $I$，是正交矩阵；$\theta =0$ 时是单位矩阵，两组基重合。正交矩阵就是元素为实数的幺正矩阵，量子态的 $\hat{S}$ 是它在复空间的推广，所以 ${\hat{S}}^{†}\hat{S}=I$。

5.2 力学量的矩阵表示及其表象变换

知识点小结：态是列矢量之后，算符就得是矩阵，否则作用完对不上同一种列矢量。矩阵元是 $({\psi }_m,\hat{L}{\psi }_l)$。在自己的表象里，这个矩阵是对角的，对角元就是本征值。换表象是 ${\hat{L}}^{\prime }=\hat{S}\hat{L}{\hat{S}}^{†}$，本征值和迹都不变。

jc-5-2-1 · 矩阵元、自身表象、幺正变换 · 🟡

计算（书 p98–100，式 (5-29)–(5-43)）

(1) $\phi =\hat{L}\psi$，两边都用同一组基展开。导出 $b_m={\sum }_l{L}_{ml}{a}_l$，写出 $L_{ml}$。这里的 $a$ 和 $b$ 是不是同一表象里的列矢量？（式 (5-32)–(5-36)）

(2) 为什么 $\hat{L}$ 在自身表象里是对角矩阵？对角元是什么？（p99）

(3) 导出 ${\hat{L}}^{\prime }=\hat{S}\hat{L}{\hat{S}}^{†}$。为什么可以写成 $\hat{S}\hat{L}{\hat{S}}^{-1}$？表象变换不改变哪两个量？（式 (5-37)–(5-43)） ☐ 11/03：(1)(2) 黑笔过；(3) $L^{\prime }=SL{S}^{†}$ 整段红重写 → 仍🟡 ·🔴入口

**答案**

(1) $L_{ml}=({\psi }_m,\hat{L}{\psi }_l)$（5-33）。是同一表象：$a$、$b$ 都按 ${\psi }_n$ 展开。换了基才叫表象变换。

(2) 自身表象的基满足 $\hat{L}{\psi }_n=L_n{\psi }_n$，所以 $L_{mn}=L_n{\delta }_{mn}$。对角元是本征值。

(3) 新基用旧基展开，${\psi }_k^{\prime }={\sum }_m{S}_{km}^{\ast }{\psi }_m$（因为 $S_{km}=({\psi }_k^{\prime },{\psi }_m)$）。代进 $L_{k{l}^{\prime }}=({\psi }_k^{\prime },\hat{L}{\psi }_l^{\prime })$ 得 $L_{k{l}^{\prime }}={\sum }_{mn}{S}_{km}{L}_{mn}{S}_{ln}^{\ast }=(\hat{S}\hat{L}{\hat{S}}^{†}{)}_{kl}$。幺正才有 ${\hat{S}}^{†}={\hat{S}}^{-1}$。本征值是久期方程的根，相似变换不改变；迹是本征值之和，也不变。

• 11/03：🔴入口——从 ${\psi }_k^{\prime }={\sum }_m{S}_{km}^{\ast }{\psi }_m$ 代进 $L_{k{l}^{\prime }}$，两份求和收 $SL{S}^{†}$；幺正 ⇒ $S^{†}=S^{-1}$；不变量为本征值与迹。

jc-5-2-2 · 矩阵元与算符的表象变换（直接写出） · 🟡

填空（书 p99–100，式 (5-33)–(5-43)）

(1) $Q$ 表象中 $\hat{L}$ 的矩阵元 $L_{ml}=$ ____；$\hat{L}$ 厄米时 $L_{ml}$ 与 $L_{lm}$ 的关系 ____；在 $\hat{L}$ 自身表象中 $L_{ml}=$ ____。（式 (5-33)）

