量子力学·基础（书本扫盲）· 第6章

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色标同量力题：⬜ 未测 · 🟡（未复习） · 🟡（模糊） · 🟡（不会） · 🟢 懂 · 🔴 不行。

第6章 对称性与守恒定律

书 p114–138 · 共 7 节 · 2026-10-06 挂；对照原书逐页核对、核定笔误后写入

6.1 守恒量的平均值和几率分布

知识点小结：不显含时间的力学量，平均值变不变只看它和 $\hat{H}$ 对不对易。对易就叫守恒量：任意态下平均值不变，测得各本征值的概率也不变。守恒不等于有确定值；有确定值要看态是不是本征态。好量子数是守恒量的量子数。只有「不是定态，而且这个量又不守恒」时，概率分布和平均值才会随时间变。

jc-6-1-1 · 守恒量：平均值、概率、和「有确定值」的区别 · 🟡

计算（书 p114–116，式 (6-1)–(6-8)；习题 6-1、6-2、6-3、6-4）

(1) $\hat{A}$ 不显含时间。导出 $\frac{d\bar{A}}{dt}=\frac{1}{i\hslash }\overline{[\hat{A},\hat{H}]}$。什么叫守恒量？它保证的是平均值，还是每一次测量的值？若 $\hat{A}$ 显含时间，式子多出哪一项？（式 (6-2)(6-3)，p114）

(2) 证明守恒量取 $A_k$ 的概率也不随时间变。这一步用到了共同本征函数的哪一条？（式 (6-4)–(6-8)）

(3) 经典守恒量和量子守恒量有什么不同？初始处于守恒量本征态，以后怎样？什么叫好量子数？一组都和 $\hat{H}$ 对易、彼此不对易的量，能不能同时有确定值？守恒由什么决定，有没有确定值由什么决定？（p115–116 四条）

(4) 自由粒子的 $\hat{H}$、$\hat{\mathbf{p}}$、$\hat{\mathbf{l}}$ 哪些是守恒量？$\psi =\cos kx$ 上谁有确定值？波包上呢？中心力场里 $\hat{\mathbf{l}}$ 和 $\hat{\mathbf{p}}$ 呢？（p116）

(5) 证明 $[\mathbf{r},\hat{H}]=i\hslash \hat{\mathbf{p}}/m$，从而 $md\bar{\mathbf{r}}/dt=\bar{\mathbf{p}}$。再证 $\frac{d\overline{x^2}}{dt}=\frac{1}{m}\overline{x{p}_x+p_{x}x}$，以及 $-{\hslash }^2\frac{d^2\bar{A}}{d{t}^2}=\overline{[[\hat{A},\hat{H}],\hat{H}]}$。束缚定态下，不显含时间的 $\hat{A}$ 即使不守恒，也有 $d\bar{A}/dt=0$，为什么？（习题 6-1–6-4）

**答案**

(1) 平均值定义 (6-1) 对 $t$ 求导，${\partial }_t\psi =\hat{H}\psi /(i\hslash )$，$\hat{H}$ 厄米把第一项的算符搬回去，得到 (6-2)。$[\hat{A},\hat{H}]=0$ 就叫守恒量，保证任意态下平均值不变；单次测量仍可以是不同本征值。$\hat{A}$ 显含时间时多出 $\overline{\partial \hat{A}/\partial t}$（p114 推导的第三项），这时和 $\hat{H}$ 不对易也可能平均值不变，见 jc-6-5-1(3)。

(2) $[\hat{A},\hat{H}]=0$ 所以有共同本征函数。$C_k=({\psi }_k,\psi )$，${\dot{C}}_k$ 里的 $\hat{H}{\psi }_k=E_k{\psi }_k$ 使两项抵消，$d|C_k{|}^2/dt=0$。用到的是「共同本征函数，而且 $E_k$ 为实」。

(3) 经典守恒量有确定数值；量子守恒量是算符，一般没有确定测值，只有处在它的本征态才有。初态是守恒量本征态，则以后一直是，量子数叫好量子数。彼此不对易就不能同时确定，能级一般简并（见 jc-6-1-2）。守恒只看和 $\hat{H}$ 对不对易，与态无关；有没有确定值只看态。

(4) 自由粒子三个都守恒。$\cos kx$ 是能量本征态，能量有确定值，动量没有（$e^{ikx}$ 和 $e^{-ikx}$ 的叠加）。波包上 $\hat{H}$、$\hat{p}$ 都守恒但都没有确定值。中心力 $[\hat{\mathbf{l}},\hat{H}]=0$，$[\hat{\mathbf{p}},V(r)]\ne =0$，所以角动量守恒、动量不守恒。

