知识网·第8章 角动量理论，粒子的自旋（试版）

把站上和第8章有关的题按模型归到一起：小蓝书（蓝）、强化班（强）、量力题 1–61（题）、书本扫盲（扫）。每个模型分四层：必背公式 → 基础知识点 → 常考题型 → 延伸考法（极限、变式、跨章）。题号旁的色标从 status.json 自动读取：⬜ 未测 · 🟡 未复习/模糊/不会 · 🟢 懂 · 🔴 不行。点题号直接跳到那道题。

1. 角动量的一般理论与矩阵表示

考什么：只靠对易关系 $\hat{\mathbf{J}}\times \hat{\mathbf{J}}=i\hslash \hat{\mathbf{J}}$ 推出 $j$ 取整数或半整数、$m=j,\dots ,-j$；升降算符的系数（$\hslash$ 在根号外）；给定 $j$ 默写 ${\hat{J}}^2,{\hat{J}}_z,{\hat{J}}_x,{\hat{J}}_y$ 的矩阵，$j=\frac{1}{2}$ 和 $j=1$ 最常考。

• 必背公式：

  • $[{\hat{J}}_i,{\hat{J}}_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{\hat{J}}_k$，或 $\hat{\mathbf{J}}\times \hat{\mathbf{J}}=i\hslash \hat{\mathbf{J}}$；${\hat{J}}_i^{†}={\hat{J}}_i$（p169，式 (8-10)(8-11)）
  • $[{\hat{J}}^2,{\hat{J}}_i]=0$（p169，式 (8-12)）
  • ${\hat{J}}^2|jm⟩=j(j+1){\hslash }^2|jm⟩$，${\hat{J}}_z|jm⟩=m\hslash |jm⟩$（p169，式 (8-13)(8-14)）
  • ${\hat{J}}_{\pm }={\hat{J}}_x\pm i{\hat{J}}_y$（p169，式 (8-15)）
  • $[{\hat{J}}_{\pm },{\hat{J}}_z]=\mp \hslash {\hat{J}}_{\pm }$（式 (8-16)）；$[{\hat{J}}_{+},{\hat{J}}_{-}]=2\hslash {\hat{J}}_z$，$[{\hat{J}}^2,{\hat{J}}_{\pm }]=0$（p169，式 (8-17)）
  • ${\hat{J}}_{\pm }|jm⟩=\sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}\hslash |j,m\pm 1⟩$（p169，式 (8-18)）
  • $j=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},\dots$（p170，式 (8-20)）；$m=j,j-1,\dots ,-j$，共 $2j+1$ 个（p171，式 (8-21)）
  • ${\hat{J}}_x=\frac{1}{2}({\hat{J}}_{+}+{\hat{J}}_{-})$，${\hat{J}}_y=\frac{1}{2i}({\hat{J}}_{+}-{\hat{J}}_{-})$（p172，式 (8-28)）
  • $⟨j^{\prime }{m}^{\prime }|{\hat{J}}_{\pm }|jm⟩=\sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}\hslash {\delta }_{j^{\prime }j}{\delta }_{m^{\prime },m\pm 1}$（p172，式 (8-29)）
  • $j=\frac{1}{2}$：${\hat{J}}^2=\frac{3}{4}{\hslash }^{2}I$，${\hat{J}}_z=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$（p171，式 (8-23)(8-26)）；${\hat{J}}_x=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$，${\hat{J}}_y=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$（p172，式 (8-32)）
  • $j=1$：${\hat{J}}^2=2{\hslash }^2{I}_3$，${\hat{J}}_z=\hslash diag(1,0,-1)$（p171，式 (8-24)(8-27)）；${\hat{J}}_x=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\{\begin{array}{llc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}$，${\hat{J}}_y=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\{\begin{array}{llc}0& -i& 0\\ i& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}$（p172，式 (8-33)）

• 基础知识点：扫8-1-1🟡

• 常考题型：给 $j$ 写矩阵、验证对易式、求平均值：扫8-1-2🟡 蓝8-11🟡 蓝8-23🟡 蓝8-24🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·轨道角动量 $l$ 只能取整数（单值性）：扫4-6-2⬜ 扫4-6-4🟢
  • 只用对易关系推矩阵性质：蓝4-17🟡
  • 用两个谐振子构造角动量（Schwinger 表示）：蓝4-16🟡