(2) $\hat{L}$ 的第 $k$ 个本征矢在 $Q$ 表象的分量 $a_{m(k)}=$ ____。（式 (5-40)）

(3) $L^{\prime }=$ ____。（式 (5-43)，p100）

**答案**

(1) $({\psi }_m,\hat{L}{\psi }_l)$；$L_{ml}=L_{lm\ast }$；$L_m{\delta }_{ml}$（对角）。

(2) $S_{km}^{\ast }$。

(3) $SL{S}^{†}=SL{S}^{-1}$。

5.3 量子力学的矩阵形式

知识点小结：平均值、本征值方程、Schrödinger 方程都可以只写成矩阵和列矢量。本征值从久期方程 $\det (L_{mn}-L{\delta }_{mn})=0$ 来。能量表象里 $\hat{H}$ 是对角的，对角元就是 $E_n$。谐振子的 $x$、$p$ 在能量表象里只有相邻能级的矩阵元非零。

jc-5-3-1 · 平均值、久期方程、矩阵 Schrödinger 方程 · 🟡

计算（书 p100–103，式 (5-46)–(5-66)）

(1) 把 $\bar{L}=(\psi ,\hat{L}\psi )$ 写成 $a^{†}\hat{L}a$。在 $\hat{L}$ 自身表象里它化成什么？$|a_m{|}^2$ 是什么？（式 (5-47)–(5-50)）

(2) 写出本征值方程的矩阵形式。非平庸解的条件叫什么？$N$ 维厄米矩阵为什么恰有 $N$ 个实根？（式 (5-54)–(5-57)）

(3) 把 $\psi (\mathbf{r},t)={\sum }_n{a}_n(t){\psi }_n(\mathbf{r})$ 代入含时 Schrödinger 方程，写出矩阵形式。能量表象里它变成什么？这时 $a_n(t)$ 怎么解？（式 (5-58)–(5-66)）

**答案**

(1) $\bar{L}={\sum }_{mn}{a}_{m\ast }{L}_{mn}{a}_n=a^{†}\hat{L}a$（5-48）。自身表象里 $L_{mn}=L_n{\delta }_{mn}$，所以 $\bar{L}={\sum }_m|a_m{|}^2{L}_m$。$|a_m{|}^2$ 是测得 $L_m$ 的概率。

(2) ${\sum }_n(L_{mn}-L{\delta }_{mn})a_n=0$（5-54）。条件 $\det (L_{mn}-L{\delta }_{mn})=0$，叫久期方程（5-55）。厄米矩阵本征值为实，$N$ 维有 $N$ 个实根；每个根代回去解一个列矢量。

(3) $i\hslash {\dot{a}}_m={\sum }_n{H}_{mn}{a}_n$，即 $i\hslash \dot{\mathbf{a}}=\hat{H}\mathbf{a}$（5-63）。能量表象 $H_{mn}=E_n{\delta }_{mn}$，方程拆成 $i\hslash {\dot{a}}_n=E_n{a}_n$，所以 $a_n(t)=a_n(0)e^{-i{E}_{n}t/\hslash }$。

jc-5-3-2 · 谐振子的 $x$、$p$、$H$ 矩阵 · 🟢

计算（书 p103–104 练习；用第3章已证的作用式）一维谐振子，能量表象。已知

$$x{\psi }_n=\frac{1}{\alpha }[\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}+\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}],\frac{d}{dx}{\psi }_n=\alpha [\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}-\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}].$$

(1) 求 $x_{mn}$、$p_{mn}$、$H_{mn}$（$m,n=0,1,2,\dots$）。哪些元为零？

(2) 写出 $x$、$p$、$H$ 矩阵的左上角 $3\times 3$。$p$ 为什么是纯虚且厄米，$x$ 为什么是实对称？

(3) 用矩阵验证 $[x,p]$ 的 $(0,0)$ 元等于 $i\hslash$。基态的 $⟨x^2⟩$、$⟨p^2⟩$ 能否只从这一列矩阵元读出？ ☐ 10/17：（(3) 同质化未算，自评会做）

**答案**

(1) 用正交归一 $({\psi }_m,{\psi }_k)={\delta }_{mk}$：

$$x_{mn}=\frac{1}{\alpha }[\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\delta }_{m,n+1}+\sqrt{\frac{n}{2}}{\delta }_{m,n-1}],$$$$p_{mn}=i\hslash \alpha [\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\delta }_{m,n+1}-\sqrt{\frac{n}{2}}{\delta }_{m,n-1}],$$$$H_{mn}=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega {\delta }_{mn}.$$

