知识网·第10章 散射理论（试版）

把站上和第10章有关的题按模型归到一起：小蓝书（蓝）、强化班（强）、量力题 1–61（题）、书本扫盲（扫）。每个模型分四层：必背公式 → 基础知识点 → 常考题型 → 延伸考法（极限、变式、跨章）。题号旁的色标从 status.json 自动读取：⬜ 未测 · 🟡 未复习/模糊/不会 · 🟢 懂 · 🔴 不行。点题号直接跳到那道题。

1. 散射振幅与散射截面

考什么：入射平面波 + 出射球面波的渐近形式；用概率流定义微分截面并证明 $\sigma (\theta )=|f(\theta ){|}^2$；$f$ 有长度量纲、$\sigma$ 有面积量纲；总截面是对立体角积分。

• 必背公式：

  • ${\psi }_{in}=e^{ikz}$，$k=p_z/\hslash$（p214，式 (10-1)）
  • $j_{in}=\frac{i\hslash }{2\mu }({\psi }_{in}\frac{\partial }{\partial z}{\psi }_{in}^{\ast }-{\psi }_{in}^{\ast }\frac{\partial }{\partial z}{\psi }_{in})=\frac{\hslash k}{\mu }=v$（p214，式 (10-2)）；$j_{in}=nv$（式 (10-3)）
  • $\psi \sim e^{ikz}+f(\theta )\frac{e^{ikr}}{r}$（$r\to \infty$）（p215，式 (10-5)）
  • $j_{out}=\frac{\hslash k|f(\theta ){|}^2}{\mu r^2}=j_{in}\frac{|f(\theta ){|}^2}{r^2}$（p215，式 (10-6)）
  • $dn=\sigma (\theta )j_{in}d\Omega$，$\sigma (\theta )=\frac{1}{j_{in}}\frac{dn}{d\Omega }$（p215，式 (10-8)(10-9)）
  • $\sigma (\theta )=|f(\theta ){|}^2$（p215，式 (10-11)）
  • ${\sigma }_t={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }|f(\theta ){|}^2\sin \theta d\theta d\phi =2\pi {\int }_0^{\pi }|f(\theta ){|}^2\sin \theta d\theta$（p216，式 (10-12)）
  • $({\nabla }^2+k^2)\psi =\frac{2\mu }{{\hslash }^2}V(r)\psi$，$k=\sqrt{2\mu E/{\hslash }^2}$（p216，式 (10-14)(10-15)）

• 基础知识点：扫10-1-1🟡 扫10-1-2🟡

• 常考题型：从概率流推出 $\sigma =|f{|}^2$：扫10-1-3🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·一维散射的概率流、反射和透射（第3章）：扫3-6-4🟡 扫3-6-3⬜ 扫3-7-1⬜
  • 跨章·二体化为折合质量的单体（第7章）：扫7-1-1🟡

2. Green 函数与 Lippmann–Schwinger 方程

考什么：把定态方程写成 $({\nabla }^2+k^2)\psi =U\psi$；求 $({\nabla }^2+k^2)$ 的 Green 函数（Fourier 变换 + 留数，出射条件挑极点 $q=+k$）；通解 = 入射波 + 积分项，就是 LS 积分方程。

• 必背公式：

  • $({\nabla }^2+k^2)\psi =U\psi$，$U\equiv \frac{2\mu }{{\hslash }^2}V$（p216，式 (10-16)）
  • $({\nabla }^2+k^2)G(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })={\delta }^3(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })$（p216，式 (10-18)）
  • $\psi (\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}+\int G(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })U(r^{\prime })\psi ({\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }$（p217，式 (10-20)(10-21)）
  • $g(\mathbf{q})=\frac{1}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{k^2-q^2}$（p217，式 (10-24)）
  • $G=\frac{1}{4{\pi }^{2}i|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{q{e}^{iq|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}}{k^2-q^2}dq$，极点 $q=\pm k$（p217，式 (10-26)）
  • $G(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime })=-\frac{e^{ik|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}}{4\pi |\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$（p218，式 (10-27)）
  • $\psi (\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}-\frac{1}{4\pi }\int \frac{e^{ik|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}U(r^{\prime })\psi ({\mathbf{r}}^{\prime })d^3{r}^{\prime }$（p218，式 (10-28)）

