知识网·第5章 态矢量和力学量算符的表象变换（试版）

把站上和第5章有关的题按模型归到一起：小蓝书（蓝）、强化班（强）、量力题 1–61（题）、书本扫盲（扫）。每个模型分三层：基础知识点 → 常考题型 → 延伸考法（极限、变式、跨章）。题号旁的色标从 status.json 自动读取：⬜ 未测 · 🟡 未复习/模糊/不会 · 🟢 懂 · 🔴 不行。点题号直接跳到那道题。

1. 态的矢量表示与表象变换

考什么：选力学量完全集的共同本征函数当基（正交归一 + 完备），态的展开系数 $a_k=({\psi }_k,\psi )$ 排成列矢量；换基时 $a^{\prime }=\hat{S}a$，$S_{mk}=({\psi }_m^{\prime },{\psi }_k)$（行新基、列旧基），$\hat{S}$ 只由两组基决定、对任意态通用，且幺正；平面转动矩阵是它的实数特例。

• 必背公式：

  • $\psi ={\sum }_k{a}_k{\psi }_k$，$a_k=({\psi }_k,\psi )$（p95，式 (5-4)），${\sum }_k|a_k{|}^2=1$
  • 二维转动 $S=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$（p97，式 (5-20)）
  • $a^{\prime }=Sa$，$S_{mk}=({\psi }_m^{\prime },{\psi }_k)$（p97，式 (5-22)(5-23)）
  • $S^{†}S=S{S}^{†}=I$（p98，式 (5-28)）

• 基础知识点：扫5-1-1🟡 扫5-1-2🟡

• 常考题型：幺正变换下的矩阵元与关系式：蓝4-21🟡；${\hat{A}}^2={\hat{B}}^2=1$ 反对易的矩阵与幺正变换：强51×1；$l=1$ 的 $({\hat{L}}^2,{\hat{L}}_z)\to ({\hat{L}}^2,{\hat{L}}_x)$：强52×1

• 延伸考法：极限 $\theta =0$ 退回单位矩阵（在 扫5-1-2 小问里）；跨章·幺正算符本征值模为 1：蓝4-23🟡

2. 力学量的矩阵表示与表象变换

考什么：$L_{ml}=({\psi }_m,\hat{L}{\psi }_l)$，$b=\hat{L}a$（同一表象）；自身表象里对角、对角元是本征值；${\hat{L}}^{\prime }=\hat{S}\hat{L}{\hat{S}}^{†}=\hat{S}\hat{L}{\hat{S}}^{-1}$，本征值和迹不变。

• 必背公式：

  • $L_{ml}=({\psi }_m,\hat{L}{\psi }_l)$（p99，式 (5-33)）；厄米算符 $L_{ml}=L_{lm\ast }$；自身表象 $L_{ml}=L_m{\delta }_{ml}$
  • $\hat{L}$ 的本征矢在 $Q$ 表象 $a_{m(k)}=S_{km}^{\ast }$（p99，式 (5-40)）
  • $L^{\prime }=SL{S}^{†}=SL{S}^{-1}$（p100，式 (5-43)）

• 基础知识点：扫5-2-1🟡 扫5-2-2🟡

• 常考题型：给定基矢写矩阵元、左矢与内积：题42🟡

• 延伸考法：谱分解（自身表象的算符写法）：题44⬜ 蓝4-20🟡

3. 量子力学的矩阵形式

考什么：$\bar{L}=a^{†}\hat{L}a$，自身表象里 $\sum |a_m{|}^2{L}_m$；本征值方程 $\sum (L_{mn}-L{\delta }_{mn})a_n=0$，久期方程 $\det (L_{mn}-L{\delta }_{mn})=0$，$N$ 维厄米矩阵 $N$ 个实根；$i\hslash \dot{a}=\hat{H}a$，能量表象里 $a_n(t)=a_n(0)e^{-i{E}_{n}t/\hslash }$。

• 必背公式：

  • $\bar{L}=a^{†}La={\sum }_{m,n}{a}_{m\ast }{L}_{mn}{a}_n$（p100，式 (5-48)）；自身表象 $\bar{L}={\sum }_m|a_m{|}^2{L}_m$（p101，式 (5-50)）
  • ${\sum }_n(L_{mn}-\lambda {\delta }_{mn})a_n=0$，$\det |L_{mn}-\lambda {\delta }_{mn}|=0$（p101，式 (5-54)(5-55)）
  • $i\hslash \frac{da}{dt}=Ha$（p102，式 (5-63)）；能量表象 $H_{mn}=E_n{\delta }_{mn}$（p102–103，式 (5-65)）

