知识网·第7章 粒子在势场中的运动（试版）

把站上和第7章有关的题按模型归到一起：小蓝书（蓝）、强化班（强）、量力题 1–61（题）、书本扫盲（扫）。每个模型分四层：必背公式 → 基础知识点 → 常考题型 → 延伸考法（极限、变式、跨章）。题号旁的色标从 status.json 自动读取：⬜ 未测 · 🟡 未复习/模糊/不会 · 🟢 懂 · 🔴 不行。点题号直接跳到那道题。

1. 中心力场的一般讨论

考什么：$V=V(r)$ 时 $(\hat{H},{\hat{l}}^2,{\hat{l}}_z)$ 是完全集，$\psi =R(r)Y_{lm}$，角向部分对一切中心力相同；$\chi =rR$ 化成一维方程，势加上正的离心势；$\chi (0)=0$ 对 $l=0$ 也要。

• 必背公式：

  • $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m{r}^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial }{\partial r})+\frac{{\hat{l}}^2}{2m{r}^2}+V(r)$（p140，式 (7-5)）
  • $[\hat{H},{\hat{l}}^2]=[\hat{H},{\hat{l}}_z]=0$，完全集 $(\hat{H},{\hat{l}}^2,{\hat{l}}_z)$（p140，式 (7-6)）
  • $\psi =R(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )$，$\lambda =l(l+1)$，$Y_{lm}=N_{lm}{P}_l^{|m|}(\cos \theta )e^{im\phi }$（p140，式 (7-7)(7-11)）
  • $\chi =rR$（式 (7-13)）；${\chi }^{{}^{\prime \prime }}+\frac{2m}{{\hslash }^2}[E-V(r)-\frac{l(l+1){\hslash }^2}{2m{r}^2}]\chi =0$（p140，式 (7-14)）
  • $V_{eff}=V(r)+\frac{l(l+1){\hslash }^2}{2m{r}^2}$（p141，式 (7-15)）；${\lim }_{r\to 0}\chi (r)=0$（式 (7-16)）
  • $\frac{1}{2}[{\nabla }^2,r]=\frac{1}{r}+\frac{\partial }{\partial r}$（习题7-4）

• 基础知识点：扫7-1-1🟡

• 常考题型：分离变量、离心势、原点边界、算符恒等式：扫7-1-2🟡 蓝7-5⬜ 蓝7-15⬜；径向动量 ${\hat{p}}_r$ 与中心力场 $H$ 分解、束缚定态关系式：强28×0；共有本征态 $⟨V⟩$ 与单调势积分不等式：强30×0

• 延伸考法：

  • $V=-\alpha /r^s$ 存在束缚态的条件 $0<s<2$：强35×0
  • 跨章·球对称势中给定态测 $l^2$、$l_z$：蓝4-8🟢 蓝4-15🟢
  • 跨章·力学量完全集：题39⬜
  • 跨章·径向动量对称化（第4章）：强13×1

2. 球方势阱

考什么：$s$ 态的 $\chi$ 就是一维无限深阱的正弦，$E\propto (n_r+1{)}^2$，$n_r$ 无上界；$l\ne =0$ 解是 $j_l(kr)$（$n_l$ 原点发散），能级由 $j_l(ka)=0$ 的根定。变式：球壳 $a<r<b$。

• 必背公式：

  • $V=0$（$r<a$），$V=\infty$（$r>a$）（p141，式 (7-17)）
  • $s$ 态：$k=\frac{(n_r+1)\pi }{a}$，$E_{n_{r}0}=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2(n_r+1{)}^2}{2m{a}^2}$，$n_r=0,1,2,\dots$（p142，式 (7-25)(7-26)）
  • ${\chi }_{n_{r}0}=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{(n_r+1)\pi r}{a}$，$R=\chi /r$（p142，式 (7-29)(7-30)）
  • $\rho \to 0$：$j_l\to \frac{{\rho }^l}{(2l+1)!!}$，$n_l\to -\frac{(2l-1)!!}{{\rho }^{l+1}}$（p143，式 (7-36)）；$R=C{j}_l(kr)$（式 (7-37)）
  • $j_0=\frac{\sin x}{x}$，$j_1=\frac{\sin x}{x^2}-\frac{\cos x}{x}$（p144，式 (7-41)）
  • $j_l(ka)=0$，$E_{n_{r}l}=\frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2}{\chi }_{n_{r}l2}$（${\chi }_{n_{r}l}$ 为 $j_l$ 的根）（p144，式 (7-42)(7-43)）
  • 球壳 $a<r<b$ 基态：$E=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m(b-a{)}^2}$，$\chi =\sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin \frac{\pi (r-a)}{b-a}$（习题7-9）