2. 自旋与 Pauli 矩阵

考什么：自旋是内禀角动量，不是 $\mathbf{r}\times \mathbf{p}$；费米子与玻色子的例子；$\hat{\mathbf{S}}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$；Pauli 矩阵的对易、反对易、平方为 1，合成 ${\sigma }_i{\sigma }_j={\delta }_{ij}+i{ϵ}_{ijk}{\sigma }_k$；由此证 $(\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{A})(\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{B})$ 恒等式和指数公式。

• 必背公式：

  • 自旋：电子、质子、中子 $\frac{1}{2}$，$\Omega$ 粒子 $\frac{3}{2}$（费米子）；$\pi$ 介子 $0$，光子 $1$（玻色子）（p173）
  • ${\hat{S}}_i=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_i$；${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$，${\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$，${\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$（p173，式 (8-34)(8-35)）
  • $[{\hat{S}}_i,{\hat{S}}_j]=i\hslash {ϵ}_{ijk}{\hat{S}}_k$（p173，式 (8-36)）
  • $[{\sigma }_i,{\sigma }_j]=2i{ϵ}_{ijk}{\sigma }_k$，$\mathbf{\sigma }\times \mathbf{\sigma }=2i\mathbf{\sigma }$（式 (8-37)）；${\sigma }_x^2={\sigma }_y^2={\sigma }_z^2=1$（p173，式 (8-38)）
  • ${\hat{S}}^2=\frac{{\hslash }^2}{4}({\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+{\sigma }_z^2)=\frac{3}{4}{\hslash }^{2}I$（p173，式 (8-39)）
  • ${\sigma }_i,{\sigma }_j=0$（$i\ne =j$）；${\sigma }_x{\sigma }_y=i{\sigma }_z$，${\sigma }_y{\sigma }_z=i{\sigma }_x$，${\sigma }_z{\sigma }_x=i{\sigma }_y$；${\sigma }_x{\sigma }_y{\sigma }_z=i$（p173–174 练习）
  • $(\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{A})(\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{B})=\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}+i\mathbf{\sigma }\cdot (\mathbf{A}\times \mathbf{B})$；$(\mathbf{\sigma }\cdot \hat{\mathbf{l}}{)}^2={\hat{l}}^2-\hslash \mathbf{\sigma }\cdot \hat{\mathbf{l}}$（p188，习题8-1、8-2）
  • $e^{i\theta \mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{n}}=\cos \theta +i\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{n}\sin \theta$；$e^{i\theta {\sigma }_z}{\sigma }_x{e}^{-i\theta {\sigma }_z}={\sigma }_x\cos 2\theta -{\sigma }_y\sin 2\theta$（p188，习题8-7）

• 基础知识点：扫8-2-1🟡

• 常考题型：Pauli 恒等式、自旋交换算符、${\sigma }_x$ 本征问题、指数公式：扫8-2-2🟡 蓝8-1🟡 蓝8-2🟡 蓝8-3🟡 蓝8-4🟡 蓝8-7🟡 蓝8-14🟡 强37×1

• 延伸考法：

  • 跨章·二维矩阵的本征值与本征矢：题43🟡
  • $\delta$ 势自旋翻转散射：强48×0

3. 任意方向的自旋 $S_n$

考什么：${\hat{S}}_n=\hat{\mathbf{S}}\cdot \mathbf{n}$ 的本征值永远是 $\pm \hslash /2$（空间量子化，与方向无关）；本征旋量带半角 $\theta /2$ 和相位 $e^{\mp i\phi /2}$；测 $S_z$ 朝上的概率 ${\cos }^2(\theta /2)$；$x$、$y$ 方向是 $\theta =\pi /2$ 的特例。

