知识网·第11章 量子信息论（试版）

把站上和第11章有关的题按模型归到一起：小蓝书（蓝）、强化班（强）、量力题 1–61（题）、书本扫盲（扫）。每个模型分四层：必背公式 → 基础知识点 → 常考题型 → 延伸考法（极限、变式、跨章）。题号旁的色标从 status.json 自动读取：⬜ 未测 · 🟡 未复习/模糊/不会 · 🟢 懂 · 🔴 不行。点题号直接跳到那道题。

806 不重点考量子信息，这一章只收书上的核心概念和必背公式。

1. 量子力学的基本特性

考什么：态是 Hilbert 空间的矢量、力学量是厄米算符、演化是算符作用在态上；两条对易关系；七条「和经典不一样」的特性，尤其是量子叠加与经典叠加的四点区别、测量导致坍缩和退相干、不可克隆；背景只要知道经典芯片的两个极限（量子噪声、热耗散）和四条突破途径。

• 必背公式：

  • $\psi ={\sum }_n{a}_n{\psi }_n$（p231，式 (11-1)）
  • $\hat{p}=-i\hslash \nabla$，$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2$，${\hat{l}}_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \phi }$（p231）
  • ${\hat{l}}_z=\hslash diag(1,0,-1)$（$l=1$；p231，式 (11-2)，原书漏 $\hslash$）
  • $[x,\hat{p}]=i\hslash$，$\hat{\mathbf{l}}\times \hat{\mathbf{l}}=i\hslash \hat{\mathbf{l}}$（p231，式 (11-3)(11-4)）
  • $\hat{F}|\psi ⟩=|\phi ⟩$，如 ${\sigma }_x|0⟩=|1⟩$（p231，式 (11-5)(11-6)）
  • $E=h\nu$，$p=h/\lambda$（p232，式 (11-7)）
  • $\hat{A}={\sum }_n{a}_n{P}_n$，$P_n=|n⟩⟨n|$；测得 $a_k$ 的概率 $p_k=⟨\psi |P_k|\psi ⟩$（p242，习题 11-6）

• 基础知识点：扫11-1-1🟡 扫11-2-1🟡 扫11-3-1🟡 扫11-3-2🟡

• 常考题型：谱分解与测量概率（习题 11-6）：扫11-4-8🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·五条基本假设（第6章）：扫6-7-1🟡
  • 跨章·全同性与交换对称性（第6章）：扫6-3-2🟡
  • 跨章·测量后坍缩、再测另一力学量：题53🟡 题60🟡

2. 纠缠、EPR 与 Schrödinger 猫

考什么：写出 EPR 态；测粒子 1 的 $S_z$，两种结果各 $1/2$，测后坍缩成直积态、粒子 2 随之确定；分开多远都一样；Einstein 局域实在论和 Bohr 非局域论之争，Bell 不等式让它可由实验判断，实验表明 Bell 不等式不成立；猫态是原子和猫的纠缠；力学量可观测、量子态不可观测，只能由测量结果反推；纠缠纯态的子系统是混合态。

• 必背公式：

  • $|{\psi }^{+}{⟩}_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow {⟩}_1|\downarrow {⟩}_2+|\downarrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2)$（p233，式 (11-8)）
  • 测得 $|\uparrow {⟩}_1$ 后：$|{\psi }^{+}{⟩}_{12}\to |\uparrow {⟩}_1|\downarrow {⟩}_2$（p233）
  • $|\psi ⟩=C_1|g⟩+C_2|e⟩$（p234，式 (11-9)）
  • $|\psi ⟩=a|g⟩\otimes |alive⟩+b|e⟩\otimes |dead⟩$（书上记作 |活⟩、|死⟩；p234，式 (11-10)）
  • $E_g$、$E_e$ 各以 $1/2$ 出现 $\Rightarrow$ 反推 $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|g⟩+|e⟩)$（p235）
  • $\cos \theta |00⟩+\sin \theta |11⟩$ 的约化密度矩阵 ${\rho }_1=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta & 0\\ 0& {\sin }^2\theta \end{array}\right)$（p242，习题 11-3）

• 基础知识点：扫11-3-3🟡 扫11-3-4🟡

• 常考题型：纠缠纯态的约化密度矩阵（习题 11-3）：扫11-4-7🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·Bell 基是不是纠缠态、三重态单态（第8章）：扫8-3-4🟡 扫8-3-1🟡
  • 跨章·纯态、混合态和 $Tr{\rho }^2$（第6章）：扫6-6-1🟡 扫6-6-2🟡

3. 量子比特与单比特门

考什么：量子比特的定义和归一化，经典比特是特殊情形；$N$ 个量子比特可处在 $2^N$ 个计算基的叠加中；$X,Y,Z,H$ 的矩阵和对 $|0⟩,|1⟩$ 的作用（书上 $Y\equiv i{\sigma }_2$ 是实矩阵）；自旋测量概率（习题 11-1、11-2）。

• 必背公式：

  • $|\psi ⟩=c_0|0⟩+c_1|1⟩=\left(\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\end{array}\right)$，$|c_0{|}^2+|c_1{|}^2=1$（p236–237，式 (11-11)(11-12)(11-14)）
  • $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$；$N$ 个量子比特 $\to$ $2^N$ 个态的叠加（p237，式 (11-13)）
  • $X\equiv {\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$，$Y\equiv i{\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$，$Z\equiv {\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$（p237，式 (11-15)）
  • $X|0⟩=|1⟩$，$X|1⟩=|0⟩$（量子非门）（p237，式 (11-16)）
  • $Z|0⟩=|0⟩$，$Z|1⟩=-|1⟩$（相转换门）（p237，式 (11-17)）
  • $Y|0⟩=-|1⟩$，$Y|1⟩=|0⟩$；$Y=ZX$（p237，式 (11-18)；原书误印 $Y=XZ$）
  • $H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$（p237，式 (11-19)）
  • $H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$，$H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)$（p237–238，式 (11-20)(11-21)）
  • ${\hat{S}}_x$ 的本征态 $|{\uparrow }_x⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$，$|{\downarrow }_x⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$（习题 11-1、11-2 要用）