(5) $[x,{\hat{p}}^2]=2i\hslash {\hat{p}}_x$，势能与 $x$ 对易，得第一式；再代入 (6-2) 得 Ehrenfest 关系。第二式是把 (6-2) 用于 $x^2$：$[x^2,{\hat{p}}_x]=2i\hslash x$ 要小心顺序，结果是 $x{p}_x+p_{x}x$。再对 (6-2) 求一次导数，$[\hat{A},\hat{H}]$ 也不显含时间，就得到双对易子。定态只有整体相位 $e^{-iEt/\hslash }$，不显含时间的算符平均值与相位无关，所以为零；这不要求 $[\hat{A},\hat{H}]=0$。

jc-6-1-2 · 两个守恒量不对易，能级必简并 · 🟡

证明（习题 6-11，书 p138；对照 p116 第 (3) 条）$\hat{A}$、$\hat{B}$ 都是守恒量，但 $[\hat{A},\hat{B}]\ne =0$。证明能级简并。

**答案**

守恒意味着 $[\hat{A},\hat{H}]=[\hat{B},\hat{H}]=0$。若某个 $E_n$ 无简并，则 $\hat{H}$ 的本征函数自动是 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 的本征函数（无简并本征函数一定是与 $\hat{H}$ 对易的算符的本征函数）。于是 $[\hat{A},\hat{B}]{\psi }_n=0$。每个能级都无简并时，共同本征函数完备，$[\hat{A},\hat{B}]=0$，与题设矛盾。所以至少有一个能级简并。

【原书笔误】 p116 第 (3) 条写「见习题 6-10 题」，应为习题 6-11（6-10 是氘的交换对称性）。

jc-6-1-3 · 守恒量（直接写出） · 🟡

填空（书 p114–115，式 (6-1)–(6-3)）

(1) $\frac{d\bar{A}}{dt}=$ ____。（式 (6-2)）

(2) $\hat{A}$ 是守恒量的条件 ____。（式 (6-3)）

(3) 守恒量在任意态下 ____ 和 ____ 都不随时间变。（p114–115）

**答案**

(1) $\overline{\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}}+\frac{1}{i\hslash }\overline{[\hat{A},\hat{H}]}$。

(2) $\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}=0$ 且 $[\hat{A},\hat{H}]=0$。

(3) 平均值；测值的概率分布。

6.2 对称性和守恒定律

知识点小结：对称性是指运动方程在某个变换下不变，数学上就是这个变换和 $\hat{H}$ 对易。概率守恒还要求变换是幺正的，于是能写成 $e^{i\theta \hat{F}}$，生成元 $\hat{F}$ 厄米，而且就是对应的守恒量。空间平移对动量，时间平移对能量，空间旋转对角动量；分别是空间均匀、时间均匀、空间各向同性。

jc-6-2-1 · 对称性怎样推出守恒量 · 🟡

简答（书 p116–119，式 (6-17)–(6-26)）

(1) 书上说的对称性指什么不变？由 ${\psi }^{\prime }=\hat{U}\psi$ 也满足 Schrödinger 方程，推出什么？概率守恒又要求 $\hat{U}$ 的什么性质？（式 (6-21)(6-23)）

(2) 为什么生成元 $\hat{F}$ 厄米，而且 $[\hat{F},\hat{H}]=0$？（式 (6-24)–(6-26)）

(3) 填对应：空间均匀 → ____ 守恒；时间均匀 → ____ 守恒；空间各向同性 → ____ 守恒。生成元分别是什么？

**答案**

(1) Hamilton 量或运动方程在该变换下不变。比较 $\psi$ 和 $\hat{U}\psi$ 的方程得 $[\hat{U},\hat{H}]=0$。$({\psi }^{\prime },{\psi }^{\prime })=(\psi ,\psi )$ 要求 ${\hat{U}}^{†}\hat{U}=I$，即幺正。

(2) $\hat{U}=e^{i\theta \cdot \hat{F}}$，$\hat{U}{\hat{U}}^{†}=I$ 推出 $\hat{F}={\hat{F}}^{†}$。$\hat{U}$ 与 $\hat{H}$ 对易对任意参数 $\theta$ 成立，展开一次得 $[\hat{F},\hat{H}]=0$。

(3) 动量；能量；角动量。生成元分别是 $\hat{\mathbf{p}}$、$\hat{H}$、$\hat{\mathbf{l}}$。

jc-6-2-2 · 三个连续对称性的算符 · 🟡

推导（书 p119–121，式 (6-27)–(6-43)；习题 6-5）

(1) 平移定义为 $\hat{S}(\Delta x)\psi (x)=\psi (x+\Delta x)$。导出无穷小平移和有限平移 $\hat{S}(x)=e^{ix{\hat{p}}_x/\hslash }$，以及 $[\hat{H},\hat{\mathbf{p}}]=0$。时间平移算符为什么是 $e^{-it\hat{H}/\hslash }$，指数符号和平移相反？（式 (6-28)(6-29)(6-36)）

(2) 绕 $z$ 轴的无穷小旋转，生成元是哪个算符？有限旋转 ${\hat{R}}_z(\theta )$ 和任意轴 $\hat{R}(\mathbf{\theta })$ 是什么？（式 (6-39)–(6-43)）