• 必背公式：

  • $\mathbf{n}=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$（p174，式 (8-40)）
  • ${\hat{S}}_n=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & e^{-i\phi }\sin \theta \\ e^{i\phi }\sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$（p174，式 (8-41)）
  • $\lambda =\pm \frac{\hslash }{2}$（p175，式 (8-43)）
  • $|{\uparrow }_n⟩=\left(\begin{array}{c}{e}^{-i\phi /2}\cos \frac{\theta }{2}\\ e^{i\phi /2}\sin \frac{\theta }{2}\end{array}\right)$，$|{\downarrow }_n⟩=\left(\begin{array}{c}{e}^{-i\phi /2}\sin \frac{\theta }{2}\\ -e^{i\phi /2}\cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right)$（p175，式 (8-47)(8-48)）
  • $|{\uparrow }_z⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$，$|{\downarrow }_z⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$（p176，式 (8-49)）
  • $P_z(\uparrow )=|⟨{\uparrow }_z|{\uparrow }_n⟩{|}^2={\cos }^2\frac{\theta }{2}$，$P_z(\downarrow )={\sin }^2\frac{\theta }{2}$（p176，式 (8-50)(8-51)）
  • $|{\uparrow }_x⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$，$|{\downarrow }_x⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$（式 (8-52)）；$|{\uparrow }_y⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right)$，$|{\downarrow }_y⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right)$（p176，式 (8-53)(8-54)）
  • $\chi =\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=a|{\uparrow }_z⟩+b|{\downarrow }_z⟩$，$|a{|}^2+|b{|}^2=1$（式 (8-55)）；$|{\uparrow }_x⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|{\uparrow }_z⟩+|{\downarrow }_z⟩)$（p176，式 (8-56)）
  • $\psi (\mathbf{r},s)=\left(\begin{array}{c}\psi (\mathbf{r},\uparrow )\\ \psi (\mathbf{r},\downarrow )\end{array}\right)$ 或 ${\psi }_{nlm{m}_s}$（p177，式 (8-57)）

• 基础知识点：扫8-2-1🟡

• 常考题型：给 $\mathbf{n}$ 求 $S_n$ 的测值、本征旋量和概率；$|{\uparrow }_z⟩$ 下的不确定度：扫8-2-3🟡 蓝8-5🟡 蓝8-6🟡 蓝8-16🟡 蓝8-21🟡

• 延伸考法：

  • 用不确定关系估 $\Delta S_x\Delta S_y$：蓝4-18🟢
  • 中子束势场极化（自旋相关势）：强45×0

4. 角动量耦合与 C-G 系数

考什么：两套完全集（无耦合基 $|m_1{m}_2⟩$、耦合基 $|jm⟩$）；$j$ 从 $j_1+j_2$ 一步一步降到 $|j_1-j_2|$，态数两边相等；C-G 系数只在 $m_1+m_2=m$ 时非零；从最高态用 ${\hat{J}}_{-}={\hat{J}}_{1-}+{\hat{J}}_{2-}$ 往下降，再用正交归一定另一支（例 8-1）；自旋–轨道耦合 $j=l\pm \frac{1}{2}$。

• 必背公式：

  • $\hat{\mathbf{J}}={\hat{\mathbf{J}}}_1+{\hat{\mathbf{J}}}_2$（式 (8-58)）；$[{\hat{J}}_{1i},{\hat{J}}_{2j}]=0$（p177，式 (8-59)）
  • $\hat{\mathbf{J}}\times \hat{\mathbf{J}}=i\hslash \hat{\mathbf{J}}$（p177，式 (8-60)(8-61)）
  • 无耦合基 $|j_1{m}_1{j}_2{m}_2⟩=|j_1{m}_1⟩\otimes |j_2{m}_2⟩$，完全集 $({\hat{J}}_1^2,{\hat{J}}_{1z},{\hat{J}}_2^2,{\hat{J}}_{2z})$（p178，式 (8-64)）
  • ${\hat{J}}^2={\hat{J}}_1^2+{\hat{J}}_2^2+2{\hat{\mathbf{J}}}_1\cdot {\hat{\mathbf{J}}}_2$；耦合基完全集 $({\hat{J}}^2,{\hat{J}}_1^2,{\hat{J}}_2^2,{\hat{J}}_z)$（p178，式 (8-65)–(8-68)）
  • $j=j_1+j_2,j_1+j_2-1,\dots ,|j_1-j_2|$（式 (8-69)）；$m=j,\dots ,-j$（p178，式 (8-70)）
  • $|jm⟩={\sum }_{m_1+m_2=m}{C}_{m_1{m}_2}|m_1{m}_2⟩$，$C_{m_1{m}_2}=⟨m_1{m}_2|jm⟩$（p178，式 (8-72)(8-73)）
  • ${\hat{J}}_{\pm }={\hat{J}}_{1\pm }+{\hat{J}}_{2\pm }$（p179，式 (8-74)(8-75)）
  • 例 8-1，$j=\frac{3}{2}$：$\frac{3}{2}\frac{3}{2}⟩=1\frac{1}{2}⟩$，$\frac{3}{2}\frac{1}{2}⟩=\sqrt{\frac{2}{3}}0\frac{1}{2}⟩+\sqrt{\frac{1}{3}}1,-\frac{1}{2}⟩$，$\frac{3}{2},-\frac{1}{2}⟩=\sqrt{\frac{2}{3}}0,-\frac{1}{2}⟩+\sqrt{\frac{1}{3}}-1,\frac{1}{2}⟩$，$\frac{3}{2},-\frac{3}{2}⟩=-1,-\frac{1}{2}⟩$（p181，式 (8-91)）
  • 例 8-1，$j=\frac{1}{2}$：$\frac{1}{2}\frac{1}{2}⟩=\sqrt{\frac{1}{3}}0\frac{1}{2}⟩-\sqrt{\frac{2}{3}}1,-\frac{1}{2}⟩$，$\frac{1}{2},-\frac{1}{2}⟩=\sqrt{\frac{1}{3}}0,-\frac{1}{2}⟩-\sqrt{\frac{2}{3}}-1,\frac{1}{2}⟩$（p181，式 (8-91)；表 8-1 的 $\frac{1}{2}\frac{1}{2}⟩$ 与此整体差一负号，是相位约定）
  • 表 8-1 的数都带根号读：$-\frac{8}{15}$ 即 $-\sqrt{\frac{8}{15}}$（p182）
  • $\hat{\mathbf{J}}=\hat{\mathbf{l}}+\hat{\mathbf{S}}$，${\hat{J}}^2={\hat{l}}^2+{\hat{S}}^2+2\hat{\mathbf{l}}\cdot \hat{\mathbf{S}}$（p183，式 (8-101)）
  • $j=l\pm \frac{1}{2}$，$m_j=m_l\pm \frac{1}{2}$（p184，式 (8-102)）

