806 量子力学真题 · 2025 年

大连理工大学 2025 年招收攻读硕士学位研究生入学考试 · 科目 806 量子力学 · 180 分钟 · 满分 150 分 原题转录（真题册照片 p3–4），只挂题干。

一、简答题

简答 1 · 动量表象本征函数 · ⬜ 未测

写出动量表象下的坐标本征函数和动量本征函数。

简答 2 · 两种绘景 · ⬜ 未测

两个绘景里的力学量和态函数特点，怎么转化。

简答 3 · 波粒二象性内涵 · ⬜ 未测

解释粒子波粒二象性中"波动性"和"粒子性"的内涵。

简答 4 · δ 势阱束缚态 · ⬜ 未测

设 $V_0>0$，$V(x)=-V_0\delta (x)$。在势阱内有几个束缚态？若 $V_0$ 增大，粒子的概率分布如何变化？宇称如何？

简答 5 · 散射与全同粒子 · ⬜ 未测

问 $r\to \infty$ 时的散射波函数和微分散射截面，如果不是全同粒子，微分散射截面如何改变？

简答 6 · 守恒量与共同测量 · ⬜ 未测

$$[\hat{A},\hat{H}]=[\hat{B},\hat{H}]=0,[\hat{A},\hat{B}]\ne 0$$

初态是 $\hat{A}$ 的本征态但不是 $\hat{B}$ 的，问 $A,B$ 的概率分布是否改变，处于 $\hat{A}$ 的本征态时测量 $A,B$ 时，是否具有确定值？

二、证明题

证明 1 · 对易子的性质 · ⬜ 未测

$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{C}$，$\hat{A}$、$\hat{B}$ 是厄米算符。

(1) 证明 $\hat{C}=-{\hat{C}}^{†}$。 (2) 证明 $\hat{C}$ 的本征值为纯虚数且对应本征函数彼此正交。 (3) 若 $[\hat{C},\hat{B}]=0$，证明

$$[\hat{A},{\hat{B}}^n]=n\hat{C}{\hat{B}}^{n-1}$$

证明 2 · 电磁场中速度算符 · ⬜ 未测

质量为 $m$，电荷 $q<0$，$\mathbf{B}=(0,0,B)$，$\mathbf{E}=(0,E,0)$ 中。取标势 $\varphi =-Ey$。

(1) 证明矢势可取 $\mathbf{A}=(-By,0,0)$，求出 $\hat{H}$。 (2) 证明：在速度算符定义

$$\hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{i\hslash }[\hat{\mathbf{r}},\hat{H}]$$

下，

$$\hat{\mathbf{v}}=\frac{1}{m}\left(\hat{\mathbf{P}}-\frac{q}{c}\mathbf{A}\right)$$

三、计算题

计算 1 · 自旋 1/2 在 y 向磁场中演化 · ⬜ 未测

设粒子自旋为 $s=\frac{1}{2}$，磁矩为 $\hat{\mathbf{\mu }}=\gamma \hat{\mathbf{S}}$。$\hat{H}$ 是自旋磁矩与 $\vec{B}$ 的相互作用，$\vec{B}=(0,B,0)$，初始时刻 $z$ 轴正向极化。

① 写出 $\hat{H}$ 的矩阵（形式）；② $|\psi (t)⟩$ 的形式；③ 求 ${\hat{S}}_x$ 的平均值和量子涨落；④ 求 ${\hat{S}}_x$ 的测值及概率。

计算 2 · j₁=1 ⊗ j₂=1 的 CG 系数 · ⬜ 未测

$j_1=1$ 的粒子 $A$，$j_2=1$ 的粒子 $B$。① $J_z$ 表象下 $A$ 粒子的 ${\hat{J}}_y$、${\hat{J}}_x$ 的矩阵形式；② 耦合 $|jm⟩$，求 $|2,-1⟩$、$|1,-1⟩$ 的 C-G 系数。

计算 3 · 台阶势反射 · ⬜ 未测

$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ V_0,& x>0\end{array}$$

① 当粒子从 $x=-\infty$ 入射，求反射系数；② 从 $x=+\infty$ 入射时，反射系数如何变化？

四、综合题

综合 1 · 三维谐振子 + λxy²z 微扰 · ⬜ 未测

各向同性三维谐振子，存在微扰 ${\hat{H}}^{\prime }=\lambda x{y}^{2}z$：

$${\hat{H}}_0=\frac{{\hat{p}}_x^2+{\hat{p}}_y^2+{\hat{p}}_z^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2+z^2),{\hat{H}}^{\prime }=\lambda x{y}^{2}z$$

(1) 求基态能量和第一激发态能量及其简并。 (2) 求第一激发态能量的一级近似。

提示：设 $\alpha =\sqrt{m\omega /\hslash }$，一维谐振子满足

$$x{\psi }_n=\frac{1}{\alpha }\left(\sqrt{\frac{n}{2}}{\psi }_{n-1}+\sqrt{\frac{n+1}{2}}{\psi }_{n+1}\right)$$