806 量子力学真题 · 2021 年

大连理工大学 2021 年招收攻读硕士学位研究生入学考试 · 科目 806 量子力学 · 180 分钟 · 满分 150 分 原题转录（真题册照片 p11–13），只挂题干。

一、简答题

简答 1 · 波粒二象性 · ⬜ 未测

简述微观粒子波粒二象性。

简答 2 · 量子态与力学量的描述 · ⬜ 未测

量子力学理论中如何描述量子态和力学量？

简答 3 · 两种绘景的变换关系 · ⬜ 未测

设体系的哈密顿量为 $\hat{H}$，写出力学量 $A$ 在薛定谔绘景和海森堡绘景中的变换关系。

简答 4 · 波函数导数连续性 · ⬜ 未测

波函数的导数是否一定连续？如果是，请说明理由；不是，反例。

简答 5 · 自旋涨落 · ⬜ 未测

自旋 $1/2$ 粒子在 $S_x$ 的本征态下

$$|{\uparrow }_x⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$

求自旋 $y$ 分量的涨落 $\Delta S_y$。

简答 6 · 玻恩近似 · ⬜ 未测

简述散射理论中玻恩近似的基本思想。

二、计算题

计算 1 · x+y+z 是 L² 本征函数 · ⬜ 未测

证明 $\Psi (x,y,z)=x+y+z$ 是角动量平方算符 ${\hat{L}}^2$ 的本征值为 $2{\hslash }^2$ 的本征函数。

计算 2 · Lindblad 主方程的旋转不变性 · ⬜ 未测

与环境存在相互作用的自旋 $1/2$ 粒子的密度矩阵 $\rho$ 满足

$$\frac{d\rho }{dt}=\mathcal{L}(\rho )=\frac{\gamma }{2}\left(2{\sigma }_{-}\rho {\sigma }_{+}-{\sigma }_{+}{\sigma }_{-}\rho -\rho {\sigma }_{+}{\sigma }_{-}\right),{\sigma }_{\pm }=\frac{1}{2}({\sigma }_x\pm i{\sigma }_y)$$

描述。$\rho$ 是表示粒子状态的密度矩阵，$\gamma$ 是常数，其中 ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$ 为泡利算符。证明密度矩阵在绕 $z$ 轴旋转 $\pi$ 角后，即

$${\rho }^{\prime }=R_z(\pi )\rho R_z^{†}(\pi )$$

状态演化方程保持不变，其中

$$R_z(\theta )=\exp \left(-\frac{i\theta }{2}{\sigma }_z\right)$$

计算 3 · 氢原子叠加态 · ⬜ 未测

已知氢原子基态能量为 $E$，在 $t=0$ 时刻氢原子处于状态

$$|\Psi (0)⟩=A\left(|100⟩+\sqrt{2}|210⟩+\sqrt{3}|211⟩+2|21,-1⟩\right)$$

(1) 求 $A$；(2) 求 $t>0$ 时的态 $|\Psi (t)⟩$；(3) 求 $t>0$ 时测得 $|210⟩$ 的概率。

三、计算题

计算 1 · 角动量耦合 · ⬜ 未测

两个独立子系统的角动量为 ${\hat{\mathbf{J}}}_1,{\hat{\mathbf{J}}}_2$，总角动量 $\hat{\mathbf{J}}={\hat{\mathbf{J}}}_1+{\hat{\mathbf{J}}}_2$。

(1) 证明角动量恒等式

$$\hat{\mathbf{J}}\times \hat{\mathbf{J}}=i\hslash \hat{\mathbf{J}}$$

(2) 若 $j_1=1$，$j_2=1/2$，求复合体系总 $j,m$ 的可能值。 (3) 耦合基 $|jm⟩$，非耦合 $|m_1{m}_2⟩$，求耦合用非耦合表示时的 C-G 系数。

计算 2 · 磁场 + 三维谐振子（Landau 型） · ⬜ 未测

质量 $\mu$，电量 $q$，处于均匀磁场 $\mathbf{B}=(0,0,B)$ 及三维各向同性谐振子势

$$V(x,y,z)=\frac{1}{2}\mu {\omega }_0^2(x^2+y^2+z^2)$$

中，取光速 $c=1$。

(1) 证明可取矢势

$$\mathbf{A}=\left(-\frac{By}{2},\frac{Bx}{2},0\right)$$

(2) 证：$H$ 可以写为

$$H=H_1+H_2+H_3$$

其中

$$H_1=\frac{p_z^2}{2\mu }+\frac{1}{2}\mu {\omega }_0^2{z}^2,H_2=\frac{p_x^2+p_y^2}{2\mu }+\frac{1}{2}\mu ({\omega }_0^2+{\omega }^2)(x^2+y^2),H_3=-\omega L_z,\omega =\frac{qB}{2\mu }$$

(3) 证 $H_1,H_2,H_3$ 相互对易。 (4) 求体系能量本征值。

计算 3 · 电子自旋在 y 向磁场中演化 · ⬜ 未测

电子电荷 $e$，质量 $m_e$ 的自旋磁矩 ${\mathbf{\mu }}_s$ 与 $\mathbf{B}$ 相互作用时

$${\mathbf{\mu }}_s=\frac{e}{m_e}\mathbf{S}$$

现一电子处于沿 $y$，$\mathbf{B}=(0,B,0)$ 中

$$H=-{\mathbf{\mu }}_s\cdot \mathbf{B}$$

在 $t=0$ 时其自旋沿 $z$ 正向极化。

(1) 求 $t>0$ 时，电子的自旋状态。 (2) 求 $S_x,S_y,S_z$ 的期望值。 (3) 求 $S_z$ 测量为 $\hslash /2$，$-\hslash /2$ 的几率。

计算 4 · 谐振子含时微扰 · ⬜ 未测

一维谐振子

$${\hat{H}}_0=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$

的本征态为 ${\psi }_n$（$n=0,1,2,\dots$），本征能量为 $E_n$。$t=0$ 时处于基态 ${\psi }_0$。

(1) 写出未扰动能量 $E_n$。 (2) 在 ${\psi }_1$ 态下，求谐振子坐标的期望值和涨落。 (3) $t>0$ 时受微扰

$$H^{\prime }(t)=x^2{e}^{-\beta t}$$

其中 $\beta >0$ 的作用，利用含时微扰理论，在一级近似下计算充分长时间后体系跃迁到 ${\psi }_n$ 的概率。