• 基础知识点：扫8-3-1🟡

• 常考题型：升降算符加正交归一求 C-G（例 8-1）：扫8-3-2🟡 蓝8-12🟡；L–S 耦合能级与简并、原子组态：蓝8-15🟡 蓝8-22🟡

• 延伸考法：

  • $2\hat{\mathbf{l}}\cdot \hat{\mathbf{S}}$ 在耦合基上的值、$j=l\pm \frac{1}{2}$（扫8-3-3(5)）：扫8-3-3🟡
  • 跨节·由耦合基算 Landé 因子：扫8-5-2🟡

5. 两电子自旋：三重态、单态与 Bell 基

考什么：两个 $s=\frac{1}{2}$ 耦合成 $s=1$（三重态，交换对称）和 $s=0$（单态，交换反对称）；用无耦合基写出四个态（$|10⟩$ 两项同号，$|00⟩$ 带负号）；${\hat{S}}_{1z}$ 把 $|10⟩$、$|00⟩$ 混在一起；Bell 基中 ${\psi }^{\pm }$ 就是 $|10⟩$、$|00⟩$，${\phi }^{\pm }$ 不是 ${\hat{S}}_z$ 本征态；不能写成直积就是纠缠。

• 必背公式：

  • $\hat{\mathbf{S}}={\hat{\mathbf{S}}}_1+{\hat{\mathbf{S}}}_2$（p182，式 (8-92)）；$[{\hat{S}}_x,{\hat{S}}_y]=i\hslash {\hat{S}}_z$ 等（式 (8-93)）；$[{\hat{S}}^2,{\hat{S}}_i]=0$（p183，式 (8-94)）
  • $|s{s}_z⟩={\sum }_{s_{1z}+s_{2z}=s_z}{C}_{s_{1z}{s}_{2z}}|s_{1z}{s}_{2z}⟩$（p183，式 (8-96)）
  • $s=1$：$|11⟩,|10⟩,|1,-1⟩$（三重态）；$s=0$：$|00⟩$（单态）（p183，式 (8-98)(8-99)）
  • $|11⟩=\frac{1}{2}\frac{1}{2}⟩$，$|10⟩=\sqrt{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}⟩+-\frac{1}{2},\frac{1}{2}⟩)$，$|1,-1⟩=-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}⟩$，$|00⟩=\sqrt{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}⟩--\frac{1}{2},\frac{1}{2}⟩)$（p183，式 (8-100)）
  • 三重态 ${\hat{S}}^2=2{\hslash }^2$，${\hat{S}}_z=\hslash ,0,-\hslash$，交换对称；单态 ${\hat{S}}^2=0$，${\hat{S}}_z=0$，交换反对称（p183 正文）
  • $|{\phi }^{\pm }{⟩}_{12}=\sqrt{\frac{1}{2}}(|00{⟩}_{12}\pm |11{⟩}_{12})$，$|{\psi }^{\pm }{⟩}_{12}=\sqrt{\frac{1}{2}}(|01{⟩}_{12}\pm |10{⟩}_{12})$，$|0⟩$ 朝上、$|1⟩$ 朝下（p184，式 (8-103)）
  • 纠缠：不能写成 $(a|0{⟩}_1+b|1{⟩}_1)\otimes (c|0{⟩}_2+d|1{⟩}_2)$（p184，式 (8-104)）
  • $P_{12}=\frac{1}{2}(1+{\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2)$，$({\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2{)}^2=3-2{\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2$，$P_{12}^2=1$（p188，习题8-3）