• 基础知识点：扫7-2-1🟡

• 常考题型：$s$ 态能级与波函数、$j_0$ 零点核对、球壳：扫7-2-2🟡 蓝7-10⬜

• 延伸考法：

  • 维数对照：一维无限深阱（同一个 $\chi$ 方程）：扫3-3-1🟡 扫3-3-3🟡

3. 类氢离子

考什么：两体 → 质心 + 相对运动（折合质量 $\mu$）；级数截断给出 $n$，$E_n\propto -Z^2/n^2$，不计自旋 $n^2$ 重简并；$R_{10}$、$R_{20}$、$R_{21}$；1s 最可几半径 $a_0$；角分布与 $\phi$ 无关；轨道磁矩 $-{\mu }_{B}m$。常考：平均值与位力定理、经典禁区概率、叠加态能量、折合质量换算、$\beta$ 衰变突变近似。

• 必背公式：

  • $\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$（p145，式 (7-47)）；$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2M}{\nabla }_{R2}-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\nabla }_{r2}+V(r)$（式 (7-46)）
  • $V=-\frac{Z{e}^2}{r}$（p146，式 (7-52)）
  • $n=n_r+l+1$，$l=0,1,\dots ,n-1$（p147，式 (7-61)）；$E_n=-\frac{\mu e^4{Z}^2}{2{\hslash }^2{n}^2}$（p147，式 (7-62)）
  • ${\chi }_{nl}=N_{nl}{e}^{-\rho /2}{\rho }^{l+1}{L}_{n+l2l+1}(\rho )$，$\rho =\frac{2Zr}{na}$（p147–148，式 (7-63)(7-69)）
  • $a=\frac{{\hslash }^2}{\mu e^2}$，$E_n=-\frac{Z^2{e}^2}{2a{n}^2}$（p148，式 (7-67)(7-68)）
  • $f_n={\sum }_{l=0n-1}(2l+1)=n^2$（p148，式 (7-73)）；计入自旋 $2n^2$（p150）
  • $R_{10}=2a_{0-3/2}{e}^{-r/a_0}$，$a_0=\frac{{\hslash }^2}{{\mu }_H{e}^2}\approx 0.529\times 10^{-10}m$（p148，式 (7-74)）；${\psi }_{100}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{a}_{0-3/2}{e}^{-r/a_0}$（p149，式 (7-75)）
  • $R_{20}=\frac{1}{\sqrt{2}}{a}_{0-3/2}(1-\frac{r}{2a_0})e^{-r/2a_0}$，$R_{21}=\frac{1}{2\sqrt{6}}{a}_{0-3/2}\frac{r}{a_0}{e}^{-r/2a_0}$（p149，式 (7-77)）
  • $E_1=-\frac{e^2}{2a_0}\approx -13.6eV$（p149–150，式 (7-76)(7-79)）
  • $P_{nl}(r)=r^2|R_{nl}{|}^2=|{\chi }_{nl}{|}^2$（p151，式 (7-81)）；$W_{lm}=|Y_{lm}{|}^2\propto |P_l^{|m|}(\cos \theta ){|}^2$（式 (7-82)）；1s 最可几半径 $a_0$
  • $j_{\phi }=\frac{\hslash em}{\mu r\sin \theta }|{\psi }_{nlm}{|}^2$（p152，式 (7-84)）；${\mu }_z=-{\mu }_{B}m$，${\mu }_B=\frac{\hslash |e|}{2\mu c}$（p153，式 (7-85)）；$g=-1$（式 (7-86)）
  • 1s：$⟨\frac{1}{r}⟩=\frac{1}{a_0}$，$⟨V⟩=2E_1$，$⟨T⟩=-E_1$（习题7-3）