• 基础知识点：扫11-4-1🟡

• 常考题型：${\hat{S}}_z$、${\hat{S}}_x$ 的测值和概率（习题 11-1、11-2）：扫11-4-6🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·Pauli 矩阵与任意方向的 $S_n$（第8章）：扫8-2-1🟡 扫8-2-3🟡
  • 跨章·自旋分量的不确定度：蓝4-18🟢

4. 受控非门与 Bell 态

考什么：受控非门的矩阵和对四个计算基的作用（控制位是前一个比特）；Hadamard 门加受控非门把计算基变成纠缠态，反过来把纠缠态变回计算基（习题 11-4、11-5）。

• 必背公式：

  • $C=\{\begin{array}{llcc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}$（p238，式 (11-25)）
  • $|00⟩\to |00⟩$，$|01⟩\to |01⟩$，$|10⟩\to |11⟩$，$|11⟩\to |10⟩$（p238，式 (11-26)）
  • $|{\phi }^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$，$C|{\phi }^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|10⟩)$（p239，式 (11-28)(11-29)）
  • $|{\phi }^{\pm }⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩\pm |11⟩)$，$|{\psi }^{\pm }⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01⟩\pm |10⟩)$（Bell 基；p239–240，(11-33) 用到）
  • $C(H\otimes I)|00⟩=|{\phi }^{+}⟩$（习题 11-4）；$(H\otimes I)C|{\psi }^{+}⟩=|01⟩$（习题 11-5）

• 基础知识点：扫11-4-1🟡

• 常考题型：用门制备和拆开 Bell 态（习题 11-4、11-5）：扫11-4-2🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·Bell 基与纠缠的判据（第8章）：扫8-3-4🟡

5. 隐形传态与量子保密

考什么：Alice 和 Bob 共享 EPR 对；三粒子态按 AC 的 Bell 基展开（系数 $\frac{1}{2}$）；Alice 做 Bell 测量、经典通道告诉 Bob、Bob 做幺正变换；代价是纠缠被破坏，不违反不可克隆；窃听的两种策略分别被测量坍缩和不可克隆挡住。

• 必背公式：

  • $|{\phi }^{+}{⟩}_{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_A|0{⟩}_B+|1{⟩}_A|1{⟩}_B)$（p239，式 (11-30)）
  • $|\psi {⟩}_C=\alpha |0{⟩}_C+\beta |1{⟩}_C$（$\alpha ,\beta$ 未知）（p239，式 (11-31)）
  • $|\psi {⟩}_{ABC}=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0{⟩}_A|0{⟩}_B+|1{⟩}_A|1{⟩}_B)|\psi {⟩}_C$（p239，式 (11-32)）
  • $|\psi {⟩}_{ABC}=\frac{1}{2}[(\alpha |0{⟩}_B+\beta |1{⟩}_B)|{\phi }^{+}{⟩}_{AC}+(\alpha |0{⟩}_B-\beta |1{⟩}_B)|{\phi }^{-}{⟩}_{AC}+(\beta |0{⟩}_B+\alpha |1{⟩}_B)|{\psi }^{+}{⟩}_{AC}+(\beta |0{⟩}_B-\alpha |1{⟩}_B)|{\psi }^{-}{⟩}_{AC}]$（p239–240，式 (11-33)，原书漏 $\frac{1}{2}$）
  • Bob 的变换：${\phi }^{+}\to I$，${\phi }^{-}\to Z$，${\psi }^{+}\to X$，${\psi }^{-}\to ZX$（差总相位）

• 基础知识点：扫11-3-2🟡 扫11-4-4🟡

• 常考题型：隐形传态的 Bell 基展开和 Bob 的变换：扫11-4-3🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·两电子自旋态用 Bell 基表示（第8章）：扫8-3-1🟡 扫8-3-4🟡

6. 量子计算

考什么：量子计算机的三部分（存储器、量子逻辑「线路」、测量设备）；$N$ 个量子比特构成 $2^N$ 维 Hilbert 空间；三步：制备初态、幺正变换、测量；存储和处理在同一体系上，幺正运算可逆、避开热耗散；Shor 做大数分解，Grover 搜索 $\sqrt{N}$ 次对经典的 $N/2$ 次。

• 必背公式：

  • $N$ 个量子比特 $\to$ $2^N$ 维 Hilbert 空间（p241）
  • $|\psi ⟩=|000\cdots 0⟩⟶U|\psi ⟩$，再测量；$U$ 是通用量子门的乘积（p241）
  • Grover：量子约 $\sqrt{N}$ 次以 $1/2$ 的概率找到目标，经典 $N/2$ 次（p241）

• 基础知识点：扫11-4-5🟡

• 常考题型：把门的组合当作 $U$ 来算（习题 11-4、11-5）：扫11-4-2🟡

• 延伸考法：

  • 跨章·幺正演化算符（第6章）：扫6-5-1🟡 扫6-5-2🟡

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试版 · 2026-10-08 · 题源：扫盲 jc-11-*（精简版，14 题）；站上量力题、小蓝书、强化班没有量子信息的专题，常考题型用扫盲计算题和习题 11-1–11-6，延伸考法挂测量、Pauli 矩阵、Bell 基、密度矩阵、演化算符等跨章题。同一题可能出现在两个模型下（如 扫11-3-2、扫11-4-1、扫11-4-2）。