• 基础知识点：扫5-3-1🟡 扫5-3-3🟢

• 常考题型：

  • 二能级 / 三能级矩阵：本征值、本征态、含时演化：扫5-4-4🟡 题40🟢 题43🟡 题59🟡
  • 二能级混合与振荡（中微子振荡，$P={\sin }^{2}2\theta {\sin }^2\frac{(E_2-E_1)t}{2\hslash }$）：强22×1；中子–反中子振荡：强53×1
  • 矩阵给出的 $H$、$A$、$B$：测值与几率：题60🟡

• 延伸考法：

  • 极限：耦合 $b=0$ 时各分量退耦（扫5-4-4 小问）；
  • 跨章·测量（连续测量）：题53🟡

4. 谐振子的矩阵

考什么：能量表象里 $x_{mn}$、$p_{mn}$ 只有 $m=n\pm 1$ 非零，$x$ 实对称、$p$ 纯虚厄米，$H$ 对角 $(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$；用矩阵验 $[x,p]=i\hslash$，读出 $\overline{x^2}$、$\overline{p^2}$。

• 必背公式：

  • $x_{mn}=\frac{1}{\alpha }[\sqrt{\frac{n}{2}}{\delta }_{m,n-1}+\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\delta }_{m,n+1}]$（p103 练习）
  • $p_{mn}=i\hslash \alpha [-\sqrt{\frac{n}{2}}{\delta }_{m,n-1}+\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\delta }_{m,n+1}]$（p103 练习）
  • $H_{mn}=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega {\delta }_{mn}$（p103 练习）

• 基础知识点：扫5-3-2🟢 扫5-3-3🟢

• 常考题型：

  • $x$、$p$ 矩阵与 $H$ 对角：题56🟡
  • 用矩阵元算平均值、$(\Delta x{)}^2(\Delta p{)}^2$：蓝5-6🟢 蓝5-7🟢

• 延伸考法：

  • 变式：两能级叠加时 $⟨p⟩$ 的最大值：题57🟡
  • 相干态（$a$ 的本征态、$e^{\alpha a^{+}-{\alpha }^{\ast }a}|0⟩$、$\Delta x\Delta p=\frac{\hslash }{2}$）：题58⬜ 强23×1 强24×1

5. Dirac 符号、完备性与投影

考什么：ket、bra、$⟨\phi |\psi {⟩}^{\ast }=⟨\psi |\phi ⟩$；离散谱 ${\delta }_{kl}$、连续谱 $\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$；${\sum }_k|k⟩⟨k|=I$，$P_k=|k⟩⟨k|$ 是投影算符；$-|R⟩$ 与 $|R⟩$ 是同一态；$S_{k^{\prime }k}=⟨k^{\prime }|k⟩$；三种描述等价。

• 必背公式：

  • $⟨\phi |\psi {⟩}^{\ast }=⟨\psi |\phi ⟩$；$⟨k|l⟩={\delta }_{kl}$，$⟨x^{\prime }|x^{{}^{\prime \prime }}⟩=\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$，$⟨p^{\prime }|p^{{}^{\prime \prime }}⟩=\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }})$（p105，式 (5-68)–(5-71)）
  • ${\sum }_k|k⟩⟨k|=I$（p106，式 (5-78)）；$P_k=|k⟩⟨k|$，$P_k|\psi ⟩=a_k|k⟩$（式 (5-79)(5-80)）；$\int |x^{\prime }⟩⟨x^{\prime }|d{x}^{\prime }=I$（式 (5-81)）
  • $L_{kl}=⟨k|\hat{L}|l⟩$（p107，式 (5-87)）；$\bar{L}=⟨\psi |\hat{L}|\psi ⟩$（式 (5-90)）
  • $S_{k^{\prime }k}=⟨k^{\prime }|k⟩$（p108–109，式 (5-100)）；$L^{\prime }=SL{S}^{†}$（p109，式 (5-107)）

• 基础知识点：扫5-4-1🟡

• 常考题型：投影算符等幂、本征值：题41🟡；谱分解：题44⬜ 蓝4-20🟡

6. 坐标表象、动量表象与 Fourier 变换

考什么：$⟨x|p^{\prime }⟩=(2\pi \hslash {)}^{-1/2}{e}^{i{p}^{\prime }x/\hslash }$、$⟨p|x^{\prime }⟩$ 多一个负号；Fourier 变换是幺正变换；$⟨x^{\prime }|\hat{p}|x^{{}^{\prime \prime }}⟩=-i\hslash {\partial }_{x^{\prime }}\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$、$⟨p^{\prime }|x|p^{{}^{\prime \prime }}⟩=+i\hslash {\partial }_{p^{\prime }}\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }})$；$x$ 表象、$p$ 表象中 $\hat{H}$ 的矩阵元，$V(x)\to V(i\hslash {\partial }_p)$。