• 基础知识点：扫8-3-1🟡

• 常考题型：C-G 与 ${\hat{S}}_{1z}$、耦合基上的算符、单态上自旋–轨道无贡献：扫8-3-3🟡 蓝8-12🟡 蓝8-13🟡 蓝8-17🟡 蓝8-20🟡 蓝8-25🟡；Bell 基与纠缠：扫8-3-4🟡；自旋交换算符：扫8-2-2🟡 蓝8-3🟡；两自旋耦合与 $H$：强39×1；$V_0({\sigma }_{1x}{\sigma }_{2y}-{\sigma }_{1y}{\sigma }_{2x})$：强40×1；自旋相互作用与翻转概率：强44×1

• 延伸考法：

  • 跨章·全同粒子交换对称（自旋单态配对称空间波函数，三重态配反对称）：题23🟢 题24🟢
  • 三自旋相互作用能级：强43×1
  • 跨章·电子偶素基态自旋交换能差（微扰）：强66×0

6. 自旋磁矩与磁场中的进动

考什么：${\mathbf{\mu }}_s=\frac{e}{m_{e}c}\hat{\mathbf{S}}$（$e<0$），系数是轨道的 2 倍，$g=-2$；磁场沿 $z$ 时 $\hat{H}=\hslash \omega {\sigma }_z$，两个分量各乘相位 $e^{\mp i\omega t}$；初态 $|{\uparrow }_x⟩$ 时 $S_z$ 概率不变、$S_x$、$S_y$ 概率以 $\omega$ 振荡；变式：磁场沿 $x$、加旋转场共振翻转。

• 必背公式：

  • ${\mathbf{\mu }}_s=\frac{e}{m_{e}c}\hat{\mathbf{S}}$（$e<0$）；轨道 ${\mathbf{\mu }}_l=\frac{e}{2m_{e}c}\hat{\mathbf{l}}$（p185，式 (8-105)）
  • ${\mu }_{s_z}=\frac{e}{m_{e}c}{m}_s\hslash =\pm \frac{e\hslash }{2m_{e}c}$（$m_s=\pm \frac{1}{2}$）（式 (8-106)）；以 $|e|/(2m_{e}c)$ 为单位 $g=-2$（p185）
  • ${\mu }_B=\frac{|e|\hslash }{2m_{e}c}$（式 (8-107)）；${\mathbf{\mu }}_s=-\frac{2}{\hslash }{\mu }_B\hat{\mathbf{S}}$（p185，式 (8-108)）
  • $\hat{H}=-{\mathbf{\mu }}_s\cdot \mathbf{B}=-\frac{e}{m_{e}c}\hat{\mathbf{S}}\cdot \mathbf{B}$（p185，式 (8-109)）
  • $\mathbf{B}=(0,0,B)$：$\hat{H}=-\frac{e\hslash B}{2m_{e}c}{\sigma }_z=\hslash \omega {\sigma }_z$（p185，式 (8-110)），$\omega =\frac{|e|B}{2m_{e}c}$（p186）
  • ${\psi }_1=C_1{e}^{-i\omega t}$，${\psi }_2=C_2{e}^{i\omega t}$（p186，式 (8-114)）
  • $|\psi (0)⟩=|{\uparrow }_x⟩$：$|\psi (t)⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}{e}^{-i\omega t}\\ e^{i\omega t}\end{array}\right)$（p186，式 (8-115)–(8-117)）
  • $P({\uparrow }_x)={\cos }^2\omega t$，$P({\downarrow }_x)={\sin }^2\omega t$，$P({\uparrow }_y)={\cos }^2(\omega t-\frac{\pi }{4})$，$P({\downarrow }_y)={\sin }^2(\omega t-\frac{\pi }{4})$，$P({\uparrow }_z)=P({\downarrow }_z)=\frac{1}{2}$（p186，式 (8-118)）