只有 $m=n\pm 1$ 的 $x$、$p$ 矩阵元非零；$H$ 只有对角元。$n=0$ 时 $\sqrt{n/2}$ 那一项自动为零，没有 ${\psi }_{-1}$。

(2) 左上角（行、列按 $n=0,1,2$）：

$$x=\frac{1}{\alpha }\{\begin{array}{llc}0& 1/\sqrt{2}& 0\\ 1/\sqrt{2}& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array},p=i\hslash \alpha \{\begin{array}{llc}0& -1/\sqrt{2}& 0\\ 1/\sqrt{2}& 0& -1\\ 0& 1& 0\end{array},H=\hslash \omega \{\begin{array}{llc}1/2& 0& 0\\ 0& 3/2& 0\\ 0& 0& 5/2\end{array}.$$

$x_{mn}=x_{nm}$ 且为实，所以实对称。$p_{01}=-i\hslash \alpha /\sqrt{2}$，$p_{10}=+i\hslash \alpha /\sqrt{2}=p_{01\ast }$，所以厄米。易错：把 $p$ 的每一项都写成正的 $i$，厄米性就坏了。

(3) $(xp{)}_{00}={\sum }_k{x}_{0k}{p}_{k0}=x_{01}{p}_{10}=(1/(\alpha \sqrt{2}))(i\hslash \alpha /\sqrt{2})=i\hslash /2$，$(px{)}_{00}=p_{01}{x}_{10}=(-i\hslash \alpha /\sqrt{2})(1/(\alpha \sqrt{2}))=-i\hslash /2$，相减 $i\hslash$。基态 $⟨x^2⟩=(x^2{)}_{00}=|x_{01}{|}^2=1/(2{\alpha }^2)$，$⟨p^2⟩=|p_{10}{|}^2={\hslash }^2{\alpha }^2/2$。这就是 $\Delta x\cdot \Delta p=\hslash /2$ 的矩阵算法。

jc-5-3-3 · 矩阵形式的几个基本式（直接写出） · 🟢

填空（书 p100–103，式 (5-48)–(5-65)；p103 练习）

(1) $\bar{L}=$ ____（矩阵写法）；在 $\hat{L}$ 自身表象中 $\bar{L}=$ ____。（式 (5-48)(5-50)）

(2) 本征方程的矩阵形式 ____，久期方程 ____。（式 (5-54)(5-55)）

(3) Schrödinger 方程的矩阵形式 ____；能量表象中 $H_{mn}=$ ____。（式 (5-63)(5-65)）

(4) 谐振子能量表象：$x_{mn}=$ ____，$p_{mn}=$ ____。（p103 练习）

**答案**

(1) $a^{†}La={\sum }_{mn}{a}_{m\ast }{L}_{mn}{a}_n$；${\sum }_m|a_m{|}^2{L}_m$。

(2) ${\sum }_n(L_{mn}-\lambda {\delta }_{mn})a_n=0$；$\det |L_{mn}-\lambda {\delta }_{mn}|=0$。

(3) $i\hslash \frac{da}{dt}=Ha$；$E_n{\delta }_{mn}$。

(4) $\frac{1}{\alpha }[\sqrt{\frac{n}{2}}{\delta }_{m,n-1}+\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\delta }_{m,n+1}]$；$i\hslash \alpha [-\sqrt{\frac{n}{2}}{\delta }_{m,n-1}+\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\delta }_{m,n+1}]$。