• 基础知识点：扫7-3-1🟡

• 常考题型：截断与能级、简并度、平均值与位力定理、经典禁区概率、叠加态、折合质量、突变近似、$\Delta x\Delta p_x$：扫7-3-2🟡 蓝7-1⬜ 蓝7-2⬜ 蓝7-3⬜ 蓝7-4⬜ 蓝7-6⬜ 蓝7-7⬜ 蓝7-8⬜ 蓝7-9⬜ 蓝7-16⬜ 蓝7-17⬜；类氢 $⟨1/r^2⟩$：强36×0；库仑突然消失后动量几率分布：强27×0

• 延伸考法：

  • $V=A/r^2-B/r$ 化成氢原子求定态：强31×0
  • 测不准关系估算氢基态能量：强29×0
  • 跨章·微扰：$Z\to Z+1$ 一级修正（对照 扫7-3-2(11) 的严格结果）：题12⬜；核体积效应：题18⬜；Stark 效应：题7⬜
  • 跨章·动量表象 / Fourier（第5章）：题32🟢

4. 电磁场中的 Hamilton 量与定域规范不变性

考什么：$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$、$\mathbf{E}=-\nabla \phi -\frac{1}{c}{\partial }_t\mathbf{A}$；最小耦合 $\hat{\mathbf{p}}\to \hat{\mathbf{p}}-\frac{q}{c}\mathbf{A}$；规范变换下 $\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$ 不变，波函数配一个相位 $e^{iq\chi /\hslash c}$，方程形式不变；速度算符和电磁场中的概率流。

• 必背公式：

  • $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$（p153，式 (7-90)）；$\mathbf{E}=-\nabla \phi -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$（p154，式 (7-95)）
  • $\mathbf{F}=q\mathbf{E}+\frac{q}{c}\mathbf{v}\times \mathbf{B}$（p154，式 (7-96)）；$\mathbf{p}=m\dot{\mathbf{r}}+\frac{q}{c}\mathbf{A}$（式 (7-100)）
  • $\hat{H}=\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}-\frac{q}{c}\mathbf{A}{)}^2+q\phi$（p154，式 (7-103)）；$i\hslash {\partial }_t\psi =\hat{H}\psi$（式 (7-104)）
  • ${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi$，${\phi }^{\prime }=\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial \chi }{\partial t}$（p155，式 (7-105)）；${\psi }^{\prime }=e^{iq\chi /\hslash c}\psi$（式 (7-107)）
  • $\hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{m}(\hat{\mathbf{p}}-\frac{q}{c}\mathbf{A})$，$\hat{\mathbf{v}}\times \hat{\mathbf{v}}=\frac{i\hslash q}{m^{2}c}\mathbf{B}$（习题7-10）
  • $\mathbf{J}=\frac{1}{2m}({\psi }^{\ast }\hat{\mathbf{p}}\psi -\psi \hat{\mathbf{p}}{\psi }^{\ast })-\frac{q}{mc}{\psi }^{\ast }\mathbf{A}\psi$（习题7-11）

• 基础知识点：扫7-4-1🟡

• 常考题型：规范不变的证明、速度算符对易关系、概率流：扫7-4-2🟡 蓝7-11⬜ 蓝7-12⬜；$[{\hat{v}}_i,{\hat{v}}_j]$、$H$ 按 $\mathbf{A}$ 展开、含时 $\mathbf{A}$ 的薛定谔方程：强26×0

• 延伸考法：

  • 跨章·对称性与守恒量（规范对称 ↔ 引进 $\mathbf{A}$、$\phi$）：扫6-2-1🟡

5. 外磁场中的原子，正常 Zeeman 效应

考什么：$\mathbf{A}=\frac{1}{2}\mathbf{B}\times \mathbf{r}$ 展开出顺磁项 $\propto {\hat{l}}_z$ 和反磁项 $\propto B^2(x^2+y^2)$，实验室磁场下后者可略；${\psi }_{nlm}$ 仍是本征函数，$E_{nm}=E_n+m\hslash {\omega }_L$，固定 $n,l$ 裂成 $2l+1$ 条；不同 $l$ 同 $m$ 仍简并；谱线 9 种跃迁、3 个频率。