(3) 已知 ${\phi }_k(x)={\phi }_k(x+a)$。证明 $\psi (x)=e^{ikx}{\phi }_k(x)$ 是空间平移算符 $\hat{S}(a)=e^{ia{\hat{p}}_x/\hslash }=e^{ia{\hat{k}}_x}$ 的本征态，本征值是什么？$a\to 0$ 时呢？（习题 6-5）

**答案**

(1) $\psi (x+\Delta x)\approx \psi +\Delta x{\partial }_x\psi =(1+i\Delta x{\hat{p}}_x/\hslash )\psi$。有限平移是 $n$ 次无穷小的极限，$\hat{S}(x)=e^{ix{\hat{p}}_x/\hslash }$，三维是 $e^{i\hat{\mathbf{p}}\cdot \mathbf{r}/\hslash }$。空间均匀要求 $[\hat{H},\hat{S}]=0$，故 $[\hat{H},\hat{p}]=0$。时间平移用的是 Schrödinger 方程 ${\partial }_t\psi =\hat{H}\psi /(i\hslash )$，所以指数是 $-it\hat{H}/\hslash$。易错：两个指数写成同一个符号。

(2) 无穷小转动 $x^{\prime }=x-y\Delta \theta$、$y^{\prime }=y+x\Delta \theta$，一阶项是 $\Delta \theta (x{\partial }_y-y{\partial }_x)$，生成元是 ${\hat{l}}_z$。因此 ${\hat{R}}_z(\theta )=e^{i\theta {\hat{l}}_z/\hslash }$，任意轴 $\hat{R}(\mathbf{\theta })=e^{i\mathbf{\theta }\cdot \hat{\mathbf{l}}/\hslash }$（6-41）。对称性给出 $[\hat{H},\hat{\mathbf{l}}]=0$。

(3) 按书上的定义 $\hat{S}(a)\psi (x)=\psi (x+a)$。$e^{ik(x+a)}{\phi }_k(x+a)=e^{ika}{e}^{ikx}{\phi }_k(x)$，本征值 $e^{ika}$（这就是 Bloch 定理的形式）。${\hat{k}}_x={\hat{p}}_x/\hslash$，两种写法是同一个算符。$a\to 0$ 时本征值趋于 1，平移退化成恒等变换。

jc-6-2-3 · 对称变换算符（直接写出） · 🟡

填空（书 p118–121，式 (6-21)–(6-43)）

(1) $\hat{U}$ 是对称变换：____；概率守恒要求 ____；$\hat{U}=e^{i\epsilon \hat{F}}$ 时 $\hat{F}$ 满足 ____ 和 ____。（式 (6-21)–(6-26)）

(2) 空间平移 $\hat{S}(x)=$ ____，三维 $\hat{S}(\mathbf{r})=$ ____；空间均匀给出 ____。（式 (6-29)(6-30)(6-33)）

(3) 时间平移 $\hat{T}(t)=$ ____；给出 ____ 守恒。（式 (6-36)–(6-38)）

(4) 绕 $z$ 轴转 $\theta$：${\hat{R}}_z(\theta )=$ ____；任意轴 $\hat{R}(\mathbf{\theta })=$ ____；各向同性给出 ____。（式 (6-40)–(6-43)）

**答案**

(1) $[\hat{U},\hat{H}]=0$；${\hat{U}}^{†}\hat{U}=\hat{U}{\hat{U}}^{†}=1$；${\hat{F}}^{†}=\hat{F}$，$[\hat{F},\hat{H}]=0$。

(2) $e^{ix{\hat{p}}_x/\hslash }$；$e^{i\mathbf{r}\cdot \hat{\mathbf{p}}/\hslash }$；$[\hat{H},\hat{\mathbf{p}}]=0$（动量守恒）。

(3) $e^{-it\hat{H}/\hslash }$；能量（$[\hat{H},\hat{H}]=0$）。

(4) $e^{i\theta {\hat{l}}_z/\hslash }$；$e^{i\mathbf{\theta }\cdot \hat{\mathbf{l}}/\hslash }$；$[\hat{H},\hat{\mathbf{l}}]=0$（角动量守恒）。

6.3 全同粒子系波函数的交换对称性

知识点小结：内禀属性完全相同的粒子不可区分，这是全同性原理。概率密度对交换不变，所以波函数只能对称或反对称，对应玻色子和费米子。交换算符的本征值是 $\pm 1$，而且和 $\hat{H}$ 对易，统计性质不随时间变。费米子反对称推出 Pauli 不相容；玻色子同一态上的数目不限，低温下可以凝聚。

jc-6-3-1 · 两种统计、交换算符、Pauli · 🟡

计算（书 p121–125，式 (6-44)–(6-66)；习题 6-9、6-10）

(1) 什么叫全同粒子、全同性原理？由 $|\psi (1,2){|}^2=|\psi (2,1){|}^2$ 能得到什么？玻色子、费米子的自旋和例子各是什么？任意子书上怎么说？（式 (6-47)(6-48)，p122–123）