• 必背公式：

  • $⟨x|p^{\prime }⟩=(2\pi \hslash {)}^{-1/2}{e}^{i{p}^{\prime }x/\hslash }$，$⟨p|x^{\prime }⟩=(2\pi \hslash {)}^{-1/2}{e}^{-ip{x}^{\prime }/\hslash }$（p109–110）
  • $\psi (x)=(2\pi \hslash {)}^{-1/2}\int \phi (p)e^{ipx/\hslash }dp$，$\phi (p)=(2\pi \hslash {)}^{-1/2}\int \psi (x)e^{-ipx/\hslash }dx$（p110）
  • $⟨x^{\prime }|\hat{p}|x^{{}^{\prime \prime }}⟩=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x^{\prime }}\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$（p111）；$⟨p^{\prime }|\hat{x}|p^{{}^{\prime \prime }}⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial p^{\prime }}\delta (p^{\prime }-p^{{}^{\prime \prime }})$（p112）
  • $⟨x^{\prime }|\hat{H}|x^{{}^{\prime \prime }}⟩=[-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^{{}^{\prime }2}}+V(x^{\prime })]\delta (x^{\prime }-x^{{}^{\prime \prime }})$（p112–113）

• 基础知识点：扫5-4-2🟢 扫5-4-6🟡

• 常考题型：

  • $x$ 表象、$p$ 表象中 $x$、$p$、$H$ 的矩阵元：蓝5-1🟡 蓝5-2🟢
  • 动量空间求 $⟨x⟩$：题33🟢

• 延伸考法：

  • 跨章·一维定态（动量表象 Schrödinger 方程、δ 势测动量几率）：蓝3-18🟡 题32🟢
  • 跨章·δ 函数 / 动量分布：题54🟡
  • $p$ 表象求解 δ 势阱定态：强49×1
  • 均匀力场中动量空间概率密度：强50×1

7. $|lm⟩$ 上的角动量测值

考什么：${\hat{l}}_z$ 本征态上 $\overline{l_x}=\overline{l_y}=0$；$|lm⟩$ 上 $\overline{l_x^2}=\overline{l_y^2}=\frac{{\hslash }^2}{2}[l(l+1)-m^2]$；$Y_{10}$ 测 $l_x$：$\pm \hslash$ 各 $\frac{1}{2}$，$0$ 的几率为 0。

• 必背公式：

  • $|m⟩$ 态下 $\overline{l_x}=\overline{l_y}=0$（习题5-3）
  • $|lm⟩$ 态下 $\overline{l_x^2}=\overline{l_y^2}=\frac{1}{2}[l(l+1)-m^2]{\hslash }^2$（习题5-4）

• 基础知识点：扫5-4-3🟡

• 常考题型：蓝5-3🟢 蓝5-4🟢 蓝5-5🟡；$\psi \propto e^{-\alpha r}(x+y+2z)$ 测 $L^2,L_z,L_x$：强54×0；$c_1{Y}_{11}+c_2{Y}_{20}$ 测 $L_z,L^2,L_x$：强55×0 强56×1（56 与 55 同题）

• 延伸考法：跨章·球谐函数展开测 $l^2$、$l_z$：蓝4-8🟢 蓝4-15🟢

8. 求和规则与本征态上的平均值

考什么：把对易子夹在能量本征态之间：${\sum }_n(E_n-E_m)|x_{mn}{|}^2=\frac{{\hslash }^2}{2m}$；$\hat{p}\propto [\hat{H},x]$，所以束缚本征态上 $\bar{p}=0$。

• 必背公式：

  • ${\sum }_n(E_n-E_m)|x_{mn}{|}^2=\frac{{\hslash }^2}{2m}$（习题5-9）
  • $[x,\hat{H}]=\frac{i\hslash }{m}\hat{p}\Rightarrow ⟨n|\hat{p}|m⟩=\frac{im}{\hslash }(E_n-E_m)⟨n|x|m⟩$；${\sum }_n(E_n-E_m{)}^2|x_{nm}{|}^2=\frac{{\hslash }^2}{m^2}⟨m|{\hat{p}}^2|m⟩$（强化18）

• 基础知识点：扫5-4-5🟡

• 常考题型：蓝5-8🟢 强18×2

• 延伸考法：跨章·Virial 定理（同一套「对易子夹本征态」）：题45⬜

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试版 · 2026-10-08 · 强化班第5章的题：强18、强22、强23、强24（第二讲 力学量算符 A组，10/9 挂）。同一题可能出现在两个模型下（如 题44、蓝4-20）。2026-11-01 挂强化49–56（表象变换 A组）：按模型进 §1/§3/§6/§7，不按讲次流水号堆。