5.4 量子力学的 Dirac 描述

知识点小结：$|\psi ⟩$ 不指明用哪一组基，$⟨\phi |\psi ⟩$ 是数，$\hat{L}$ 的矩阵元写成 $⟨k|\hat{L}|l⟩$。离散谱用 ${\delta }_{kl}$，连续谱用 $\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$。完备性是 ${\sum }_k|k⟩⟨k|=I$，单独一项 $|k⟩⟨k|$ 是投影算符。坐标表象和动量表象之间的变换就是 Fourier 变换，仍是幺正的。波动力学、矩阵力学、Dirac 符号是同一套理论的三种写法。

jc-5-4-1 · ket、投影、完备性 · 🟡（模糊）

填空（书 p104–109，式 (5-67)–(5-107)） ☐ 10/25：旁标○但相因子红补 ·已清 ☐ 11/03：(1)–(3)红勾；(4)三种描述方法关系未写 → 仍🟡 ·🔴入口

(1) $|x^{\prime }⟩$、$|p^{\prime }⟩$、$|k⟩$、$|lm⟩$ 各标记什么态？$-|R⟩$ 和 $|R⟩$ 是不是同一个态？为什么「−」不表示方向相反？（p105）

(2) $⟨\phi |\psi {⟩}^{\ast }=$ ____。离散谱 $⟨k|l⟩=$ ____；连续谱 $⟨x^{\prime }|x^{{}^{\prime \prime }}⟩=$ ____，$⟨p^{\prime }|p^{{}^{\prime \prime }}⟩=$ ____。

(3) 完备性 ${\sum }_k|k⟩⟨k|=$ ____。$P_k=|k⟩⟨k|$ 作用到 $|\psi ⟩$ 得到什么？连续谱的单位算符怎么写？（式 (5-78)–(5-82)）

(4) 态的表象变换矩阵元 $S_{k^{\prime }k}=$ ____。算符的表象变换是 ____。三种描述方法是什么关系？（式 (5-100)(5-107)，p109）

**答案**

(1) 本征值 $x^{\prime }$ 的坐标本征态；本征值 $p^{\prime }$ 的动量本征态；能量 $E_k$ 的能量本征态；${\hat{l}}^2$、${\hat{l}}_z$ 本征值 $l(l+1){\hslash }^2$、$m\hslash$ 的共同本征态。$-|R⟩$ 与 $|R⟩$ 是同一量子态：总相位没有观测效应，负号不是几何上的反向。（10/25 相因子钉本晚红勾覆盖）

(2) $⟨\psi |\phi ⟩$（5-68）；${\delta }_{kl}$（5-69）；$\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$（5-70）；$\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }})$（5-71）。

(3) $I$。$P_k|\psi ⟩=a_k|k⟩$，即展开式的第 $k$ 项。连续谱 $\int |x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|d{x}^{\prime }$ 和 $\int |p^{\prime }⟩⟨p^{\prime }|d{p}^{\prime }$（5-81）。

(4) $S_{k^{\prime }k}=⟨k^{\prime }|k⟩$。${\hat{L}}^{\prime }=\hat{S}\hat{L}{\hat{S}}^{†}=\hat{S}\hat{L}{\hat{S}}^{-1}$。三种描述等价（p109）。（11/03 🔴入口：写完 $S$ 与 $L^{\prime }=SL{S}^{†}$ 后须补「波动力学/矩阵力学/Dirac 符号三种描述等价」）

jc-5-4-2 · 坐标表象、动量表象和 Fourier 变换 · 🟢

计算（书 p109–113 练习 1–6；习题 5-1、5-2）一维粒子。

(1) 写出 $⟨x|p^{\prime }⟩$、$⟨x|x^{\prime }⟩$、$⟨p|x^{\prime }⟩$、$⟨p|p^{\prime }⟩$。哪两个是 $\delta$ 函数，哪两个是平面波？平面波里的指数差一个什么号？（练习 1、2）

(2) 用连续谱的单位算符把 $\psi (x)=⟨x|\psi ⟩$ 写成 $\psi (p)$ 的积分，并写出逆变换。这是什么变换？为什么它是幺正的？（练习 3、4）

(3) 证明 $⟨x^{\prime }|\hat{p}|x^{{}^{\prime \prime }}⟩=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$，以及 $⟨p^{\prime }|x|p^{{}^{\prime \prime }}⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial p^{\prime }}\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }})$。$f(x)$、$f(p)$、${\hat{p}}^n$ 的矩阵元呢？（练习 5）