(2) 交换算符 ${\hat{P}}_{12}$ 的本征值为什么是 $\pm 1$？写出二粒子对称、反对称波函数。为什么 $\psi (1,2)$ 本身一般不是 ${\hat{P}}_{12}$ 的本征态？（式 (6-49)–(6-55)）

(3) 证明 $[{\hat{P}}_{12},\hat{H}]=0$。统计性质为什么不随时间变？（式 (6-56)；习题 6-9）

(4) 三粒子的 ${\hat{P}}_{12}$ 和 ${\hat{P}}_{13}$ 对易吗？为什么对称化、反对称化之后的 ${\psi }_S$、${\psi }_A$ 仍是它们的共同本征函数？由此证明 Pauli 不相容原理。玻色子为什么可以 Bose–Einstein 凝聚？（式 (6-61)–(6-66)）

(5) 两个氘组成的四粒子波函数 $\psi (p_1{n}_1{p}_2{n}_2)$，$p$、$n$ 都是费米子。交换两个氘，波函数对称还是反对称？（习题 6-10）

**答案**

(1) 质量、电荷、寿命、自旋等内禀属性相同的粒子。测量只能说「有一个粒子在某处」，不能说是哪一个。概率对交换不变，所以 $\psi (1,2)=\pm \psi (2,1)$。对称、整数自旋 $s=0,1,2,\dots$ 是玻色子（$\pi$ 介子自旋 0，光子自旋 1），遵从 Bose–Einstein 统计；反对称、半整数自旋是费米子（电子、质子、中子自旋 $1/2$），遵从 Fermi–Dirac 统计。书上附带一句：自旋既非整数也非半整数的叫任意子，不展开。

(2) ${\hat{P}}_{12}^2=1$，本征值 $\pm 1$。${\psi }_S=(1+{\hat{P}}_{12})\psi /\sqrt{2}$，${\psi }_A=(1-{\hat{P}}_{12})\psi /\sqrt{2}$。一般的 $\psi (1,2)$ 是两者的叠加，不是本征态。

(3) $\hat{H}(1,2)=\hat{H}(2,1)$，所以 ${\hat{P}}_{12}\hat{H}\psi =\hat{H}{\hat{P}}_{12}\psi$。交换对称性是守恒量，不随时间变。

(4) ${\hat{P}}_{12}{\hat{P}}_{13}\psi (123)=\psi (231)$，${\hat{P}}_{13}{\hat{P}}_{12}\psi (123)=\psi (312)$，不对易。但全对称的 ${\psi }_S$（6-62）对每一次交换都是 $+1$，全反对称的 ${\psi }_A$（6-64）都是 $-1$，所以仍是共同本征函数。若两个费米子状态相同，${\psi }_A(113)=-{\psi }_A(113)$，只能是零。玻色子没有这个限制；极低温下动量都趋于零，大量粒子可以进同一个态，叫 Bose–Einstein 凝聚。

(5) 交换两个氘要交换两个质子再交换两个中子，费米子各出一个负号，总符号为 $+$。波函数对两个氘的交换是对称的。偶个费米子的复合粒子按玻色子处理，就是这一问。

jc-6-3-2 · 交换对称性（直接写出） · 🟡

填空（书 p122–124，式 (6-48)–(6-56)）

(1) 全同粒子 $\psi (1,2)=$ ____$\psi (2, 1)$；玻色子取 ____，费米子取 ____。（式 (6-48)）

(2) ${\hat{P}}_{12}\psi (1,2)=$ ____，${\hat{P}}_{12}^2=$ ____，本征值 ____。（式 (6-50)(6-51)）

(3) 由任意 $\psi (1,2)$ 构造：${\psi }_S=$ ____，${\psi }_A=$ ____。（式 (6-52)–(6-55)）

(4) $[{\hat{P}}_{12},\hat{H}]=$ ____。（式 (6-56)）

**答案**

(1) $\pm$；$+$（对称）；$-$（反对称）。

(2) $\psi (2,1)$；1；$\pm 1$。

(3) $\frac{1}{\sqrt{2}}(1+{\hat{P}}_{12})\psi (1,2)$；$\frac{1}{\sqrt{2}}(1-{\hat{P}}_{12})\psi (1,2)$（归一化系数视 $\psi$ 而定）。

