第3章解析函数的幂级数展开

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§3.2 幂级数

§3.2 例1 · $\sum z^{n}$ 的收敛半径 · 🟢（懂）

求幂级数 $\sum z^{n} = 1 + z + z^{2} + \dots + z^{n} + \dots$ 的收敛半径。

记忆点（式 3.2-6）： $\sum z^{n} = 1 + z + z^{2} + \dots = \frac{1}{1 - z} (∣ z ∣ < 1)$

§3.3 泰勒级数展开

§3.3 例1 · $\frac{1}{1 - z}$ 、 $\frac{1}{1 + z}$ · 🟢（懂）

分别将函数 $f (z) = \frac{1}{1 - z}$ 及 $f (z) = \frac{1}{1 + z}$ 在 $z = 0$ 点展开成泰勒级数。

§3.3 例2 · $e^{z}$ 、 $cos z$ 、 $sin z$ · 🟢（懂）

分别将 $f (z) = e^{z}, cos z, sin z$ 在 $z = 0$ 点展开成泰勒级数。

记忆点（式 3.3-9/10/11）： $e^{z} = \sum \frac{z ^{n}}{n !}, cos z = \sum \frac{( - 1 ) ^{n} z ^{2 n}}{( 2 n )!}, sin z = \sum \frac{( - 1 ) ^{n} z ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$ ，均 $∣ z ∣ < \infty$

§3.3 例3 · $\frac{z}{1 + z}$ 在 $∣ z - 1∣ < 2$ · 🟢（懂）

将函数 $f (z) = \frac{z}{1 + z}$ 在 $∣ z - 1∣ < 2$ 的区域内展开成泰勒级数。

§3.3 例4 · $\frac{1}{( 1 + z ) ^{2}}$ · 🟢（懂）

将函数 $f (z) = \frac{1}{( 1 + z ) ^{2}}$ 在点 $z = 0$ 展开成泰勒级数。

§3.4 洛朗级数展开

§3.4 例1 · $\frac{e ^{z}}{z ^{2}}$ · 🟢（懂）

把函数 $f (z) = \frac{e ^{z}}{z ^{2}}$ 在以 $z = 0$ 为圆心的环形区域 $0 < ∣ z ∣ < \infty$ 内展开成洛朗级数。

§3.4 例2 · $\frac{1}{z ( z - 1 )}$ 两个区域 · 🟢（懂）

把函数 $f (z) = \frac{1}{z ( z - 1 )}$ 分别在如下区域内进行洛朗级数展开：

$0 < ∣ z ∣ < 1$
$1 < ∣ z ∣ < \infty$

§3.4 例3 · $\frac{s i n z}{z}$ · 🟢（懂）

把函数 $f (z) = \frac{s i n z}{z}$ 在 $z = 0$ 的邻域内展开成洛朗级数。

§3.4 例4 · $e^{1/ z}$ · 🟢（懂）

把函数 $f (z) = e^{1/ z}$ 在 $z = 0$ 的邻域内展开成洛朗级数。

§3.4 例5 ★ · $e^{\frac{t}{2} (z - z^{- 1})}$ （贝塞尔母函数） · 🟢（懂）

设 $t$ 为实参数，将函数 $f (z) = e^{\frac{t}{2} (z - z^{- 1})}$ 在 $z = 0$ 的邻域内展开成洛朗级数。

记忆点（打星）： $e^{\frac{t}{2} (z - z^{- 1})} = \sum J_{n} (t) z^{n}$ 是贝塞尔函数的母函数（生成函数）（3.4-12）；级数 $J_{n} (t) = \sum \frac{( - 1 ) ^{l}}{l ! ( n + l )!} (\frac{t}{2})^{n + 2 l}$ （3.4-10）；积分表示 $J_{n} (t) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} e^{i (t s i n θ - n θ)} d θ$ （3.4-11）。

§3.5 孤立奇点的分类

记忆点（定义）：若 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 不可导，而在 $z_{0}$ 的任意小邻域内除 $z_{0}$ 外处处可导，则 $z_{0}$ 为 $f (z)$ 的孤立奇点；若 $z_{0}$ 无论多小的邻域内总能找到除 $z_{0}$ 以外的不可导点，则为非孤立奇点。

§3.5 例1 · $\frac{1}{s i n z}$ 的奇点 · 🟢（懂）

求函数 $f (z) = \frac{1}{s i n z}$ 的奇点，并判别该奇点的性质。

练习题

练习题 1 · 收敛半径 · 🟢（懂）

计算下列级数的收敛半径。

$\sum \frac{1}{n ^{2}} z^{n}$
$\sum n^{n} z^{n}$
$\sum \frac{n !}{n ^{n}} z^{n}$ 　（已勾）

练习题 2 · $\frac{e ^{z}}{1 - z}$ 泰勒展开 · 🟢（懂）（已勾）

在 $∣ z ∣ < 1$ 的圆内将函数 $f (z) = \frac{e ^{z}}{1 - z}$ 展开成泰勒级数。

练习题 3 · 洛朗展开 · 🟢（懂）

将下列函数在指定的区域内展开成洛朗级数。

$\frac{1}{( z - 1 ) ( z - 2 )}$ ： $∣ z ∣ < 1$ ； $1 < ∣ z ∣ < 2$ ； $2 < ∣ z ∣ < \infty$
$\frac{z + 1}{z ^{2} ( z - 1 )}$ ： $0 < ∣ z ∣ < 1$ ； $1 < ∣ z ∣ < \infty$ 　（已勾）
$\frac{e ^{z}}{z ( z ^{2} + 1 )}$ ： $0 < ∣ z ∣ < 1$ 　（已勾）

练习题 4 · 孤立奇点类型 · ⬜ 未测 · 留到下一章

下一章数学回来再做。

确定下列函数在有界区域内的孤立奇点，并指出奇点的类型（对于极点，要指出它的阶）。

$\frac{z - 1}{z ( z ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$\frac{1 - c o s z}{z ^{3}}$
$\frac{1}{( z ^{2} + i ) ^{2}}$
$\frac{e ^{z}}{e ^{z} - 1}$

第3章 解析函数的幂级数展开 ​

§3.2 幂级数 ​

§3.2 例1 · ∑zn 的收敛半径 · 🟢（懂） ​

§3.3 泰勒级数展开 ​

§3.3 例1 · 1−z1​、1+z1​ · 🟢（懂） ​

§3.3 例2 · ez、cosz、sinz · 🟢（懂） ​

§3.3 例3 · 1+zz​ 在 ∣z−1∣<2 · 🟢（懂） ​

§3.3 例4 · (1+z)21​ · 🟢（懂） ​

§3.4 洛朗级数展开 ​

§3.4 例1 · z2ez​ · 🟢（懂） ​

§3.4 例2 · z(z−1)1​ 两个区域 · 🟢（懂） ​

§3.4 例3 · zsinz​ · 🟢（懂） ​

§3.4 例4 · e1/z · 🟢（懂） ​

§3.4 例5 ★ · e2t​(z−z−1)（贝塞尔母函数） · 🟢（懂） ​

§3.5 孤立奇点的分类 ​

§3.5 例1 · sinz1​ 的奇点 · 🟢（懂） ​

练习题 ​

练习题 1 · 收敛半径 · 🟢（懂） ​

练习题 2 · 1−zez​ 泰勒展开 · 🟢（懂）（已勾） ​

练习题 3 · 洛朗展开 · 🟢（懂） ​

练习题 4 · 孤立奇点类型 · ⬜ 未测 · 留到下一章 ​