806 量子力学真题 · 2024 年

大连理工大学 2024 年招收攻读硕士学位研究生入学考试 · 科目 806 量子力学 · 180 分钟 · 满分 150 分 原题转录（真题册照片 p5–6），只挂题干。

一、简答题

简答 1 · 德布罗意波 · ⬜ 未测

简述德布罗意波的物理意义。已知一粒子的质量为 $m$，速度为 $v$，求出该粒子的德布罗意波长。

简答 2 · 波函数与不确定度 · ⬜ 未测

一粒子的波函数为 $\psi (x)=A{e}^{-\alpha x^2/2}$，若使 $\alpha$ 不断增大，则该粒子的动量不确定度如何变化？若一自由粒子 $\psi (x)=A{e}^{ikx}$，求出粒子动量为多少？

简答 3 · 厄米算符组合成幺正 · ⬜ 未测

若 $\hat{A}$、$\hat{B}$ 为厄米算符，使得 $\hat{A}+i\hat{B}$ 为幺正算符，$\hat{A}$、$\hat{B}$ 需满足什么关系？

简答 4 · 表象变换矩阵 · ⬜ 未测

$\hat{A}$ 在 $\hat{B}$ 表象下的本征函数为

$${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$

则由 $\hat{B}$ 表象到 $\hat{A}$ 表象的变换矩阵为？

简答 5 · 分波法与 Born 近似 · ⬜ 未测

说明分波法、Born 近似法的适用条件。

简答 6 · 谐振子能量 · ⬜ 未测

一维线性谐振子的能量为多少？

二、计算题

计算 1 · 海森堡绘景谐振子 · ⬜ 未测

一维线性谐振子处于海森堡绘景中。设初始时刻

$${\hat{X}}_H(0)=\hat{x},{\hat{P}}_H(0)=\hat{p}$$

求 ${\hat{X}}_H(t)$、${\hat{P}}_H(t)$ 以及 $[\hat{X}(0),\hat{X}(t)]$ 的对易关系。

计算 2 · 二能级矩阵演化 · ⬜ 未测

$$\hat{H}=\left(\begin{array}{cc}h& g\\ g& h\end{array}\right)$$

$t=0$ 时刻波函数

$$\psi (0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$

求 $\psi (t)$？

三、计算题

计算 1 · 共同本征态 · ⬜ 未测

$$\hat{H}=E_0\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right),\hat{A}=a\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$$

(1) 求 $\hat{A}$ 的本征值，并证明 $\hat{A}$ 为守恒量。 (2) 求 $\hat{A}$ 与 $\hat{H}$ 的共同本征态。

四、计算题

计算 1 · 平移算符 · ⬜ 未测

(1) 写出坐标平移算符的具体表达式，并证明

$$\hat{T}(a)\hat{x}{\hat{T}}^{-1}(a)=\hat{x}+a\hat{I}$$

（$a$ 为平移标量）。

(2) 求

$$e^{-i{\hat{p}}_{x}a/\hslash }\hat{x}{e}^{i{\hat{p}}_{x}a/\hslash }$$

提示：考虑 $e^{-\hat{A}}\hat{B}{e}^{\hat{A}}$ 的展开。

计算 2 · 任意方向自旋分量 · ⬜ 未测

$$\mathbf{n}=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$$

(1) 求 ${\hat{S}}_n=\hat{\mathbf{S}}\cdot \mathbf{n}$ 的本征值与本征函数。 (2) 该本征态下，求 $\Delta S_x$、$\Delta S_y$，若二者相等（自旋 $x$ 方向与 $y$ 方向的不确定性相等），求此时 $\theta ,\phi$ 可能的取值。

计算 3 · 3×3 矩阵微扰 · ⬜ 未测

微扰计算：

$$\hat{H}=\hslash \left(\begin{array}{ccc}{\epsilon }_1& 0& 0\\ 0& {\epsilon }_2& 0\\ 0& 0& {\epsilon }_3\end{array}\right),{\hat{H}}^{\prime }=\lambda \left(\begin{array}{ccc}0& 0& a_1^{\ast }\\ 0& 0& a_2^{\ast }\\ a_1& a_2& a_3\end{array}\right)$$

$a_1,a_2$ 为复数，$a_3,\lambda$ 为实数，$a_1^{\ast },a_2^{\ast }$ 为复共轭。

(1) ${\epsilon }_1<{\epsilon }_2<{\epsilon }_3$，能量一级近似。 (2) 当 ${\epsilon }_1<{\epsilon }_2={\epsilon }_3$ 时，求能量的一阶近似。

计算 4 · 电磁场规范与连续性方程 · ⬜ 未测

$$\hat{H}=\frac{1}{2m}{\left(\hat{\mathbf{p}}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)}^2+e\varphi ,\hat{\mathbf{p}}=-i\hslash \nabla$$

$\varphi$ 为标势。

(1) 若 $\varphi$ 为标势、$\mathbf{A}$ 为矢势，则为什么对称性？ (2) 题目给出

$$\mathbf{j}=\frac{\hslash }{2mi}({\psi }^{\ast }\nabla \psi -\psi \nabla {\psi }^{\ast })-\frac{e}{mc}\mathbf{A}|\psi {|}^2$$

若 $\psi (\mathbf{r})$ 为 $\hat{H}$ 的本征函数，证明

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}=0,\rho =|\psi {|}^2$$

(3) 取 $\mathbf{A}=(-By,0,0)$，不考虑 $z$ 方向，求出本征值。