(4) 0（交换对称性不随时间变）。

6.4 无相互作用全同粒子系的交换简并

书上这一节标 *（选学）。

知识点小结：无相互作用时总哈密顿量是单粒子之和。两个粒子分占 $\alpha \ne =\beta$，乘积波函数有两种排法，能量都是 $E_{\alpha }+E_{\beta }$，这叫交换简并；真正能用的是对称化和反对称化之后的那两个。费米体系写成 Slater 行列式，两列相同就自动为零。$n$ 个粒子、每个有 $N$ 个单粒子态时，对称态、反对称态的个数用组合数，也就是杨图的标准排列数。

jc-6-4-1 · 交换简并、Slater 行列式、态的数目 · 🟡

计算（书 p125–130，式 (6-67)–(6-80)；练习 1、2；习题 6-8）

(1) 无相互作用二粒子，${\alpha }_1\ne ={\alpha }_2$。为什么能级二重简并？这种简并叫什么？不考虑统计时四个乘积里，哪两个已经有确定交换对称性？（式 (6-69)–(6-75)）

(2) 用 ${\psi }_{\alpha }({\mathbf{r}}_1){\psi }_{\beta }({\mathbf{r}}_2)$ 和 ${\psi }_{\beta }({\mathbf{r}}_1){\psi }_{\alpha }({\mathbf{r}}_2)$ 构造 ${\psi }_S$、${\psi }_A$。$n$ 个不同单粒子态的能级简并度是多少？费米体系为什么写成 Slater 行列式，两列相同说明什么？（式 (6-79)(6-80)）

(3) 每个粒子可取 $N$ 个态。二粒子的对称态、反对称态各有多少？三粒子呢？验证 $N^2=n_S+n_A$，$N^3=n_S+n_A+n_M$。（p129）

(4) $N=3$ 的二粒子体系：总态数、对称态数、反对称态数，并各举一个波函数。三粒子、每个 3 个态呢？（练习 1、2；习题 6-8）

**答案**

(1) ${\psi }_{{\alpha }_1}(1){\psi }_{{\alpha }_2}(2)$ 和 ${\psi }_{{\alpha }_2}(1){\psi }_{{\alpha }_1}(2)$ 都是能量 $E_{{\alpha }_1}+E_{{\alpha }_2}$ 的本征函数，叫交换简并。四个乘积里，两个粒子进同一态的那两个已经对称；跨态的两个没有确定对称性。

(2) ${\psi }_S,{\psi }_A=\frac{1}{\sqrt{2}}[{\psi }_{\alpha }(1){\psi }_{\beta }(2)\pm {\psi }_{\beta }(1){\psi }_{\alpha }(2)]$。$n$ 个粒子占 $n$ 个不同态时，置换给出 $n!$ 重简并。Slater 行列式交换两行变号，所以反对称；两列相同行列式为零，就是 Pauli 原理。

(3) 二粒子 $n_S=N(N+1)/2$，$n_A=N(N-1)/2$。三粒子 $n_S=N(N+1)(N+2)/6$，$n_A=N(N-1)(N-2)/6$，混合 $n_M=2N(N^2-1)/3$。直接相加即 $N^2$、$N^3$。横排杨图是对称，竖排是反对称，标准排列用来去掉重复。

(4) 二粒子：总 $9$，对称 $6$，反对称 $3$。例如 $|11⟩$ 和 $(|12⟩+|21⟩)/\sqrt{2}$ 对称，$(|12⟩-|21⟩)/\sqrt{2}$ 反对称。三粒子：总 $27$，对称 $10$，反对称 $1$，混合 $16$。习题 6-8 就是这一问的二粒子情形。

jc-6-4-2 · 无相互作用全同粒子（直接写出） · 🟡

填空（书 p125–127，式 (6-67)–(6-80)）

(1) $\hat{H}=\hat{h}(1)+\hat{h}(2)$，单粒子态 ${\phi }_i,{\phi }_j$：总能量 $E=$ ____。（式 (6-69)）

(2) $i\ne =j$：${\psi }_S=$ ____，${\psi }_A=$ ____。（式 (6-74)(6-75)）

(3) $i=j$：玻色子 $\psi =$ ____；费米子 ____。

(4) $N$ 个费米子占 $N$ 个不同单粒子态：${\psi }_A=$ ____。（式 (6-80)，p127）

**答案**

(1) ${\epsilon }_i+{\epsilon }_j$。

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}}[{\phi }_i(1){\phi }_j(2)+{\phi }_i(2){\phi }_j(1)]$；$\frac{1}{\sqrt{2}}[{\phi }_i(1){\phi }_j(2)-{\phi }_i(2){\phi }_j(1)]$。

(3) ${\phi }_i(1){\phi }_i(2)$；不存在（${\psi }_A=0$，Pauli 不相容）。

(4) $\frac{1}{\sqrt{N!}}\det [{\phi }_{k_a}(b){]}_{N\times N}$（Slater 行列式）。

6.5 量子力学的三种绘景

知识点小结：Schrödinger 绘景里态随时间变、算符不随时间变，前面各章都是这一种。Heisenberg 绘景把时间演化算符搬到算符上，态不动，算符满足 Heisenberg 方程。相互作用绘景里两者都变，书上不展开。平均值与绘景无关；对易关系经过这套幺正变换也不变。

jc-6-5-1 · 演化算符和 Heisenberg 方程 · 🟡

计算（书 p130–133，式 (6-81)–(6-95)；节末练习；习题 6-6、6-7）

(1) 三种绘景里，态矢和力学量谁随时间变？Schrödinger 绘景的时间演化算符是什么？为什么 $\hat{H}$ 不显含时间时可以写成 $e^{-i{\hat{H}}_S(t-t_0)/\hslash }$？它为什么幺正？（式 (6-83)–(6-88)）