• 基础知识点：扫10-2-1🟡

• 常考题型：留数挑极点、得到出射 Green 函数：扫10-2-2🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·$\delta$ 函数与平面波的 Fourier 展开（第4章）：扫4-7-1⬜

3. Born 近似

考什么：高能、弱势时，LS 方程积分里的 $\psi ({\mathbf{r}}^{\prime })$ 换成入射平面波；远处 $|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|\approx r-\hat{\mathbf{r}}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }$；散射振幅是势的 Fourier 变换，中心势化成 $\sin (qr)$ 的径向积分。典型题：屏蔽库仑 → Rutherford、高斯势、原子的形状因子。

• 必背公式：

  • $\psi ({\mathbf{r}}^{\prime })\approx {\psi }^{(0)}({\mathbf{r}}^{\prime })=e^{i\mathbf{k}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }}$（p218，式 (10-32)）；适用条件 $\frac{p^2}{2\mu }\gg |V|$（书上写作 $p^2\gg V(r)$）
  • $f(\theta )=-\frac{1}{4\pi }\int U(r^{\prime })e^{-i\mathbf{q}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }}{d}^3{r}^{\prime }=-\frac{\mu }{2\pi {\hslash }^2}\int V(r^{\prime })e^{-i\mathbf{q}\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }}{d}^3{r}^{\prime }$，$\mathbf{q}={\mathbf{k}}_s-\mathbf{k}$（p219，式 (10-35)）
  • $q=|\mathbf{q}|=2k\sin \frac{\theta }{2}$（p219，图 10-4）
  • $f(\theta )=-\frac{2\mu }{q{\hslash }^2}{\int }_0^{+\infty }V(r)r\sin (qr)dr$（p219，式 (10-36)）
  • $\sigma (\theta )=\frac{4{\mu }^2}{q^2{\hslash }^4}{\int }_0^{+\infty }V(r)r\sin (qr)d{r}^2$，随 $q$（即 $\theta$）增大而减小（p219，式 (10-37)）
  • 屏蔽库仑 $V=-\frac{z{e}^2}{r}{e}^{-r/a}$：$\sigma =\hslash 4(4k2sin22\theta +a21)24\mu 2z2e4$（习题 10-1）
  • Rutherford（$a\to \infty$ 或 $V=\alpha /r$ 加收敛因子）：$\sigma =\frac{{\mu }^2{\alpha }^2}{4{\hslash }^4{k}^4{\sin }^4(\theta /2)}=\frac{{\alpha }^2}{16E^2{\sin }^4(\theta /2)}$，与 $\alpha$ 的符号无关（习题 10-2）
  • 高斯势 $V=A{e}^{-r^2/a^2}$：$\sigma =\frac{\pi {\mu }^2{A}^2{a}^6}{4{\hslash }^4}\exp [-2k^2{a}^2{\sin }^2\frac{\theta }{2}]$（习题 10-4）
  • 原子（核 + 电子云 $\rho =-e{\rho }_0{e}^{-r/a}$，中性）：$f=\frac{2\mu z{e}^2}{{\hslash }^2{q}^2}[1-\frac{1}{(1+q^2{a}^2{)}^2}]$（习题 10-3，书上电子云项符号印反）
  • 常用积分：${\int }_0^{\infty }{e}^{-r/a}\sin (qr)dr=\frac{q}{q^2+1/a^2}$；$\int \frac{e^{-i\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}}}{r}{d}^{3}r=\frac{4\pi }{q^2}$

• 基础知识点：扫10-2-1🟡

• 常考题型：

  • 屏蔽库仑、纯库仑、高斯势（习题10-1、10-2、10-4）：扫10-2-2🟡
  • 原子对高能电子的散射，电子云的屏蔽（习题10-3）：扫10-2-3🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·Fourier 变换求动量分布（同一类积分）：题54🟡 题55🟡

4. 分波法与相移

考什么：中心势里 ${\hat{l}}^2$、${\hat{l}}_z$ 守恒，波函数按 $P_l(\cos \theta )$ 展开；每个分波远处比自由波多一个相移 ${\delta }_l$；把平面波也按分波展开，比较 $e^{\pm ikr}$ 的系数得 $f(\theta )$；截面只由相移决定。典型题：低能方势阱 $s$ 波、$1/r^2$ 势、$s+p$ 截面。

