第2章 复变函数的积分

色标同数物首页：⬜ 未测 · 🟡（未复习） · 🟡（模糊） · 🟢 懂 · 🔴 不行。本页只挂题干；「记忆点」只记你在书上标过的地方。

§2.1 复变函数的积分

§2.1 例1 · 不同路径积分 Re z · ⬜ 未测

计算积分 $I={\int }_c\Re zdz$ 的值，其中积分路径 $c$ 分别为

• $c_1:(0,0)\to (1,0)\to (1,1)$
• $c_2:(0,0)\to (0,1)\to (1,1)$
• $c_3:(0,0)\to (1,1)$

记忆点：一般情况下复变函数的积分不仅依赖被积函数和起点终点，还与积分路径有关；对解析函数，积分与路径无关。

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§2.1 例2 · $\oint dz/(z-a{)}^n$ · ⬜ 未测

计算积分

$$I={\oint }_c\frac{dz}{(z-a{)}^n}$$

的值，其中 $c$ 是一个以 $a$（$a$ 为任意复常数）为圆心、以 $\rho$ 为半径的圆周（$\rho$ 为定值），$n$ 为整数。

记忆点（式 2.1-8，很重要，后面要用）：${\oint }_c\frac{dz}{(z-a{)}^n}=\{\begin{array}{ll}2\pi i& (n=1)\\ 0& (n\ne =1)\end{array}$

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§2.2 柯西定理

§2.2 例1 · 任意闭围道上的 2.2-6 · ⬜ 未测

设 $a$ 是任意闭合围道 $c_0$ 内的一点，证明有下式成立：

$${\oint }_{c_0}\frac{dz}{(z-a{)}^n}=\{\begin{array}{ll}2\pi i& (n=1)\\ 0& (n\ne =1)\end{array}$$

记忆点：结论对任意包住 $a$ 的闭围道都成立（复连通区域柯西定理：外边界积分 = 内边界积分，同为逆时针）。

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§2.2 例2 · $\oint dz/(z^2-1)$，$|z|=2$ · ⬜ 未测

计算积分 $I={\oint }_c\frac{dz}{z^2-1}$ 的值，其中积分围道 $c$ 为 $|z|=2$ 的圆周。

记忆点：$f(z)=\frac{1}{z^2-1}$ 有两个奇点 $z=\pm 1$；分别以 $z=\pm 1$ 为圆心作小圆周 $c_1$、$c_2$（与 $c$ 同向），$f(z)$ 在 $c+c_1+c_2$ 围成的区域内解析，用复连通区域柯西定理。

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§2.3 柯西公式

§2.3 例1 · $\oint e^{\alpha z}/(z^2-1)$，$|z|=2$ · ⬜ 未测

利用柯西公式，计算积分

$$I={\oint }_c\frac{e^{\alpha z}dz}{z^2-1}$$

的值。其中 $\alpha$ 为任意复常数，$c$ 是半径为 2 的圆周线，即 $|z|=2$。

记忆点：$f(z)=e^{\alpha z}$ 在圆内解析，$z=\pm 1$ 是圆内的点，于是可用柯西公式。

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§2.3 例2 · $\oint e^{\alpha z}/(z-1{)}^2$（推论 2.3-4）· ⬜ 未测

利用柯西公式的推论式（2.3-4），计算积分

$$I={\oint }_c\frac{e^{\alpha z}dz}{(z-1{)}^2}$$

的值，其中 $\alpha$ 为任意复常数，$c$ 是半径为 2 的圆周线，即 $|z|=2$。

记忆点（你标了 important）：$f(z)=e^{\alpha z}$ 在圆内解析、$z=1$ 在圆内，就能用推论式 (2.3-4)（高阶导数的柯西公式）${\oint }_c\frac{f(z)dz}{(z-a{)}^{n+1}}=\frac{2\pi i}{n!}{f}^{(n)}(a)$。

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练习题

练习题 1 · $\int |z|dz$ 两条路径 · ⬜ 未测

计算积分 ${\int }_{-i}^i|z|dz$ 的值，其中积分路径分别为

1. 直线段；
2. 右半单位圆。

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练习题 2 · 单位圆上三个积分 · ⬜ 未测

计算如下积分：

1. ${\int }_c\frac{dz}{z}$
2. ${\int }_c\frac{dz}{|z|}$
3. ${\int }_c\frac{dz}{z}$

其中积分路径 $c$ 为单位圆周。

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练习题 3 · $|z|=2$ 上的积分（一） · ⬜ 未测

计算如下积分：

1. ${\int }_c\frac{2z^2-z+1}{z-1}dz$
2. ${\int }_c\frac{e^z}{z^2+1}dz$

其中积分路径 $c$ 为 $|z|=2$。

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练习题 4 · $|z|=2$ 上的积分（二） · ⬜ 未测

计算如下积分：

1. ${\int }_c\frac{2z^2-z+1}{(z-1{)}^2}dz$
2. ${\int }_c\frac{\cos \pi z}{(z-1{)}^3}dz$

其中积分路径 $c$ 为 $|z|=2$。

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练习题 5 · 由 $\int dz/(z+2)$ 证实积分 · ⬜ 未测

由积分 ${\int }_c\frac{dz}{z+2}$ 的值，证明

$${\int }_0^{\pi }\frac{1+2\cos \theta }{5+4\cos \theta }d\theta =0$$

其中积分路径 $c$ 为单位圆。

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练习题 6 · 由 $\int e^z/zdz$ 证实积分 · ⬜ 未测

求积分 ${\int }_c\frac{e^z}{z}dz$ 的值，其中积分路径 $c$ 为 $|z|=1$。由此积分结果，证明

$${\int }_0^{\pi }{e}^{\cos \theta }\cos (\sin \theta )d\theta =\pi$$

记忆点（题 5、6，你的手写）：对称区间问题，运用 $(-\pi ,\pi )$ 后积分可直接除去一半。