(2) 写出两种绘景中态矢、算符的变换。导出 Heisenberg 方程。$[{\hat{A}}_S,{\hat{B}}_S]=i{\hat{C}}_S$ 换到 Heisenberg 绘景还成立吗？不确定关系呢？（式 (6-90)–(6-95)；节末练习）

(3) 谐振子（质量 $m$、频率 $\omega$）。由 Heisenberg 方程写出 ${\hat{x}}_H(t)$、${\hat{p}}_H(t)$。再看 Schrödinger 绘景里的「初始位置」「初始动量」算符 ${\hat{x}}_0=\hat{x}\cos \omega t-\frac{\hat{p}}{m\omega }\sin \omega t$、${\hat{p}}_0=\hat{p}\cos \omega t+m\omega \hat{x}\sin \omega t$：它们的平均值怎样随时间变？与 $\hat{H}$ 对易吗？两者矛盾吗？$\omega t\to 0$ 时退回什么？（习题 6-6）

(4) $U(t)$ 幺正且对 $t$ 可微。证明 $i\hslash \dot{U}=VU$ 中的 $V$ 厄米；反过来若 $t_0$ 时幺正且 $V$ 厄米，则以后一直幺正。（习题 6-7）

**答案**

(1) Schrödinger：态变、算符不变。Heisenberg：算符变、态不变。相互作用：都变（书上不再推导）。代入 Schrödinger 方程得 $i\hslash {\partial }_t\hat{U}={\hat{H}}_S\hat{U}$。${\hat{H}}_S$ 不显含 $t$ 时积分就是指数 (6-86)；${\hat{U}}^{†}\hat{U}=I$ 因为 $\hat{H}$ 厄米。

(2) $|{\psi }_H⟩=|{\psi }_S(t_0)⟩$，$|{\psi }_S(t)⟩=\hat{U}|{\psi }_H⟩$，${\hat{A}}_H={\hat{U}}^{†}{\hat{A}}_S\hat{U}$。对 $t$ 求导，用 ${\partial }_t\hat{U}={\hat{H}}_S\hat{U}/(i\hslash )$，得到 $d{\hat{A}}_H/dt=[{\hat{A}}_H,{\hat{H}}_H]/(i\hslash )$（6-94）。左乘 ${\hat{U}}^{†}$、右乘 $\hat{U}$，中间插入 $\hat{U}{\hat{U}}^{†}=I$，对易关系形式不变，不确定关系也成立。

(3) $d{\hat{x}}_H/dt={\hat{p}}_H/m$，$d{\hat{p}}_H/dt=-m{\omega }^2{\hat{x}}_H$，解为

$$\hat{x}(t)=\hat{x}\cos \omega t+\frac{\hat{p}}{m\omega }\sin \omega t,\hat{p}(t)=\hat{p}\cos \omega t-m\omega \hat{x}\sin \omega t.$$

所以 $\bar{x}$、$\bar{p}$ 一般随时间振荡。${\hat{x}}_0$、${\hat{p}}_0$ 显含时间，$\frac{d{\bar{x}}_0}{dt}=\overline{{\partial }_t{\hat{x}}_0}+\frac{1}{i\hslash }\overline{[{\hat{x}}_0,\hat{H}]}$，两项正好抵消，所以 ${\bar{x}}_0=\bar{x}(0)$、${\bar{p}}_0=\bar{p}(0)$ 为常数。但 $[{\hat{x}}_0,\hat{H}]\ne =0$。不矛盾：「与 $\hat{H}$ 对易 ⇔ 平均值守恒」只对不显含时间的算符成立。$\omega t\to 0$ 时 ${\hat{x}}_0\to \hat{x}$、${\hat{p}}_0\to \hat{p}$。Heisenberg 绘景里 ${\hat{x}}_0$ 变成 ${\hat{x}}_H(t)\cos \omega t-\frac{{\hat{p}}_H(t)}{m\omega }\sin \omega t=\hat{x}$，就是 $t=0$ 的算符。

【原书笔误】 p138 习题 6-6 把 ${\hat{p}}_0$ 印成 $\hat{p}\cos \omega t-m\omega \hat{x}\sin \omega t$。由 ${\hat{p}}_H(t)=\hat{p}\cos \omega t-m\omega \hat{x}\sin \omega t$ 反解，$m\omega \hat{x}\sin \omega t$ 前应为「+」；题目已按改正后的写。