• 必背公式：

  • $\psi (r,\theta )={\sum }_{l=0\infty }{R}_l(r)P_l(\cos \theta )$（p220，式 (10-40)）
  • $\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d{R}_l}{dr})+[k^2-U(r)-\frac{l(l+1)}{r^2}]R_l=0$（p220，式 (10-41)(10-42)）
  • ${\chi }_l=r{R}_l$，远处 ${\chi }_{l^{\prime \prime }}+k^2{\chi }_l=0$（p220，式 (10-45)(10-46)）
  • $R_{l}r\to \infty \frac{A_l}{kr}\sin (kr-\frac{1}{2}l\pi +{\delta }_l)$（p221，式 (10-47)）
  • $e^{ikr\cos \theta }={\sum }_{l=0\infty }(2l+1)i^l{j}_l(kr)P_l(\cos \theta )$（p221，式 (10-50)）
  • $j_l(kr)r\to \infty \frac{1}{kr}\sin (kr-\frac{1}{2}l\pi )$（p221，式 (10-51)）
  • $A_l=(2l+1)i^l{e}^{i{\delta }_l}$（p222）
  • $f(\theta )=\frac{1}{2ik}{\sum }_l(2l+1)P_l(\cos \theta )(e^{2i{\delta }_l}-1)=\frac{1}{k}{\sum }_{l=0\infty }(2l+1)e^{i{\delta }_l}\sin {\delta }_l{P}_l(\cos \theta )$（p222，式 (10-56)）
  • $\sigma (\theta )=\frac{1}{k^2}{\sum }_l(2l+1)e^{i{\delta }_l}\sin {\delta }_l{P}_l(\cos \theta {)}^2$（p222，式 (10-57)）
  • ${\sigma }_T=\frac{4\pi }{k^2}{\sum }_{l=0\infty }(2l+1){\sin }^2{\delta }_l={\sum }_l{\sigma }_{T_l}$（p222，式 (10-58)）
  • ${\int }_0^{\pi }{P}_l{P}_{l^{\prime }}\sin \theta d\theta =\frac{2{\delta }_{l{l}^{\prime }}}{2l+1}$，${\sigma }_{T_l}=\frac{4\pi }{k^2}(2l+1){\sin }^2{\delta }_l$（p222，式 (10-59)）
  • 低能方势阱 $s$ 波：$k\cot (ka+{\delta }_0)=K\cot Ka$，${\delta }_0=-ka+\arctan (\frac{k}{K}\tan Ka)$（习题 10-5）
  • $V=\alpha /r^2$：${\delta }_l=\frac{\pi }{2}[l+\frac{1}{2}-\sqrt{(l+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{2\mu \alpha }{{\hslash }^2}}]$，与能量无关（习题 10-6）
  • $s+p$：$\sigma =\frac{1}{k^2}[{\sin }^2{\delta }_0+9{\sin }^2{\delta }_1{\cos }^2\theta +6\sin {\delta }_0\sin {\delta }_1\cos ({\delta }_0-{\delta }_1)\cos \theta ]$（习题 10-7）

• 基础知识点：扫10-3-1🟡

• 常考题型：

  • 低能方势阱只留 $s$ 波；$s+p$ 截面（习题10-5、10-7）：扫10-3-3🟡
  • $1/r^2$ 势的相移（习题10-6）：扫10-3-4🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·径向方程、$\chi =rR$、原点条件（第7章）：扫7-1-1🟡 扫7-2-1🟡 扫7-2-2🟡
  • 跨章·$P_l$、$Y_{lm}$ 与 ${\hat{l}}^2$ 本征函数（第4章）：扫4-5-2🟢

5. 幺正上限、相移符号与光学定理

考什么：每个分波截面有上限 $\frac{4\pi }{k^2}(2l+1)$；低能 $l\lesssim pa/\hslash$，分波法适合低能、Born 适合高能；引力 ${\delta }_l>0$、斥力 ${\delta }_l<0$；前方振幅的虚部给出总截面。

