第4章 留数定理及应用

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§4.2 留数的计算

§4.2 例1 · $\frac{z{e}^z}{z^2-b^2}$ 的留数 · 🟢（懂）

计算函数 $f(z)=\frac{z{e}^z}{z^2-b^2}$ 的留数，其中 $b$ 为任意的复常数。

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§4.2 例2 · $\frac{1}{(z^2+1{)}^2}$ 的留数 · 🟢（懂）

计算函数 $f(z)=\frac{1}{(z^2+1{)}^2}$ 的留数。

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§4.2 例3 · $\frac{1}{z^3(z-i)}$ 的留数 · 🟢（懂）

计算函数 $f(z)=\frac{1}{z^3(z-i)}$ 的留数。

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§4.2 例4 · $\frac{1}{\epsilon z^2+2z+\epsilon }$ 沿单位圆积分 · 🟢（懂）

确定函数 $f(z)=\frac{1}{\epsilon z^2+2z+\epsilon }$ 在单位圆 $|z|=1$ 内的极点，并计算它沿该单位圆周的积分值，其中 $0<\epsilon <1$。

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§4.3 留数定理计算实变积分

§4.3 例1 · ${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{1+\epsilon \cos \theta }$ · 🟢（懂）

计算积分 $I={\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{1+\epsilon \cos \theta }$ 的值，其中 $0<\epsilon <1$。

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§4.3 例2 · ${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{1-2\epsilon \cos \theta +{\epsilon }^2}$ · 🟢（懂）

计算积分 $I={\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{1-2\epsilon \cos \theta +{\epsilon }^2}$ 的值，其中 $0<\epsilon <1$。

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§4.3 例3 · ${\int }_0^{\pi }\frac{ad\theta }{a^2+{\sin }^2\theta }$ · 🟢（懂）

计算积分 $I={\int }_0^{\pi }\frac{ad\theta }{a^2+{\sin }^2\theta }$ 的值，其中 $a>0$ 为实数。

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§4.3 例4 · ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}$ · 🟢（懂）

计算积分 $I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}$ 的值。

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§4.3 例5 · ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(1+x^2{)}^3}$ · 🟢（懂）

计算积分 $I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(1+x^2{)}^3}$ 的值。

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§4.3 例6 · ${\int }_0^{\infty }\frac{\cos mx}{x^2+a^2}dx$ · 🟢（懂）

计算积分 $I={\int }_0^{\infty }\frac{\cos mx}{x^2+a^2}dx$ 的值，其中 $m>0$ 及 $a>0$。

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§4.3 例7 · ${\int }_0^{\infty }\frac{x\sin mx}{(x^2+a^2{)}^2}dx$ · 🟢（懂）

计算积分 $I={\int }_0^{\infty }\frac{x\sin mx}{(x^2+a^2{)}^2}dx$ 的值，其中 $m>0$ 及 $a>0$。

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§4.4 补充内容

§4.4 例1 · ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$（实轴上有奇点） · 🟢（懂）

计算积分 $I={\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 的值。

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练习题

练习题 1 · 留数定理算回路积分 · 🟢（懂）

利用留数定理，计算如下积分。

1. ${\oint }_c\frac{dz}{(z^2+1{)}^2(z-1)}$，其中 $c:|z-1|=2$ 　（已勾）
2. ${\oint }_c\frac{\cos z}{z^3}dz$，其中 $c:|z|=1$
3. ${\oint }_c\frac{dz}{z\sin z}$，其中 $c:|z|=1$
4. ${\oint }_c\frac{e^{2z}}{z^2+1}dz$，其中 $c:|z|=2$

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练习题 2 · 实变三角函数积分 · 🟡（模糊）

计算如下实变函数的积分。

1. ${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{2+\cos \theta }$
2. ${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{(1+\epsilon \cos \theta {)}^2}(0<\epsilon <1)$ 　（已勾 · 注意分母平方）（失分：分母平方→二重极点，留数导数算错；标答 $2\pi /(1-{\epsilon }^2{)}^{3/2}$）
3. ${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{1+{\sin }^2\theta }$ 　（已勾 · 用倍角）
4. ${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{1+{\cos }^2\theta }$

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练习题 3 · 有理函数无穷积分 · 🟡（模糊）

计算如下实变函数的积分。

1. ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x^{2}dx}{(x^2+1)(x^2+4)}$
2. ${\int }_0^{\infty }\frac{x^{2}dx}{x^4+a^4}(a>0)$ 　（已勾）（失分：黑笔拆成 $z^2\pm i{a}^2$ 后卡住；红笔终值对，上半平面极点编号笔误）
3. ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x^{2}dx}{(x^2+a^2{)}^2}(a>0)$

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练习题 4 · 含三角函数无穷积分 · 🟢（懂）

计算如下实变函数的积分。

1. ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\cos mxdx}{(x^2+1)(x^2+4)}(m>0)$
2. ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin xdx}{x^2+1}$
3. ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin mxdx}{(x^2+a^2{)}^2}(m>0,a>0)$
4. ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\cos mxdx}{(x^2+a^2{)}^2}(m>0,a>0)$