(4) 由 $U{U}^{†}=I$ 对 $t$ 求导，得 $V=i\hslash \dot{U}{U}^{†}$ 等于自己的厄米共轭。反过来 $i\hslash {\partial }_t(U{U}^{†})=[V,U{U}^{†}]$，初值 $I$ 是解，厄米的 $V$ 使这个解保持下去，所以 $U(t)$ 保持幺正。

jc-6-5-2 · 演化算符与 Heisenberg 绘景（直接写出） · 🟡

填空（书 p130–132，式 (6-83)–(6-95)）

(1) $|\psi (t)⟩=$ ____；$\hat{U}$ 满足的方程 ____；$\hat{H}$ 不显含 $t$ 时 $\hat{U}(t,t_0)=$ ____。（式 (6-83)–(6-86)）

(2) Heisenberg 绘景 ${\hat{A}}_H(t)=$ ____；运动方程 ____。（式 (6-93)(6-94)）

**答案**

(1) $\hat{U}(t,t_0)|\psi (t_0)⟩$；$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\hat{U}=\hat{H}\hat{U}$；$e^{-i\hat{H}(t-t_0)/\hslash }$。

(2) ${\hat{U}}^{†}(t,t_0){\hat{A}}_S\hat{U}(t,t_0)$；$i\hslash \frac{d{\hat{A}}_H}{dt}=[{\hat{A}}_H,{\hat{H}}_H]$（${\hat{A}}_S$ 不显含 $t$）。

6.6 密度矩阵

知识点小结：纯态能用一个态矢写，密度算符就是 $|\psi ⟩⟨\psi |$，平均值是 $Tr(\hat{A}\rho )$。它厄米、${\rho }^2=\rho$、迹为 1、正定。混合态是若干纯态按经典概率 $p_i$ 混合，不是相干叠加：$\rho ={\sum }_i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$，这时 $Tr{\rho }^2\le 1$，等号才退回纯态。纯态平均有干涉项，混合态平均没有。两种 $\rho$ 都满足 $d\rho /dt=[\hat{H},\rho ]/(i\hslash )$。

jc-6-6-1 · 纯态、混合态和 $Tr{\rho }^2$ · 🟡

计算（书 p133–136，式 (6-96)–(6-121)）

(1) 纯态 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$。证明 ${\rho }^{†}=\rho$，${\rho }^2=\rho$，$Tr\rho =1$，$⟨\phi |\rho |\phi ⟩\ge 0$。为什么 $\bar{A}=Tr(\hat{A}\rho )$？（式 (6-100)–(6-106)）

(2) 导出纯态的 $d\rho /dt=[\hat{H},\rho ]/(i\hslash )$，并写成 $\rho (t)=\hat{U}\rho (t_0){\hat{U}}^{†}$。和 Heisenberg 绘景里算符的变换差在哪？（式 (6-110)(6-111)）

(3) 混合态怎么定义？证明 $Tr\rho =1$ 但 ${\rho }^2\ne =\rho$，而且 $Tr{\rho }^2={\sum }_i{p}_{i2}\le 1$。什么时候等号成立？（式 (6-112)–(6-118)）

(4) 混合态平均值为什么是各纯态平均值再按 $p_i$ 平均？纯态平均的哪一项在混合态里没有？这一项从哪来？（式 (6-119)(6-120)）

(5) 二能级纯态 $|\psi ⟩=(|1⟩+|2⟩)/\sqrt{2}$，写出 $\rho$，算 $Tr{\rho }^2$。若改成两个纯态各以概率 $1/2$ 混合，$\rho$ 和 $Tr{\rho }^2$ 变成什么？

**答案**

(1) 定义式直接给出前三条；最后一条是 $|⟨\phi |\psi ⟩{|}^2$。插入完备性 ${\sum }_m|m⟩⟨m|=I$，$\bar{A}={\sum }_m⟨m|\hat{A}\rho |m⟩=Tr(\hat{A}\rho )$。

(2) 对 $|\psi ⟩⟨\psi |$ 用 Schrödinger 方程，bra 的导数多一个负号，合成对易子。用 $|\psi (t)⟩=\hat{U}|\psi (t_0)⟩$ 就得到第二个式子。Heisenberg 绘景是 ${\hat{U}}^{†}\hat{A}\hat{U}$，密度算符留在 Schrödinger 绘景，所以 $\hat{U}$ 和 ${\hat{U}}^{†}$ 的左右相反。

(3) 不能用一个态矢描述、每个子系综以概率 $p_i$ 出现。迹仍是 ${\sum }_i{p}_i=1$。${\rho }^2={\sum }_i{p}_{i2}|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$，一般不等于 $\rho$。$Tr{\rho }^2={\sum }_i{p}_{i2}\le ({\sum }_i{p}_i{)}^2=1$，等号当且仅当只有一个 $p_i=1$，即纯态。判别式就是看 $Tr{\rho }^2$ 等不等于 1。

(4) 把定义代进迹，得到 ${\sum }_i{p}_i⟨{\psi }_i|\hat{A}|{\psi }_i⟩$。纯态展开有 $m\ne =n$ 的交叉项 $a_{m\ast }{a}_n⟨m|\hat{A}|n⟩$，来自相干叠加；混合是统计系综，没有这项。

