第6章 拉普拉斯变换

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§6.1 定义与基本像

§6.1 例1 · $f(t)=1$ 的拉普拉斯变换 · ⬜ 未测

求函数 $f(t)=1$ 的拉普拉斯变换。

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§6.1 例2 · $e^{at}$ 的拉普拉斯变换 · ⬜ 未测

求函数 $f(t)=e^{at}$ 的拉普拉斯变换。

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§6.1 例3 · $t^n$ 的拉普拉斯变换 · ⬜ 未测

求函数 $f(t)=t^n$ 的拉普拉斯变换。

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§6.1 例4 · $\sin \omega t$ 的拉普拉斯变换 · ⬜ 未测

求函数 $f(t)=\sin \omega t$（$\omega$ 为实数）的拉普拉斯变换。

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§6.1 例5 · $\sinh \omega t$ 的拉普拉斯变换 · ⬜ 未测

求函数 $f(t)=\sinh \omega t$（$\omega$ 为实数）的拉普拉斯变换。

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§6.2 拉普拉斯变换的性质

§6.2 例1 · $\cos \omega t+i\sin \omega t$ 的拉普拉斯变换 · ⬜ 未测

求函数 $\cos \omega t+i\sin \omega t$ 的拉普拉斯变换。

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§6.2 例2 · 用导数定理 I 解 $f^{{}^{\prime \prime }}+{\omega }^{2}f=0$ · ⬜ 未测

已知函数 $f(t)$ 满足如下二阶微分方程

$$\frac{d^{2}f(t)}{d{t}^2}+{\omega }^{2}f(t)=0,$$

其中 $\omega$ 为常数，初始条件为 $f(0)=1$ 及 $f^{\prime }(0)=0$。试用拉普拉斯变换的导数定理 I 求解该方程。

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§6.2 例3 · $t\sin \omega t$ 的拉普拉斯变换 · ⬜ 未测

利用导数定理 II，求函数 $t\sin \omega t$ 的拉普拉斯变换。

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§6.3 拉普拉斯反演（小节蓝条标题照片未拍全，按章序与后文 6.4 式号归入）

§6.3 例1 · $F(p)=\frac{1}{p(p-1{)}^2}$ 的反演 · ⬜ 未测

求像函数 $F(p)=\frac{1}{p(p-1{)}^2}$ 的反演。

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§6.3 例2 · $F(p)=\frac{p}{(p+\lambda {)}^2+{\omega }^2}$ 的反演 · ⬜ 未测

求 $F(p)=\frac{p}{(p+\lambda {)}^2+{\omega }^2}$ 的反演，其中 $\lambda$ 为复数。

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§6.3 例3 · $F(p)=\frac{p}{(p^2+{\omega }^2{)}^2}$ 的反演 · ⬜ 未测

求 $F(p)=\frac{p}{(p^2+{\omega }^2{)}^2}$ 的反演。

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§6.3 例4 · $F(p)=\frac{1}{p^2(p-1)}$ 的反演 · ⬜ 未测

求像函数 $F(p)=\frac{1}{p^2(p-1)}$ 的反演。

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§6.3 例5 · $F(p)=\frac{\omega }{(p+a)(p^2+{\omega }^2)}$ 的反演 · ⬜ 未测

求像函数 $F(p)=\frac{\omega }{(p+a)(p^2+{\omega }^2)}$ 的反演。

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§6.4 应用

§6.4 例1 · 电感-电阻串联回路电流 · ⬜ 未测

对于电感-电阻串联回路（见图 6-2），当开关 $K$ 合上之前，回路中没有电流流动，其中 $E$ 为直流电源的电动势，$R$ 为电阻，$L$ 为电感。求开关合上之后，电路中的电流 $i(t)$。

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§6.4 例2 · 电感-电容串联回路放电电流 · ⬜ 未测

对于如图 6-3 所示的电感-电容串联回路，电容器上的初始电荷为 $q_0$。当电容器进行放电时，回路中的电流 $i(t)$ 是多少？

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§6.4 例3 · 交变电源激励的电感-电阻回路 · ⬜ 未测

在如图 6-4 所示的电感-电阻回路中，交变电源的电压为 $E(t)=E_0\sin \omega t$。当开关闭合时，求回路中的电流 $i(t)$。已知初始电流为零，即 $i(0)=0$。

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§6.4 例4 · 弹簧振子强迫振动 · ⬜ 未测

一个质量为 $m$、弹性系数为 $k$ 的弹簧振子在外界强迫力 $f(t)=f_0\sin \omega t$ 的作用下，其运动方程为

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+kx=f_0\sin \omega t.$$

其中 $f_0$ 为强迫力的振幅，$\omega$ 为强迫振动的圆频率。初始位移及速度均为零，即 $x(0)=0$，$x^{\prime }(0)=0$。求弹簧振子的运动规律 $x(t)$。

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§6.4 例5 · 用拉普拉斯变换解微分方程组 · ⬜ 未测

利用拉普拉斯变换方法求解如下微分方程组

$$\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dt}+2y+2z=10e^{2t}\\ \frac{dz}{dt}+z-2y=7e^{2t}\end{array}$$

其中初始条件为 $y(0)=1$ 及 $z(0)=3$。

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§6.4 例6 · 用拉普拉斯变换计算 ${\int }_0^{\infty }\frac{\cos (tx)}{x^2+a^2}dx$ · ⬜ 未测

利用拉普拉斯变换计算积分

$$I(t)={\int }_0^{\infty }\frac{\cos (tx)}{x^2+a^2}dx$$

的值，其中 $a>0$。

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§6.4 例7 · 用拉普拉斯变换计算 ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin (tx)}{x}dx$ · ⬜ 未测

利用拉普拉斯变换计算积分

$$I(t)={\int }_0^{\infty }\frac{\sin (tx)}{x}dx$$

的值，其中 $t>0$。

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§6.4 例8 · 用拉普拉斯变换计算 ${\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^2(tx)}{x^2}dx$ · ⬜ 未测

利用拉普拉斯变换方法计算积分

$$I(t)={\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^2(tx)}{x^2}dx$$

的值，其中 $t>0$。

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练习题

练习题 1 · 求下列函数的像函数 · ⬜ 未测

求下列函数的像函数。

1. $t{e}^{-\omega t}$
2. $t\cos \omega t$
3. $\frac{1-\cos \omega t}{\omega }$

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练习题 2 · 求下列像函数的反演（(3) 已勾） · ⬜ 未测

求下列像函数的反演。

1. $\frac{6}{(p+1{)}^2}$
2. $\frac{3p}{p^2-1}$
3. $\frac{p}{(p^2+{\omega }^2{)}^2}(\omega >0)$

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练习题 3 · 用拉普拉斯变换解常微分方程 · ⬜ 未测

利用拉普拉斯变换求解如下常微分方程。

1. $\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dt}+y=1\\ y(0)=0\end{array}$
2. $\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dt}-y=-3e^{-2t}\\ y(0)=2\end{array}$