(4) $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(x)$。写出 $x$ 表象和 $p$ 表象中 $x$、$p$、$\hat{H}$ 的矩阵元。自由粒子是哪一种特殊情形？（练习 6；习题 5-1、5-2）

**答案**

(1) $⟨x|p^{\prime }⟩=(2\pi \hslash {)}^{-1/2}{e}^{i{p}^{\prime }x/\hslash }$，$⟨x|x^{\prime }⟩=\delta (x-x^{\prime })$，$⟨p|x^{\prime }⟩=(2\pi \hslash {)}^{-1/2}{e}^{-ip{x}^{\prime }/\hslash }$，$⟨p|p^{\prime }⟩=\delta (p-p^{\prime })$。对角的两个是 $\delta$；另外两个是平面波，互为复共轭，指数差一个负号。易错：动量表象里的坐标本征态漏掉负号。

(2) $\psi (x)=\int ⟨x|p⟩⟨p|\psi ⟩dp=(2\pi \hslash {)}^{-1/2}\int \psi (p)e^{ipx/\hslash }dp$，逆变换指数反号。这就是 Fourier 变换。把 $⟨x|p⟩$ 当 $\hat{S}$ 的矩阵元，$\int ⟨p^{\prime }|x⟩⟨x|p^{{}^{\prime \prime }}⟩dx=\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }})$，所以幺正。

【原书笔误】 p111 练习 4 第二段把 $\int S_{x^{\prime }p}^{†}{S}_{p{x}^{{}^{\prime \prime }}}dp$ 记成 $({\hat{S}}^{†}\hat{S}{)}_{x^{\prime }{x}^{{}^{\prime \prime }}}$。$\hat{S}$ 的行指标是 $x$、列指标是 $p$，${\hat{S}}^{†}\hat{S}$ 只能带两个 $p$ 指标；带 $x^{\prime }{x}^{{}^{\prime \prime }}$ 的应是 $(\hat{S}{\hat{S}}^{†}{)}_{x^{\prime }{x}^{{}^{\prime \prime }}}=\int S_{x^{\prime }p}{S}_{x^{{}^{\prime \prime }}p}^{\ast }dp=\int ⟨x^{\prime }|p⟩⟨p|x^{{}^{\prime \prime }}⟩dp$。结果 $\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$ 没错。

(3) 由 $[x,\hat{p}]=i\hslash$：$(x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})⟨x^{\prime }|\hat{p}|x^{{}^{\prime \prime }}⟩=i\hslash \delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$。再用 $x{\delta }^{\prime }(x)=-\delta (x)$，把右边改写成 $-(x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }}){\partial }_{x^{\prime }}\delta$，约去 $(x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$ 得第一式。动量表象同理，$p$ 作用在自身本征态上给出本征值，左边变成 $(p^{{}^{\prime \prime }}-p^{\prime })⟨p^{\prime }|x|p^{{}^{\prime \prime }}⟩$，所以 $x$ 的矩阵元是 $+i\hslash {\partial }_{p^{\prime }}\delta$。于是

$$⟨x^{\prime }|{\hat{p}}^n|x^{{}^{\prime \prime }}⟩=(-i\hslash {\partial }_{x^{\prime }}{)}^n\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }}),⟨x^{\prime }|f(x)|x^{{}^{\prime \prime }}⟩=f(x^{\prime })\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }}),$$

$p$ 表象中 $x^n$ 换成 $(i\hslash {\partial }_{p^{\prime }}{)}^n$，$f(p)$ 就是 $f(p^{\prime })\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }})$。

(4) $x$ 表象：$x_{x^{\prime }{x}^{{}^{\prime \prime }}}=x^{\prime }\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$，$p_{x^{\prime }{x}^{{}^{\prime \prime }}}=-i\hslash {\partial }_{x^{\prime }}\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$，

$$H_{x^{\prime }{x}^{{}^{\prime \prime }}}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\partial }_{x^{\prime }}^2\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})+V(x^{\prime })\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }}).$$