• 基础知识点：扫8-4-1🟡

• 常考题型：$z$ 向磁场一般初态、$x$ 向磁场、旋转场共振反向、$d\mathbf{\mu }/dt$：扫8-4-2🟡 蓝8-8🟡 蓝8-9🟡 蓝8-10🟡 蓝8-18🟡 蓝8-19🟡；电子自旋共振：强38×0；$B_x+B_z$ 自由自旋本征：强41×1；旋转磁场波函数：强42×1；$H\propto 3{\sigma }_z+4{\sigma }_x$ 本征与含时：强47×0

• 延伸考法：

  • 跨章·两态体系的时间演化：题40🟢
  • 阱中分区磁场微扰基态（跨章微扰）：强46×0

7. Zeeman 效应：正常、强场、反常

考什么：不计自旋，附加能 $\propto m$，$2l+1$ 条（奇数），正常 Zeeman；计入自旋、强场丢掉自旋–轨道项，附加能 $\propto m+2m_s$，用 $(m,m_s)$ 标记，只是整体平移；弱场保留自旋–轨道项，${\hat{J}}^2$ 不再守恒，用 $m_j{g}_j$，$2j+1$ 为偶数，反常 Zeeman。$\mu$ 在本节是电子质量。

• 必背公式：

  • $\hat{H}=\frac{1}{2\mu }(\hat{\mathbf{p}}-\frac{e}{c}\mathbf{A}{)}^2-\frac{Z{e}^2}{r}$（p187，式 (8-119)）
  • $\mathbf{A}=\frac{1}{2}\mathbf{B}\times \mathbf{r}$，略去 $B^2$：$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2\mu }-\frac{Z{e}^2}{r}-\frac{eB}{2\mu c}{\hat{l}}_z$（p187，式 (8-120)）
  • $\Delta E=-\frac{eB\hslash m}{2\mu c}$，$m=0,\pm 1,\dots$，奇数条（p187，式 (8-121)）
  • $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2\mu }-\frac{Z{e}^2}{r}-\frac{eB}{2\mu c}({\hat{l}}_z+2{\hat{S}}_z)+f(r)\hat{\mathbf{S}}\cdot \hat{\mathbf{l}}$（p187，式 (8-122)）
  • 强场：$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2\mu }-\frac{Z{e}^2}{r}-\frac{eB}{2\mu c}({\hat{l}}_z+2{\hat{S}}_z)$（式 (8-123)）；$\psi ={\psi }_{nlm}(r,\theta ,\phi ){\chi }_{m_s}(s_z)$（p187，式 (8-124)）
  • $E=E_n-\frac{eB\hslash }{2\mu c}(m+2m_s)=E_{nm}\mp \Delta E^{\prime }$，$\Delta E^{\prime }=\frac{eB\hslash }{2\mu c}$（p187，式 (8-125)）
  • 弱场：$\Delta E=-\frac{eB\hslash }{2\mu c}{m}_j{g}_j$，$m_j=m\pm \frac{1}{2}$（p188，式 (8-126)）
  • $g_j=1+\frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)}$（p188，式 (8-127)）
  • $s=\frac{1}{2}$ 代入 (8-127)：$j=l+\frac{1}{2}$ 时 $g_j=\frac{2l+2}{2l+1}$，$j=l-\frac{1}{2}$ 时 $g_j=\frac{2l}{2l+1}$

• 基础知识点：扫8-5-1🟡

• 常考题型：同一 $l=1$ 能级在不计自旋、强场、弱场下的分裂：扫8-5-2🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·正常 Zeeman（第7章）：扫7-5-1🟡 扫7-5-2🟡
  • 跨章·${\hat{l}}_z$ 型微扰（二维谐振子加弱磁场）：题15⬜
  • 自旋–轨道项在单态上为 0：扫8-3-3🟡；L–S 耦合能级（$l=2,s=1$）：蓝8-15🟡

---

试版 · 2026-10-08 · 2026-10-15 挂小蓝书 lb-8-1…25。题源：扫盲 jc-8-，小蓝书 lb-8-。同一题可能出现在两个模型下（如 扫8-2-1、扫8-3-1、扫8-3-3）。C-G 系数按书上 (8-91) 的符号。2026-10-30 挂强化37–48（自旋A组）。2026-11-01 交叉挂强化66（电子偶素自旋交换，主页在 zsw-9）。