第1章 复变函数

色标同数物首页：⬜ 未测 · 🟡（未复习） · 🟡（模糊） · 🟢 懂 · 🔴 不行。本页只挂题干。

本批照片从 §1.1 中后段（$n$ 次方根公式之后）起，到练习题止。§1.1 更早例题、棣莫弗与 cos z 之间的页、以及 §1.4 解析函数正文里练习题之前的例题，若书上还有，需补拍再挂。

例题

例 · 棣莫弗公式 · ⬜ 未测

证明：

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$$

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例 · $\sqrt{1+i}$ · ⬜ 未测

计算复数 $\sqrt{1+i}$ 的值。

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例 · $\cos z$ 满足 C-R · ⬜ 未测

证明函数 $\cos z$ 的实部和虚部满足 C-R 条件。

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练习题

练习题 1 · 模与辐角 · ⬜ 未测

计算下列复数的模 $r$ 和辐角 $\theta$。

1. $\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $i$
3. $(1-i{)}^4$
4. $\sqrt{1-i}$
5. $\sqrt{1}$

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练习题 2 · 复平面几何意义 · ⬜ 未测

下列式子在复平面上具有什么样的意义？并做图。

1. $\Im z>2$
2. $|z|\le 1$
3. $\Re (\frac{1}{z})=2$
4. $\frac{z-1}{z+1}\le 1$
5. $0<\arg \frac{z-i}{z+i}<\frac{\pi }{4}$

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练习题 3 · 全平面解析 · ⬜ 未测

证明如下复变函数为在全复平面上的解析函数。

1. $z^2$
2. $e^z$
3. $\sin z$
4. $z{e}^z$

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练习题 4 · 由实部或虚部求解析函数 · ⬜ 未测

已知解析函数的实部 $u(x,y)$ 或虚部 $v(x,y)$，求该解析函数。

1. $u=e^x\sin y$
2. $u=e^x(x\cos y-y\sin y)$
3. $u=x^2-y^2+xy$
4. $v=\frac{y}{x^2+y^2}$

笔记：求解析函数那几题化简成以 $z$ 为自变量的形式。