• 必背公式：

  • ${\delta }_l=(n+\frac{1}{2})\pi$ 时 $({\sigma }_{T_l}{)}_{\max }=\frac{4\pi }{k^2}(2l+1)$，幺正上限（p223，式 (10-60)）
  • $l\hslash \sim pb\le pa$，$l\sim \frac{pa}{\hslash }$；低能只留 $l=0,1$（p223，讨论 (1)）
  • 相位 $kr-\frac{1}{2}l\pi +{\delta }_l$ 一定：引力 ${\delta }_l>0$，斥力 ${\delta }_l<0$（p223，讨论 (2)）
  • $Imf(\theta )=\frac{1}{k}{\sum }_l(2l+1){\sin }^2{\delta }_l{P}_l(\cos \theta )$，$P_l(1)=1$（p223）
  • ${\sigma }_T=\frac{4\pi }{k}Imf(0)$，光学定理；对非弹性散射也成立（p223，式 (10-61)）
  • ${\delta }_l\to {\delta }_l+\pi$ 时 $f$、$\sigma$ 不变
  • 硬球（$r<a$ 处 $V=\infty$）$s$ 波：${\delta }_0=-ka$，${\sigma }_T=\frac{4\pi }{k^2}{\sin }^{2}ka\to 4\pi a^2$

• 基础知识点：扫10-3-1🟡 扫10-3-2🟡

• 常考题型：$s$ 波达到幺正上限、硬球的负相移：扫10-3-3🟡

• 延伸考法：

  • 相移符号的核对（$\alpha >0$ 斥力、$\alpha <0$ 引力）：扫10-3-4🟡

6. 全同粒子的散射

考什么：质心系里交换两粒子就是 $\mathbf{r}\to -\mathbf{r}$，即 $\theta \to \pi -\theta$；直接过程和交换过程分不开时振幅相加或相减。自旋 0 的玻色子在 $90^{\circ }$ 是可区分粒子的 2 倍；两个电子单态配空间对称、三重态配空间反对称，未极化按 $\frac{1}{4}:\frac{3}{4}$ 混合。

• 必背公式：

  • $\psi (r,\theta ,\phi )=e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}+f(\theta ,\phi )\frac{e^{ikr}}{r}$（p224，式 (10-62)）
  • 交换：$\mathbf{r}\to -\mathbf{r}$，$\theta \to \pi -\theta$，$\phi \to \pi +\phi$（p224，式 (10-63)(10-64)）
  • ${\psi }_{S,A}=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}\pm e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}+[f(\theta )\pm f(\pi -\theta )]\frac{e^{ikr}}{r}$（p224，式 (10-65)(10-66)）
  • 玻色子：$f_B=f(\theta )+f(\pi -\theta )$（p225，式 (10-67)）；$\sigma =|f(\theta ){|}^2+|f(\pi -\theta ){|}^2+2Re[f^{\ast }(\theta )f(\pi -\theta )]$
  • $\sigma (\pi /2)=4|f(\pi /2){|}^2$（全同玻色子，式 (10-68)）；$2|f(\pi /2){|}^2$（可区分，$\alpha$–${}^{16}O$，式 (10-69)）
  • 电子：单态 $\sigma =|f(\theta )+f(\pi -\theta ){|}^2$，三重态 $\sigma =|f(\theta )-f(\pi -\theta ){|}^2$（p225，式 (10-70)）
  • 未极化：$\sigma =\frac{1}{4}|f(\theta )+f(\pi -\theta ){|}^2+\frac{3}{4}|f(\theta )-f(\pi -\theta ){|}^2$（p225，式 (10-71)）
  • $=|f(\theta ){|}^2+|f(\pi -\theta ){|}^2-Re[f^{\ast }(\theta )f(\pi -\theta )]$，$\sigma (\pi /2)=|f(\pi /2){|}^2$（p226）

• 基础知识点：扫10-4-1🟡

• 常考题型：$\alpha$–$\alpha$、$\alpha$–${}^{16}O$、电子–电子，带自旋的散射波函数：扫10-4-2🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·全同粒子交换对称、对称化波函数（第6章）：扫6-3-2🟡 题23🟢 题24🟢
  • 跨章·两电子单态与三重态的交换对称性（第8章）：扫8-3-1🟡 扫8-3-3🟡

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试版 · 2026-10-08 · 题源：扫盲 jc-10-*；站上量力题、小蓝书、强化班目前没有三维散射的专题，常考题型用扫盲计算题，延伸考法挂一维散射、径向方程、全同粒子、两电子自旋等跨章题。同一题可能出现在两个模型下（如 扫10-2-1、扫10-3-1、扫10-3-3）。