806 量子力学真题 · 2023 年

大连理工大学 2023 年招收攻读硕士学位研究生入学考试 · 科目 806 量子力学 · 180 分钟 · 满分 150 分 原题转录（真题册照片 p7–8），只挂题干。

一、简答题

简答 1 · 物质波与衍射 · ⬜ 未测

写出微观粒子物质波的能量和动量表达式并说明物理意义。Davisson-Germer 晶体衍射实验证明了电子的波动性；问：若考虑单缝衍射，增加入射电子的动能，衍射条纹如何变化？

简答 2 · 薛定谔/海森堡绘景 · ⬜ 未测

简述量子力学中薛定谔绘景和海森堡绘景的区别，写出两种绘景下描述系统演化的动力学方程的具体形式。

简答 3 · H₂ 分子振动的光子能量 · ⬜ 未测

H₂ 中，两个原子间的振动可以由谐振子等效描述，其有效弹性系数为 $K=1.13\times 10^{3}N/m$。已知单个原子 $m=1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$。当此谐振子由其激发态跃迁到相邻的下一个激发态时，所发射的光子能量和波长？（$c=3\times 10^{8}m/s$，$\hslash =1.05\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$）

简答 4 · 双电子总自旋 · ⬜ 未测

某系统由两电子组成，则该系统总自旋 $\hat{S}$ 的平方的本征值有哪些？其 $z$ 方向的分量 ${\hat{S}}_z$ 的本征值有哪些？

简答 5 · 朗道能级 · ⬜ 未测

将自由电子置于外磁场后产生的分立能级被称为什么？每个能级简并度为多少？若通过调控将磁场强度增强一倍，则能级间隔会如何变化？（定量描述）

简答 6 · 微分散射截面与 Born 近似 · ⬜ 未测

微分散射截面 $\sigma (\theta )$ 物理含义？写出它与散射振幅 $f(\theta )$ 的关系。Born 近似的条件？

二、计算题

计算 1 · 二能级表象变换 · ⬜ 未测

已知某二能级系统的能量本征值为 $E_1,E_2$，与之对应的正交归一化波函数分别记作 $|1⟩$ 和 $|2⟩$。若算符 $A$ 在表象 $\{|1⟩,|2⟩\}$ 中的矩阵表示为

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

求算符 $A$ 在表象 $\{|+⟩,|-⟩\}$ 中的矩阵表示，其中

$$|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1⟩+|2⟩),|-⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1⟩-|2⟩)$$

计算 2 · 磁场中速度算符 · ⬜ 未测

考虑一个质量为 $m$、电荷为 $q$ 的粒子在磁场 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ 中运动，其

$$\hat{H}=\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}-q\mathbf{A}{)}^2$$

(1) 定义算符

$$\hat{\mathbf{V}}=\frac{d\hat{\mathbf{r}}}{dt}=\frac{1}{i\hslash }[\hat{\mathbf{r}},\hat{H}]$$

求 $\hat{\mathbf{V}}$ 的具体表达式和它的各分量之间的对易关系。

(2) 求

$$\frac{d\hat{\mathbf{V}}}{dt}=\frac{1}{i\hslash }[\hat{\mathbf{V}},\hat{H}]$$

结果用 $\hat{\mathbf{V}}$ 和 $\mathbf{B}$ 表示。

计算 3 · 泡利矩阵运算 · ⬜ 未测

已知

$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

$|{\uparrow }_x⟩,|{\downarrow }_x⟩$ 为 ${\sigma }_x$ 的归一化本征矢，本征值分别为 $+1,-1$。

(1) 计算 ${\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+{\sigma }_z^2$。 (2) 定义新算符 $\hat{\delta }=({\sigma }_x+2{\sigma }_y)/2$，计算 $⟨{\uparrow }_x|{\hat{\delta }}^{†}\hat{\delta }|{\uparrow }_x⟩$ 和 $\hat{\delta }|{\downarrow }_x⟩$。

三、综合题

综合 1 · Hellmann-Feynman 定理 · ⬜ 未测

设系统处于归一化能量本征态 $|{\psi }_n⟩$，满足不含时薛定谔方程 $\hat{H}|{\psi }_n⟩=E_n|{\psi }_n⟩$。

(1) 若 $q$ 为 $\hat{H}$ 中的一个参数，证明

$$\frac{\partial E_n}{\partial q}=⟨{\psi }_n|\frac{\partial \hat{H}}{\partial q}|{\psi }_n⟩$$

(2) 若该系统是质量为 $m$、频率为 $\omega$ 的一维谐振子，则其能量本征值 $E_n$ 是？假设 $|n⟩$ 为与 $E_n$ 相应的能量本征矢，利用 (1) 中已证明的公式，计算动能的平均值和势能的平均值。

综合 2 · 宇称算符 · ⬜ 未测

定义线性算符：$\hat{P}\psi (x)=\psi (-x)$，$(\hat{P}\psi )(\mathbf{r})=\psi (-\mathbf{r})$。其中 $\psi$ 为任意波函数，$x$ 为坐标。

(1) 证明 $\hat{P}$ 既是厄米算符又是幺正算符。 (2) 求 $\hat{P}$ 的所有本征值。 (3) 对 $\mathrm{H}$ 原子系统而言，算符 $\hat{P}$ 是否是对称性算符？并叙述理由。

四、计算题

计算 1 · 角动量对易与不确定关系 · ⬜ 未测

(1) 写出角动量算符各分量 ${\hat{J}}_x,{\hat{J}}_y,{\hat{J}}_z$ 的对易关系。 (2) 将 $\{{\hat{J}}^2,{\hat{J}}_z\}$ 的共同本征矢记为 $|j,m⟩$，计算 $⟨j,m|{\hat{J}}_x|j,m⟩$。 (3) 计算 $⟨j,m|{\hat{J}}_y^2|j,m⟩$。 (4) 验证该态下 $\Delta J_x\Delta J_y$ 满足海森堡不确定性关系，并且当 $j$ 和 $m$ 的取值满足什么关系，不确定性关系能否取等号。

五、综合题

综合 1 · 二维谐振子 + λxy 微扰 · ⬜ 未测

对二维各向同性的谐振子

$${\hat{H}}_0=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)+\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2)$$

加上微扰 ${\hat{H}}^{\prime }=\lambda xy$，其中 $\lambda$ 为实常数。

(1) 在一阶微扰近似下，求未微扰第一激发能级（$E^{(0)}=2\hslash \omega$）的一阶修正及其分裂。 (2) 精确求解能量本征值，并与 (1) 中求得的近似结果进行比较。