$p$ 表象：$p_{p^{\prime }{p}^{{}^{\prime \prime }}}=p^{\prime }\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }})$，$x_{p^{\prime }{p}^{{}^{\prime \prime }}}=i\hslash {\partial }_{p^{\prime }}\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }})$，

$$H_{p^{\prime }{p}^{{}^{\prime \prime }}}=\frac{p^{{}^{\prime }2}}{2m}\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }})+V(i\hslash {\partial }_{p^{\prime }})\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }}).$$

自由粒子令 $V=0$，就是习题 5-1。易错：$x$ 表象里把 $x^{{}^{\prime \prime }}$ 和 $x^{\prime }$ 当成两个不同的乘子；$\delta$ 函数下两者相等。

jc-5-4-3 · $|lm⟩$ 上的角动量测值 · 🟡（模糊）

计算（习题 5-3、5-4、5-5，书 p113）

(1) 证明在 ${\hat{l}}_z$ 的本征态 $|m⟩$ 下 $\overline{l_x}=\overline{l_y}=0$。只用 $[{\hat{l}}_z,{\hat{l}}_x]=i\hslash {\hat{l}}_y$ 行不行？（习题 5-3）

(2) 在 $|lm⟩$ 下求 $\overline{l_x^2}$ 和 $\overline{l_y^2}$。为什么两者相等？（习题 5-4 的计算内容；$\overline{l_z^2}$ 是平凡的）

(3) 在 $Y_{10}$ 下，${\hat{l}}_x$ 的可能测值是什么，概率各是多少？平均值呢？（习题 5-5） ☐ 10/19：(3) 未用三方程

**答案**

(1) ${\hat{l}}_x=({\hat{l}}_{+}+{\hat{l}}_{-})/2$，${\hat{l}}_{\pm }|m⟩$ 正比于 $|m\pm 1⟩$，与 $|m⟩$ 正交，所以对角元为零。只对易子也行：$⟨m|[{\hat{l}}_z,{\hat{l}}_x]|m⟩=i\hslash \overline{l_y}$，左边 $(m-m)\hslash \overline{l_x}=0$，故 $\overline{l_y}=0$；换 ${\hat{l}}_y$ 得 $\overline{l_x}=0$。

(2) $\overline{l^2}={\hslash }^{2}l(l+1)$，$\overline{l_z^2}=m^2{\hslash }^2$，所以 $\overline{l_x^2}+\overline{l_y^2}={\hslash }^2[l(l+1)-m^2]$。绕 $z$ 轴转动把 $x$ 和 $y$ 对调，这个态又是 ${\hat{l}}_z$ 的本征态，故两者相等：

$$\overline{l_x^2}=\overline{l_y^2}=\frac{{\hslash }^2}{2}[l(l+1)-m^2].$$

(3) $l=1$ 时 ${\hat{l}}_x$ 的本征值仍是 $\hslash ,0,-\hslash$。$L_z$ 基底里

$$|m_x=0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1⟩-|-1⟩),|m_x=\pm 1⟩=\frac{1}{2}|1⟩\pm \frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{2}|-1⟩$$

（整体相位无关）。于是 $|10⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|m_x=1⟩-\frac{1}{\sqrt{2}}|m_x=-1⟩$。测得 $\pm \hslash$ 的概率各 $1/2$，测得 $0$ 的概率为 $0$。$\overline{l_x}=0$，与 (1) 一致。易错：以为 $m=0$ 就测不出 ${\hat{l}}_x$ 的非零值。

jc-5-4-4 · 矩阵哈密顿量的含时演化 · 🟡（模糊）

计算（习题 5-6、5-7、5-8，书 p113；方程用 (5-63)(5-66)） ☐ 11/06：(1) $\bar{x}$ 整段红重写；(3)三角收束有重划 ·🟡模糊 ·🔴入口

(1) 无限深势阱，$\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt{3}}[{\psi }_1+\sqrt{2}{\psi }_2]$，能级 $E_1,E_2$。求 $\psi (x,t)$、$t$ 时刻处于 ${\psi }_1$ 的概率、$\bar{H}$、$\overline{H^2}$。$\bar{x}(t)$ 随时间变吗？角频率是什么？（习题 5-6）