(5) 纯态 $\rho =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$，${\rho }^2=\rho$，$Tr{\rho }^2=1$。混合 $\rho =\frac{1}{2}|1⟩⟨1|+\frac{1}{2}|2⟩⟨2|=\frac{1}{2}I$，$Tr{\rho }^2=1/2$。对角元一样，差在非对角的相干项。

jc-6-6-2 · 密度矩阵（直接写出） · 🟡

填空（书 p133–136，式 (6-100)–(6-121)）

(1) 纯态 $\rho =$ ____；$\bar{A}=$ ____；${\rho }^{†}=$ ____，${\rho }^2=$ ____。（式 (6-100)–(6-104)）

(2) $i\hslash \frac{\partial \rho }{\partial t}=$ ____；$\rho (t)=$ ____。（式 (6-110)(6-111)）

(3) 混合态 $\rho =$ ____；$Tr\rho =$ ____，$Tr{\rho }^2$ ____ 1，等号当且仅当 ____。（式 (6-113)–(6-118)）

(4) 混合态 $\bar{A}=$ ____。（式 (6-119)）

**答案**

(1) $|\psi ⟩⟨\psi |$；$Tr(\hat{A}\rho )$；$\rho$；$\rho$。

(2) $[\hat{H},\rho ]$；$\hat{U}(t,t_0)\rho (t_0){\hat{U}}^{†}(t,t_0)$。

(3) ${\sum }_i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$；1；$\le$；纯态。

(4) $Tr(\hat{A}\rho )={\sum }_i{p}_i⟨{\psi }_i|\hat{A}|{\psi }_i⟩$。

6.7 量子力学的基本假设

知识点小结：书上把前面用过的规则收成五条假设：态是 Hilbert 空间的矢量、力学量是厄米算符；演化遵从 Schrödinger 方程，是幺正的；态叠加；测量得到本征值之一，概率 $|a_k{|}^2$，测量是非幺正的；全同粒子不可区分。

jc-6-7-1 · 五条假设 · 🟡

填空（书 p136–137）

(1) 量子态用 ____ 描述，力学量用 ____ 描述。

(2) 量子态的动力学演化遵从 ____，这个过程是 ____（幺正 / 非幺正）。

(3) 态叠加原理对应的数学事实是 ____。

(4) 测量结果一定是 ____ 当中的某一个，概率是 ____。测量引起的演化是 ____。

(5) 第五条假设是 ____。它决定了哪两种统计？

**答案**

(1) Hilbert 空间中的矢量；Hilbert 空间中的厄米算符。

(2) Schrödinger 方程；幺正。

(3) 任意态矢按一组基展开，$|\psi ⟩={\sum }_k{a}_k|k⟩$。基本身是力学量完全集的共同本征态。

(4) 该力学量算符的本征值；$|a_k{|}^2=|⟨k|\psi ⟩{|}^2$；非幺正（塌缩）。

(5) 全同性原理。Bose–Einstein 统计和 Fermi–Dirac 统计。

第5–6章原书笔误（已核对）

对照 200dpi 扫描件逐条核实，可疑处放大到 400dpi。属实的只有下面三条，已写进对应题目：

位置	原书	改正	题
p111，练习 4	$({\hat{S}}^{†}\hat{S}{)}_{x^{\prime }{x}^{{}^{\prime \prime }}}=\int S_{x^{\prime }p}^{†}{S}_{p{x}^{{}^{\prime \prime }}}dp$	$(\hat{S}{\hat{S}}^{†}{)}_{x^{\prime }{x}^{{}^{\prime \prime }}}=\int S_{x^{\prime }p}{S}_{x^{{}^{\prime \prime }}p}^{\ast }dp$（结果不变）	jc-5-4-2
p116，第 (3) 条	「见习题 6-10 题」	习题 6-11	jc-6-1-2
p138，习题 6-6	${\hat{p}}_0=\hat{p}\cos \omega t-m\omega \hat{x}\sin \omega t$	$+m\omega \hat{x}\sin \omega t$	jc-6-5-1

不属实的疑误：(6-39)(6-40) 缺 ${\hat{l}}_z$（印得糊，放大后 ${\hat{l}}_z$ 在）；习题 6-5 末尾（印的是 $e^{ia{\hat{k}}_x}$，${\hat{k}}_x={\hat{p}}_x/\hslash$）；(5-101) 末列；例 4 的 $p^{\prime }/p^{{}^{\prime \prime }}$；例 6 的 ${\partial }_{x^{\prime }}$；习题 5-4 下标（书上就是 ${\hat{l}}_x^2$、${\hat{l}}_y^2$）；p120 指数符号（${\hat{S}}^{†}=e^{-i\hat{\mathbf{p}}\cdot \mathbf{r}/\hslash }$，正确）。

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