• 必背公式：

  • $[\hat{\mathbf{p}},\mathbf{A}]=-i\hslash \nabla \cdot \mathbf{A}$（p156，式 (7-113)）
  • $\mathbf{A}=\frac{1}{2}\mathbf{B}\times \mathbf{r}$，$\nabla \cdot \mathbf{A}=0$（p157，式 (7-115)(7-116)）；$\mathbf{A}=(-\frac{1}{2}By,\frac{1}{2}Bx,0)$（式 (7-117)）
  • $\mathbf{A}\cdot \hat{\mathbf{p}}=\frac{1}{2}B{\hat{l}}_z$，${\mathbf{A}}^2=\frac{1}{4}{B}^2(x^2+y^2)$（p157，式 (7-118)(7-119)）
  • $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m_e}-\frac{eB}{2m_{e}c}{\hat{l}}_z+\frac{e^2{B}^2}{8m_e{c}^2}(x^2+y^2)-\frac{Z{e}^2}{r}$（p157，式 (7-120)）；两项之比 $\sim \frac{B}{10^{10}Gauss}$（式 (7-121)）
  • ${\hat{H}}^{\prime }=-\frac{eB}{2m_{e}c}{\hat{l}}_z$（p158，式 (7-124)）；${\hat{\mathbf{\mu }}}_l=\frac{e}{2m_{e}c}\hat{\mathbf{l}}$（$e<0$）（式 (7-125)）
  • $[{\hat{l}}^2,\hat{H}]=[{\hat{l}}_z,\hat{H}]=0$（p158，式 (7-127)(7-128)）
  • $E_{nm}=-\frac{m_e{e}^4{Z}^2}{2{\hslash }^2{n}^2}+m\hslash {\omega }_L$，${\omega }_L=\frac{|e|B}{2m_{e}c}$（p158，式 (7-130)(7-131)）；$\Delta E=\hslash {\omega }_L$（p159，式 (7-132)）

• 基础知识点：扫7-5-1🟡

• 常考题型：展开 Hamilton 量、估算反磁项、求能级与谱线：扫7-5-2🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·简并微扰：二维谐振子加弱磁场：题15⬜
  • 变式：磁场中的三维各向同性谐振子（习题7-13，在 扫7-6-2(6)）：扫7-6-2🟡

6. 外磁场中的自由电子，Landau 能级

考什么：$z$ 方向自由；平面运动换 Landau 规范 ${\mathbf{A}}^{\prime }=(-By,0,0)$，$[{\hat{p}}_x,\hat{H}]=0$，化成中心在 $y_0$ 的振子，$E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash {\omega }_c$，${\omega }_c=2{\omega }_L$，与 $p_x$ 无关 → 无穷简并；非束缚而能量量子化。变式：再加电场（漂移、解除简并），三维振子加磁场。

• 必背公式：

  • 对称规范 $\hat{H}={\hat{H}}_0+{\omega }_L{\hat{l}}_z$，${\hat{H}}_0=\frac{{\hat{p}}_{x2}+{\hat{p}}_{y2}}{2m_e}+\frac{1}{2}{m}_e{\omega }_L^2(x^2+y^2)$（p159–160，式 (7-137)(7-138)）
  • $f=-\frac{1}{2}Bxy$，${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla f=(-By,0,0)$（p160–161，式 (7-145)(7-146)）
  • $\hat{H}=\frac{1}{2m_e}({\hat{p}}_x+\frac{eB}{c}y{)}^2+\frac{{\hat{p}}_{y2}}{2m_e}$（p161，式 (7-147)）；$[{\hat{p}}_x,\hat{H}]=0$（式 (7-148)）；$\psi =e^{i{p}_{x}x/\hslash }\phi (y)$（式 (7-149)）
  • $y_0=-\frac{c{p}_x}{eB}$，${\omega }^2=(\frac{eB}{m_{e}c}{)}^2=4{\omega }_L^2$（p161，式 (7-151)）
  • $E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$，$\omega =\frac{|e|B}{m_{e}c}=2{\omega }_L$（p162，式 (7-153)(7-154)）；$E_n=(N+1)\hslash {\omega }_L$，$N=2n$（式 (7-155)）
  • ${\mu }_z=-\frac{|e|\hslash }{2m_{e}c}(N+1)$，$E_n=-{\mu }_{z}B$（p162，式 (7-156)(7-157)）
  • ${\phi }_n\sim e^{-{\alpha }^2(y-y_0{)}^2/2}{H}_n(\alpha (y-y_0))$，$\alpha =\sqrt{\frac{|e|B}{\hslash c}}$（p162，式 (7-158)(7-159)）