(2) $\hat{H}=h\left(\begin{array}{cc}0& \Omega \\ \Omega & 0\end{array}\right)$。求本征值和本征态。初态 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ 和 $\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}\end{array}\right)$ 的 $|\psi (t)⟩$ 各是什么？书上的 $h$ 和时间因子里的 $\hslash$ 要不要约掉？（习题 5-7）

(3) $\hat{H}=\hslash \omega \{\begin{array}{llc}a& 0& b\\ 0& c& 0\\ b& 0& a\end{array}$。初态 $(0,1,0{)}^T$ 和 $\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0{)}^T$ 的 $|\psi (t)⟩$？（习题 5-8）

**答案**

(1) 已归一（$1+2=3$）。$\psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{3}}[{\psi }_1{e}^{-i{E}_{1}t/\hslash }+\sqrt{2}{\psi }_2{e}^{-i{E}_{2}t/\hslash }]$。处于 ${\psi }_1$ 的概率是 $|1/\sqrt{3}{|}^2=1/3$，不随时间变。$\bar{H}=(E_1+2E_2)/3$，$\overline{H^2}=(E_1^2+2E_2^2)/3$。$\bar{x}(t)$ 有交叉项，以 $\omega =(E_2-E_1)/\hslash$ 振荡；无限深阱 $E_2=4E_1$，所以 $\omega =3E_1/\hslash$。

(2) 久期方程 $E^2-h^2{\Omega }^2=0$，$E_{\pm }=\pm h\Omega$，本征态 $|\pm ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ \pm 1\end{array}\right)$。 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}(|+⟩+|-⟩)$，

$$|\psi (t)⟩=\left(\begin{array}{c}\cos (h\Omega t/\hslash )\\ -i\sin (h\Omega t/\hslash )\end{array}\right).$$

第二个初态 $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,\sqrt{2}{)}^T=\frac{1}{\sqrt{6}}[(1+\sqrt{2})|+⟩+(1-\sqrt{2})|-⟩]$，各乘 $e^{\mp i\varphi }$（$\varphi =h\Omega t/\hslash$）再合起来：

$$|\psi (t)⟩=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}\cos \varphi -i\sqrt{2}\sin \varphi \\ \sqrt{2}\cos \varphi -i\sin \varphi \end{array}\right).$$

$t=0$ 时回到初态，可用来自查。书上写的是 $h$ 不是 $\hslash$，相位是 $Et/\hslash =h\Omega t/\hslash$，不要自行约成 $\Omega t$，除非题目声明 $h=\hslash$。

(3) $(0,1,0{)}^T$ 已经是本征态，能量 $\hslash \omega c$，$|\psi (t)⟩=e^{-i\omega ct}(0,1,0{)}^T$。 $1$–$3$ 子块的本征值是 $\hslash \omega (a\pm b)$，态 $|+⟩=(1,0,1{)}^T/\sqrt{2}$、$|-⟩=(1,0,-1{)}^T/\sqrt{2}$。第二个初态

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\{\begin{array}{l}1\\ 1\\ 0\end{array}=\frac{1}{2}|+⟩+\frac{1}{2}|-⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|c⟩,$$

各乘自己的时间因子 $e^{-i\omega (a+b)t}$、$e^{-i\omega (a-b)t}$、$e^{-i\omega ct}$。合起来

$$|\psi (t)⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\{\begin{array}{l}{e}^{-i\omega at}\cos \omega bt\\ e^{-i\omega ct}\\ -i{e}^{-i\omega at}\sin \omega bt\end{array}.$$

