806 量子力学真题 · 2026 年

大连理工大学 2026 年招收攻读硕士学位研究生入学考试 · 科目 806 量子力学 · 180 分钟 · 满分 150 分 原题转录（真题册照片 p1–2），只挂题干。色标同量力区规则。

一、简答题

简答 1 · 量子隧穿效应 · ⬜ 未测

什么是量子隧穿效应？如果 $\hslash$ 变小了，效应会明显吗？

简答 2 · 不确定度积 · ⬜ 未测

已知算符 $\hat{A}={\hat{x}}^2$、$\hat{B}={\hat{L}}_z$，求 $\Delta A\cdot \Delta B$。

简答 3 · δ 势垒透射 · ⬜ 未测

对于势垒 $V(x)=V_0\delta (x)$，是否会发生完全透射？如果势垒变成 $V(x)=-V_0\delta (x)$ 会怎样？请对 $E>0$ 和 $E<0$ 分别讨论。

简答 4 · 厄米/幺正/守恒量判据 · ⬜ 未测

设

$$\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\left(\hat{x}+\frac{i}{m\omega }\hat{p}\right),\hat{A}=e^{i\pi {\hat{a}}^{†}\hat{a}}$$

算符 $\hat{A}$ 是否为厄米算符、幺正算符？是否为守恒量？

简答 5 · 耦合自旋态的散射 · ⬜ 未测

两个电子耦合后的自旋态为

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\uparrow \downarrow ⟩+|\downarrow \uparrow ⟩\right)$$

求散射波函数和微分截面（可设定必要的变量，但需说明）。

二、证明题

证明 1 · 表象变换矩阵 · ⬜ 未测

已知

$${\phi }_1=\sin \frac{\theta }{2}{\psi }_1+\cos \frac{\theta }{2}{\psi }_2,{\phi }_2=\cos \frac{\theta }{2}{\psi }_1-\sin \frac{\theta }{2}{\psi }_2$$

(1) 求从 $\psi$ 表象变换到 $\phi$ 表象的变换矩阵。(2) 在 $\psi$ 表象中，算符 $\left(\begin{array}{cc}0& a\\ a& 0\end{array}\right)$ 变换到 $\phi$ 表象后的形式是什么？

证明 2 · 角动量矢量恒等式 · ⬜ 未测

证明：

$$\hat{P}\times \hat{L}+\hat{L}\times \hat{P}=2i\hslash \hat{P}$$

三、计算题

计算 1 · 半壁无限高势阱 · ⬜ 未测

考虑势场：

$$V(x)=\{\begin{array}{ll}\infty ,& x<0\\ 0,& 0<x<a\\ V_0,& x\ge a\end{array}a>0,V_0>0$$

(1) 当 $V_0$ 取某些特定值时，求束缚态的个数。(2) 若 $x<0$ 区域改为 $V(x)=0$，求反射系数和透射系数。

四、角动量

角动量 1 · 自旋 3/2 矩阵表示 · ⬜ 未测

在 ${\hat{S}}_z$ 表象中，自旋为 $3/2$ 的粒子，算符 ${\hat{S}}_x$ 和 ${\hat{S}}_z$ 的矩阵表示是什么？

角动量 2 · CG 系数 (3/2 ⊗ 1/2) · ⬜ 未测

有两个粒子，自旋分别为 $s_1=3/2$ 和 $s_2=1/2$，求 $|2,-1⟩$ 和 $|1,-1⟩$ 的 Clebsch-Gordan 系数。

五、电磁场中的粒子

电磁场 1 · 矢势+标势的哈密顿量 · ⬜ 未测

设电磁矢势为

$$\mathbf{A}=\frac{B_0}{2}(-y{\mathbf{e}}_x+x{\mathbf{e}}_y)$$

标势为 $\phi =K{z}^2$。(1) 求磁感应强度 $\mathbf{B}$ 与电场 $\mathbf{E}$。(2) 用 $B_0$ 表示哈密顿量。(3) 求在 $x-y$ 平面内的本征函数。

六、自旋演化

自旋演化 1 · 斜磁场中的自旋进动 · ⬜ 未测

自旋磁矩 $\mathbf{\mu }=\gamma \mathbf{S}$ 与磁场 $\mathbf{B}=(0,B_y,B_z)$ 相互作用，初始时刻自旋沿 $z$ 正方向。(1) 写出哈密顿量的表达式。(2) 求 $|\psi (t)⟩$。(3) 求 $t$ 时刻测得自旋为 $|\uparrow {⟩}_z$ 与 $|\downarrow {⟩}_z$ 的概率。(4) 在 $|\psi (t)⟩$ 态下，求 $S_x$ 与 $S_y$ 的平均值。

七、全同粒子与微扰

全同粒子 1 · 双玻色子 + 接触微扰 · ⬜ 未测

两个全同玻色子在势场

$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x\le a\\ \infty ,& x>a\text{ 或 }x<0\end{array}$$

中运动。(1) 求体系的本征函数、本征能量以及第一激发态能量，并指出第一激发态的简并度。(2) 若存在微扰 $H^{\prime }=\lambda \delta (x_1-x_2)$，求基态能量和第一激发态能量的一级近似。

附：积分公式

$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2n}xdx=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}\cdot 2\pi$$