• 基础知识点：扫7-6-1🟡

• 常考题型：Landau 规范求能级、加电场、三维振子加磁场：扫7-6-2🟡 蓝7-13⬜ 蓝7-14⬜

• 延伸考法：

  • 跨章·谐振子（平移中心的一维振子）：扫3-9-2⬜ 扫3-9-4🟡
  • 跨章·外电场中的谐振子（同一配方法）：蓝3-11🟢

7. 规范场，Aharonov–Bohm 效应

考什么：$\mathbf{A}=\nabla \chi$ 时 $\mathbf{B}=0$ 而 $\mathbf{A}\ne =0$；经典无 Lorentz 力，量子上相位改变 → 干涉条纹移动。环上转子：无磁通 $E_m\propto m^2$，$\pm m$ 二重简并；环心磁通 $\Phi$ 使 $E_m\propto (m-\frac{q\Phi }{2\pi \hslash c}{)}^2$，简并消除；$\Phi$ 为磁通量子整数倍时谱不变。

• 必背公式：

  • $\hat{H}=\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}-\frac{q}{c}\mathbf{A}{)}^2+q\phi$，$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$（p163，式 (7-161)）
  • $\mathbf{A}=\nabla \chi \ne =0$ 时 $\mathbf{B}=\nabla \times \nabla \chi =0$（p163，式 (7-162)(7-163)）
  • 无磁通：${\psi }_m=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\phi }$，$E_m=\frac{{\hslash }^2{m}^2}{2M{r}_0^2}$，$m=0,\pm 1,\dots$（p164，式 (7-165)(7-166)）
  • $\oint \mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}=2\pi r_0{A}_{\phi }=\Phi$（p164，式 (7-167)(7-168)）；$A_{\phi }=\frac{\Phi }{2\pi r_0}$（p165，式 (7-169)）
  • $\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2M{r}_0^2}(\frac{\partial }{\partial \phi }-K{)}^2$，$K=\frac{iq\Phi }{2\pi \hslash c}$（p165，式 (7-170)(7-173)）
  • $E_m=\frac{{\hslash }^2}{2M{r}_0^2}(m-\frac{q\Phi }{2\pi \hslash c}{)}^2$，${\psi }_m=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\phi }$（p166，式 (7-180)(7-181)）

• 基础知识点：扫7-7-1🟡

• 常考题型：Stokes 定理求 $A_{\phi }$、相位变换求环上能级、简并消除、双缝相位差：扫7-7-2🟡；圆周上带电粒子加轴向 $B$，基态能量是 $B$ 的周期函数：强25×0

• 延伸考法：

  • 圆环上两量子珠的库仑问题（质心 / 相对分离）：强32×0
  • 跨章·平面转子：力学量完全集 题38⬜；电场中的平面转子（简并微扰）题11🟢
  • 跨章·周期边界（圆环）：题4🟢 强5×2

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试版 · 2026-10-08 · 2026-10-15 挂小蓝书 lb-7-1…17 · 2026-10-23 挂强化 qh-25–32、qh-35–36。题源：扫盲 jc-7-，小蓝书 lb-7-，强化班 强25–32、强35–36。同一题可能出现在两个模型下（如 扫7-6-2）。