中间能级和两边退耦，是这题的结构。极限：$b=0$ 时三个分量各自只差相位，第 3 个分量始终为 0。

11/06 手写反馈

• (1) 含时态、投影概率、$\bar{H}$ 与 $\overline{H^2}$ 数值均对；$\bar{x}(t)$ 展开处整段红重写——把 ${\psi }_1$ 与 ${\psi }_2$ 的正交误当成含 $x$ 矩阵元也为零 → 🟡模糊（整体仍一项，不把小问拆色）；下回独立由 $|\psi {|}^2$ 展开至交叉项。密度展开合法：定态概率取投影模方；求位置均值再乘 $x$ 积分：$\bar{x}=\int |\psi {|}^{2}xdx$。$\int {\psi }_1^{\ast }{\psi }_{2}dx=0$，但 $x_{12}=\int {\psi }_1^{\ast }x{\psi }_{2}dx$ 一般不为零。
• (2) 旁标○、两初态终式红勾：保留 $\varphi =h\Omega t/\hslash$ 正确，未擅自约成 $\Omega t$。
• (3) 旁标○；$E_{2,3}=\hslash \omega (a\pm b)$ 与整体相位 $e^{-i\omega at}$ 主干正确，但最后三角收束有红重划 →🟡模糊。

jc-5-4-5 · 坐标矩阵元的求和规则 · 🟡

证明（习题 5-9，书 p113）$\hat{H}={\hat{p}}^2/(2m)+V(\mathbf{r})$ 不显含时间。证明

$$\sum (E_n-E_m)|x_{mn}{|}^2=\frac{{\hslash }^2}{2m}.$$

**答案**

$[x,\hat{H}]=[x,{\hat{p}}_{x2}]/(2m)=i\hslash {\hat{p}}_x/m$，再对易一次 $[x,[x,\hat{H}]]=-{\hslash }^2/m$。取能量表象的对角元。$⟨n|[x,\hat{H}]|m⟩=(E_m-E_n)x_{nm}$，于是

$$⟨m|[x,[x,\hat{H}]]|m⟩=2\sum (E_m-E_n)|x_{mn}{|}^2=-\frac{{\hslash }^2}{m}.$$

移项即得。$V$ 只是 $x$ 的函数，与 $x$ 对易，不进入双对易子。

jc-5-4-6 · 坐标表象与动量表象（直接写出） · 🟡（模糊）

填空（书 p109–113） ☐ 11/01：(2) 把 δ/平面波误当成 ψ/φ，整段红重写 → 🟡；钉傅里叶对

(1) $⟨x|p^{\prime }⟩=$ ____，$⟨p|x^{\prime }⟩=$ ____，$⟨x|x^{\prime }⟩=$ ____。（p109–110）

(2) $\psi (x)=$ ____，$\phi (p)=$ ____。（p110）

(3) $⟨x^{\prime }|\hat{p}|x^{{}^{\prime \prime }}⟩=$ ____，$⟨p^{\prime }|\hat{x}|p^{{}^{\prime \prime }}⟩=$ ____；动量表象中 $\hat{x}$ 作用到 $\phi (p)$ 上写成 ____。（p111–112）

(4) $⟨x^{\prime }|\hat{H}|x^{{}^{\prime \prime }}⟩=$ ____。（p112–113）

**答案**

(1) $(2\pi \hslash {)}^{-1/2}{e}^{i{p}^{\prime }x/\hslash }$；$(2\pi \hslash {)}^{-1/2}{e}^{-ip{x}^{\prime }/\hslash }$；$\delta (x-x^{\prime })$。

(2) $(2\pi \hslash {)}^{-1/2}\int \phi (p)e^{ipx/\hslash }dp$；$(2\pi \hslash {)}^{-1/2}\int \psi (x)e^{-ipx/\hslash }dx$。

(3) $-i\hslash \frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$；$i\hslash \frac{\partial }{\partial p^{\prime }}\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }})$；$i\hslash \frac{\partial }{\partial p}\phi (p)$。

(4) $[-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^{{}^{\prime }2}}+V(x^{\prime })]\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$。

• 11/01：(1) 红勾；(2) 黑笔写成 $\delta$/平面波被红叉，整段红重写为傅里叶积分（旁注「基本的两个形式是一切的基础」）；(3)(4) 黑笔干净 → 🟡模糊。入口：$\psi \leftrightarrow \phi$ 是傅里叶变换对，不是 $⟨x|p⟩$。

第5–6章的原书笔误表放在第6章页末。

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