806 量子力学真题 · 2022 年

大连理工大学 2022 年招收攻读硕士学位研究生入学考试 · 科目 806 量子力学 · 180 分钟 · 满分 150 分 原题转录（真题册照片 p9–10），只挂题干。

一、简答题

简答 1 · 全同性原理 · ⬜ 未测

写出全同性原理，并谈谈微观粒子为什么要满足全同性原理。

简答 2 · 泡利矩阵反对易 · ⬜ 未测

证明 ${\hat{\sigma }}_x{\hat{\sigma }}_y=-{\hat{\sigma }}_y{\hat{\sigma }}_x$。

简答 3 · 海森堡方程与不确定关系 · ⬜ 未测

用海森堡方程写出一维谐振子的坐标及动量的微分方程，并谈谈对不确定关系的理解。

简答 4 · 轨道自旋耦合基矢 · ⬜ 未测

轨道自旋耦合，$l=1$，$S=1/2$，写出所有的耦合基矢 $|jm⟩$ 和非耦合基矢 $|m_1{m}_2⟩$。

简答 5 · 单态与三重态散射截面 · ⬜ 未测

电子自旋单态和三重态有何区别，写出它们的散射截面。

简答 6 · 中心场求解流程 · ⬜ 未测

简述在中心场中求解薛定谔方程的过程。

二、计算题

计算 1 · 线性动量哈密顿量本征矢 · ⬜ 未测

若 $\hat{H}=m{\hat{p}}_x+wx$ 的本征值为 $\alpha$，求对应的本征矢。

计算 2 · Schwinger 振子表示角动量 · ⬜ 未测

已知

$$[{\hat{a}}_i,{\hat{a}}_j^{†}]={\delta }_{ij},[{\hat{a}}_i,{\hat{a}}_j]=[{\hat{a}}_i^{†},{\hat{a}}_j^{†}]=0$$

定义

$${\hat{J}}_x=\frac{\hslash }{2}({\hat{a}}_1^{†}{\hat{a}}_2+{\hat{a}}_2^{†}{\hat{a}}_1),{\hat{J}}_y=\frac{\hslash }{2i}({\hat{a}}_1^{†}{\hat{a}}_2-{\hat{a}}_2^{†}{\hat{a}}_1),{\hat{J}}_z=\frac{\hslash }{2}({\hat{a}}_1^{†}{\hat{a}}_1-{\hat{a}}_2^{†}{\hat{a}}_2)$$

证明

$$[{\hat{J}}_x,{\hat{J}}_y]=i\hslash {\hat{J}}_z$$

问 $[{\hat{J}}_{-},{\hat{J}}_{+}]$，其中 ${\hat{J}}_{\pm }={\hat{J}}_x\pm i{\hat{J}}_y$。

三、计算题

计算 1 · |l,m⟩ 中 Lx 的平均值 · ⬜ 未测

在 ${\hat{L}}_z$ 和 ${\hat{L}}^2$ 的共同本征态 $|l,m⟩$ 中，求 ${\hat{L}}_x$ 的平均值和 ${\hat{L}}_x^2$ 的平均值。

计算 2 · 任意方向角动量分量 · ⬜ 未测

若 $\mathbf{n}$ 和 $z$ 轴夹角为 $\alpha$，求角动量沿 $\mathbf{n}$ 方向分量 $l_n$ 的平均值和不确定度。

四、计算题

计算 1 · 交叉电磁场中的带电粒子 · ⬜ 未测

带电荷 $q$ 的质量为 $m$ 的粒子，在 $y$ 方向上的均匀电场 $\mathbf{E}=(0,\epsilon ,0)$，在 $z$ 方向上的均匀磁场 $\mathbf{B}=(0,0,B)$ 中运动。其中矢势可取 $\mathbf{A}=(-By,0,0)$，为方便计算，只考虑粒子在 $x$-$y$ 平面上运动。

1. 求该哈密顿量对应的本征态和本征值。
2. 若存在一个微扰 ${\hat{H}}^{\prime }=\beta y^3$，求能量的二级近似。

计算 2 · 移位无限深方势阱 · ⬜ 未测

一维无限深方势阱

$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& a\le x\le b\\ +\infty ,& x<a\text{ 或 }x>b\end{array}b>a$$

1. 求本征值和本征函数。
2. 求粒子位置和动量的平均值。

计算 3 · 三能级系统演化 · ⬜ 未测

对于单位基矢 $|a⟩,|b⟩,|c⟩$，有

$$\hat{H}=\hslash \Omega \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right),\Omega \in \mathbb{R}$$

1. 求本征值和本征态。
2. 若 $t=0$ 时 $|\psi (0)⟩=(|b⟩-|c⟩)/\sqrt{2}$，则 $|\psi (t)⟩=$？
3. 若 $t=0$ 时 $|\psi (0)⟩$ 是 $|a⟩$，能否随时间演化到态 $(|b⟩+|c⟩)/\sqrt{2}$，条件是什么？